AMC 10 · 2010 · #9

학년 7 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

order-of-operationslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

럭키 래리의 선생님은 그에게 식 $a-(b-(c-(d+e)))$ 에서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ 에 수를 대입하여 그 결과를 계산하라고 했다. 래리는 괄호를 무시했지만 덧셈과 뺄셈은 정확히 하여 우연히 올바른 결과를 얻었다. 래리가 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 에 대입한 수는 각각 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ 였다. 래리가 $e$ 에 대입한 수는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-5

(B)

-3

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 식은 $a-(b-(c-(d+e)))$ 입니다. ëë¦¬ 는 모든 괄호를 없애 버리지만 각 $+$ 와 $-$ 부호는 쓰인 자리에 그대로 두고 왼쪽에서 오른쪽으로 더하고 뺍니다. 우연히도 그가 이렇게 계산한 값이 원래 식의 참값과 일치합니다. $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$ 일 때, 두 결과가 같아지게 만드는 $e$ 의 값을 구해야 합니다.

주어진 것: 올바른 식은 $a-(b-(c-(d+e)))$ 이다.; ëë¦¬ 는 같은 수와 부호를 쓰되 괄호를 모두 무시한다: $a-b-c-d+e$.; ëë¦¬ 의 답이 올바른 답과 같다.; $a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4$.; 선택지: (A) $-5$, (B) $-3$, (C) $0$, (D) $3$, (E) $5$.

구하는 것: ëë¦¬ 가 $e$ 에 넣은 값.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

$e$ 를 미지의 문자로 그대로 두고 두 계산을 각각 $e$ 에 대한 식으로 바꿉니다 (도구 #4, 변수 도입하기). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 올바른 식을 한 겹씩 다루어, 안쪽부터 바깥쪽으로 괄호를 벗겨 내며 마이너스 부호를 실수 없이 분배합니다. 그런 다음 도구 #13(대수로 바꾸기) 이 "ëë¦¬ 의 답이 올바른 답과 같다" 라는 문장을 $e$ 에 대한 하나의 방정식으로 바꾸고, 그것은 한 줄로 풀립니다. $e$ 를 문자로 끌고 가는 편이 다섯 개 선택지를 일일이 넣어 보는 것보다 깔끔합니다 — 값이 곧바로 나오기 때문입니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 1

올바른 식 전개하기

$a-(b-(c-(d+e)))$ 의 괄호를 안쪽부터 바깥쪽으로 벗겨 내며, 마이너스 뒤에 있는 모든 부호를 뒤집습니다.
가장 안쪽: $c-(d+e)=c-d-e$.
그다음: $b-(c-d-e)=b-c+d+e$.
가장 바깥쪽: $a-(b-c+d+e)=a-b+c-d-e$.

$$a-(b-(c-(d+e))) = a-b+c-d-e$$

💡 묶음 앞의 마이너스는 그 안 모든 것의 부호를 뒤집으니, 한 겹씩 벗기면 뒤집기를 헷갈리지 않습니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 2

ëë¦¬ 의 괄호 없는 식 쓰기

ëë¦¬ 는 수와 쓰인 부호는 그대로 두고 괄호만 버린 채 곧장 읽어 내려갑니다: $a-b-c-d+e$.
맨 뒤의 $+e$ 와 맨 앞의 $a$ 만 양수로 남고, 가운데 항들은 모두 빼집니다.

$$a-b-c-d+e$$

💡 괄호를 무시한다는 건 부호를 뒤집지 않고 있는 그대로 받아들인다는 뜻입니다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.1 단계 3

아는 수 대입하기

두 식에 $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$ 를 넣되 $e$ 는 문자로 둡니다.
올바른 값: $1-2+3-4-e=-2-e$.
ëë¦¬ 의 값: $1-2-3-4+e=-8+e$.

