AMC 10 · 2010 · #9

학년 7 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
order-of-operationslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: order-of-operations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
래리는 식 a-(b-(c-(d+e)))의 a, b, c, d, e에 수를 대입해 값을 계산해야 합니다. 그는 괄호를 모두 없애 버리고 각 + 부호와 - 부호는 쓰인 자리에 그대로 둔 채 왼쪽에서 오른쪽으로 더하고 뺍니다. 그런데도 우연히 그가 얻은 값이 원래 식의 참값과 일치했습니다. a, b, c, d에 대입한 수는 차례로 1, 2, 3, 4입니다. 래리가 e에 대입한 수는 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-5
(B)
-3
(C)
0
(D)
3
(E)
5

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

e 를 미지의 문자로 그대로 두고 두 계산을 각각 e 에 대한 식으로 바꿉니다 (도구 #4, 변수 도입하기). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 올바른 식을 한 겹씩 다루어, 안쪽부터 바깥쪽으로 괄호를 벗겨 내며 마이너스 부호를 실수 없이 분배합니다. 그런 다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 "래리 의 답이 올바른 답과 같다" 라는 문장을 e 에 대한 하나의 방정식으로 바꾸고, 그것은 한 줄로 풀립니다. e 를 문자로 끌고 가는 편이 다섯 개 선택지를 일일이 넣어 보는 것보다 깔끔합니다 — 값이 곧바로 나오기 때문입니다.

1STEP 1

올바른 식 전개하기

안쪽부터 한 겹씩 벗기며 마이너스 뒤 부호를 뒤집으면 c-d-e, b-c+d+e를 거쳐 a-b+c-d-e가 됩니다.

a-(b-(c-(d+e))) = a-b+c-d-e
2STEP 2

래리의 괄호 없는 식 쓰기

래리는 부호를 쓰인 그대로 두고 괄호만 버린 채 곧장 읽습니다: a-b-c-d+e.

a-b-c-d+e
3STEP 3

아는 수 대입하기

a=1, b=2, c=3, d=4를 넣고 e는 문자로 둡니다: 참값은 -2-e, 래리의 값은 -8+e.

올바른 값=-2-e, 래리 값=-8+e
4STEP 4

같다고 놓고 풀기

우연의 일치는 -2-e=-8+e를 뜻하므로 6=2e, 즉 e=3이고 양변이 모두 -5가 됩니다.

-2-e=-8+e → 6=2e → e=3
정답
3
e=3을 원래 문제에 다시 넣어 봅니다. 올바른 값: 1-(2-(3-(4+3)))=1-(2-(3-7))=1-(2-(-4))=1-6=-5. 래리의 값: 1-2-3-4+3=-5. 둘 다 -5이므로 우연의 일치가 실제로 일어나며, e=3 즉 선택지 (D)가 맞습니다.
💡핵심 정리

묶음 앞의 마이너스는 그 안 모든 부호를 뒤집으니, 원래 식을 조심스럽게 전개하고 래리의 괄호 없는 식을 쓴 뒤, 둘을 같다고 놓고 e를 풀면 3이 나옵니다.

  • 올바른 식 전개하기
  • 래리의 괄호 없는 식 쓰기
  • 아는 수 대입하기
  • 같다고 놓고 풀기

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