$$\text{올바른 값}=-2-e,\qquad \text{ëë¦¬ 값}=-8+e$$

💡 부호 있는 수들을 먼저 합치면 각 변이 상수에 $\pm e$ 를 더한 간단한 꼴로 줄어듭니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

같다고 놓고 풀기

우연의 일치는 두 값이 같다는 뜻입니다: $-2-e=-8+e$.
양변에 $e$ 를 더하고 $8$ 을 더하면 $6=2e$ 가 되어 $e=3$ 입니다.
이때 양변이 모두 $-5$ 가 되어 일치가 확인됩니다.
답은 $\textbf{(D)}\ 3$ 입니다.

$$-2-e=-8+e \;\Rightarrow\; 6=2e \;\Rightarrow\; e=3$$

💡 두 식을 같다고 놓으면 "운 좋은 우연" 이 해가 하나뿐인 방정식으로 바뀝니다.

[1] #7 5.OA.A.1 $a-(b-(c-(d+e)))$ 의 괄호를 안쪽부터 바깥쪽으로 벗겨 내며, 마이너스 뒤에 있는 모든 부호를 뒤집습니다. 가장 안쪽: $c-(d+

[2] #13 7.EE.A.1 ëë¦¬ 는 수와 쓰인 부호는 그대로 두고 괄호만 버린 채 곧장 읽어 내려갑니다: $a-b-c-d+e$. 맨 뒤의 $+e$ 와 맨 앞의 $a

[3] #4 7.NS.A.1 두 식에 $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$ 를 넣되 $e$ 는 문자로 둡니다. 올바른 값: $1-2+3-4-e=-2-e$. ë

[4] #4 6.EE.B.7 우연의 일치는 두 값이 같다는 뜻입니다: $-2-e=-8+e$. 양변에 $e$ 를 더하고 $8$ 을 더하면 $6=2e$ 가 되어 $e=3$ 입니

검토

합리성 확인: $e=3$ 을 원래 문제에 다시 넣어 봅니다. 올바른 값: $1-(2-(3-(4+3)))=1-(2-(3-7))=1-(2-(-4))=1-6=-5$. ëë¦¬ 값: $1-2-3-4+3=-5$. 둘 다 $-5$ 이므로 우연의 일치가 실제로 일어나며, $e=3$ 즉 선택지 (D) 가 맞습니다.

대안 접근: 끝까지 대입을 미룰 수도 있습니다. 전개된 두 식은 $a-b+c-d-e$ 와 $a-b-c-d+e$ 입니다. 그 차이는 $(a-b+c-d-e)-(a-b-c-d+e)=2c-2e$ 입니다. 두 결과가 같으려면 이 차이가 $0$ 이어야 하므로 $2c-2e=0$, 즉 $a$, $b$, $d$ 와 상관없이 $e=c=3$ 입니다. 이는 ëë¦¬ 의 요령이 $e$ 가 $c$ 와 같을 때 정확히 통한다는 것을 보여 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.OA.A.1 괄호를 사용한 수식을 세우고 계산하기 (올바른 식의 중첩된 괄호를 안쪽부터 벗겨 내며 괄호가 강제하는 묶음을 지키는 데 사용.)
7.EE.A.1 연산의 성질을 적용해 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개하기 (ëë¦¬ 가 실제로 계산한 것을 담기 위해 괄호 없는 식으로 다시 쓰는 데 사용.)
7.NS.A.1 덧셈과 뺄셈의 이해를 유리수로 확장하기 (부호 있는 수 $1,-2,+3,-4$(및 $\pm e$) 를 합쳐 각 변을 상수에 $e$ 를 더한 꼴로 줄이는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 문제 해결하기 ($6=2e$ 를 풀어 $e=3$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 묶음 앞의 마이너스는 그 안 모든 부호를 뒤집으니, 원래 식을 조심스럽게 전개하고 ëë¦¬ 의 괄호 없는 식을 쓴 뒤, 둘을 같다고 놓고 $e$ 를 풀면 $3$ 이 나옵니다.