AMC 10 · 2011 · #11
학년 8 geometry-2d정사각형 EFGH는 정사각형 ABCD의 각 변 위에 꼭짓점이 하나씩 놓여 있다. 점 E는 AB 위에 있으며 AE=7⋅EB이다. EFGH의 넓이와 ABCD의 넓이의 비는 얼마인가?
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AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 큰 정사각형 $ABCD$ 안에 기울어진 정사각형 $EFGH$가 들어 있고, $EFGH$의 꼭짓점이 $ABCD$의 각 변에 정확히 하나씩 놓여 있다. 변 $AB$ 위의 꼭짓점 $E$는 이 변을 나누어 $AE$가 $EB$의 $7$배가 되게 한다. 기울어진 정사각형의 넓이가 큰 정사각형의 넓이와 어떤 비를 이루는지 구하여라.
주어진 것: $ABCD$는 정사각형이고, $EFGH$는 $ABCD$의 각 변에 꼭짓점이 하나씩 놓인 정사각형이다; $E$는 변 $AB$ 위에 있다; $AE = 7 \cdot EB$; 선택지: (A) $\tfrac{49}{64}$, (B) $\tfrac{25}{32}$, (C) $\tfrac{7}{8}$, (D) $\tfrac{5\sqrt{2}}{8}$, (E) $\tfrac{\sqrt{14}}{4}$
구하는 것: ($EFGH$의 넓이) / ($ABCD$의 넓이) 의 비
이해
문제 재정리: 큰 정사각형 $ABCD$ 안에 기울어진 정사각형 $EFGH$가 들어 있고, $EFGH$의 꼭짓점이 $ABCD$의 각 변에 정확히 하나씩 놓여 있다. 변 $AB$ 위의 꼭짓점 $E$는 이 변을 나누어 $AE$가 $EB$의 $7$배가 되게 한다. 기울어진 정사각형의 넓이가 큰 정사각형의 넓이와 어떤 비를 이루는지 구하여라.
주어진 것: $ABCD$는 정사각형이고, $EFGH$는 $ABCD$의 각 변에 꼭짓점이 하나씩 놓인 정사각형이다; $E$는 변 $AB$ 위에 있다; $AE = 7 \cdot EB$; 선택지: (A) $\tfrac{49}{64}$, (B) $\tfrac{25}{32}$, (C) $\tfrac{7}{8}$, (D) $\tfrac{5\sqrt{2}}{8}$, (E) $\tfrac{\sqrt{14}}{4}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #17 공간 상상하기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
도구 #1(그림 그리기)이 중심이다. 큰 정사각형 안에 기울어진 정사각형을 그려 이름을 붙이면, 두 변(다리)이 $ABCD$의 한 변 위에 놓인 모서리 직각삼각형이 나타난다. 도구 #4(변수 도입하기)로 한 변의 길이를 편리하게 $8$로 잡으면 $AE = 7 \cdot EB$가 정수 조각 $7$과 $1$로 바뀐다. 도구 #17(공간 상상하기)이 핵심 열쇠를 준다. 그림을 중심에 대해 $90^\circ$ 돌리면 $ABCD$는 자기 자신으로, $EFGH$도 자기 자신으로 옮겨지므로 이웃한 변도 똑같은 비로 나뉜다 — 이것이 모서리 직각삼각형의 나머지 다리를 정한다. 그다음 피타고라스 정리로 기울어진 정사각형의 한 변을 구하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 나온 분수를 다섯 선택지와 맞춰 확인한다.
실행 — 정답: B
6.EE.B.7 단계 1 편리한 변의 길이 정하기
- 크기는 오직 비로만 비교되므로 $ABCD$의 한 변을 $8$로 정한다.
- 그러면 $AE + EB = 8$이고 $AE = 7 \cdot EB$이므로 $8 \cdot EB = 8$, 따라서 $EB = 1$, $AE = 7$이다.
💡 변을 $8$로 잡으면 $7:1$ 나눔이 정확히 정수 $7$과 $1$에 떨어진다.
8.G.A.1 단계 2 그림을 90도 돌리기
- 그림 전체를 $ABCD$의 중심에 대해 $90^\circ$ 회전한다.
- 이 회전은 $ABCD$를 자기 자신으로, 내접한 정사각형 $EFGH$도 자기 자신으로 옮기며, 꼭짓점 $E$(변 $AB$ 위)를 꼭짓점 $F$(다음 변 $BC$ 위)로 보낸다.
- 회전은 길이를 보존하므로 조각 $AE$가 조각 $BF$로 돌아간다.
- 따라서 $BF = AE = 7$이고, 남은 조각은 $FC = EB = 1$이다.
💡 내접한 정사각형은 $90^\circ$ 돌려도 똑같아 보이므로, 큰 정사각형의 모든 변이 같은 $7:1$로 나뉘어야 한다.
8.G.B.7 단계 3 기울어진 정사각형의 한 변 구하기
- 꼭짓점 $B$에 있는 모서리 삼각형 $EBF$를 본다.
- 두 다리는 $EB = 1$과 $BF = 7$이고, 직각은 큰 정사각형의 모서리 $B$에 있다.
- 빗변 $EF$는 기울어진 정사각형 $EFGH$의 한 변이다.
- 피타고라스 정리를 적용한다.
💡 기울어진 정사각형의 각 변은 큰 정사각형 변의 긴 조각과 짧은 조각으로 이루어진 직각삼각형의 빗변이다.
6.EE.A.1 단계 4 두 넓이 비교하기
- 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이다.
- 기울어진 정사각형의 넓이는 $EF^2 = 50$이고, 큰 정사각형의 넓이는 $8^2 = 64$이다.
- 비를 구한 뒤 분자·분모를 $2$로 나누어 약분한다.
💡 넓이는 변의 제곱이므로 변의 비의 제곱이 곧 넓이의 비이고, $EF^2$은 이미 기울어진 넓이 그 자체다.
7.RP.A.2 단계 5 선택지와 맞추기
- 비 $\tfrac{25}{32}$는 정확히 선택지 (B)이다.
- 가까운 선택지 확인: (A) $\tfrac{49}{64} \approx 0.766$, (C) $\tfrac{7}{8} = 0.875$인데 $\tfrac{25}{32} \approx 0.781$이므로 (B)만 맞는다.
- 따라서 답은 (B)이다.
💡 분수를 소수로 바꾸면 선택지와 나란히 놓고 헷갈림 없이 맞출 수 있다.
6.EE.B.7 크기는 오직 비로만 비교되므로 $ABCD$의 한 변을 $8$로 정한다. 그러면 $AE + EB = 8$이고 $AE = 7 \cdot EB$이므로 8.G.A.1 그림 전체를 $ABCD$의 중심에 대해 $90^\circ$ 회전한다. 이 회전은 $ABCD$를 자기 자신으로, 내접한 정사각형 $EFGH$도 자 8.G.B.7 꼭짓점 $B$에 있는 모서리 삼각형 $EBF$를 본다. 두 다리는 $EB = 1$과 $BF = 7$이고, 직각은 큰 정사각형의 모서리 $B$에 6.EE.A.1 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이다. 기울어진 정사각형의 넓이는 $EF^2 = 50$이고, 큰 정사각형의 넓이는 $8^2 = 64$이다. 비를 7.RP.A.2 비 $\tfrac{25}{32}$는 정확히 선택지 (B)이다. 가까운 선택지 확인: (A) $\tfrac{49}{64} \approx 0.766 검토
합리성 확인: 기울어진 정사각형은 큰 정사각형보다 작아야 하지만 그 차이는 크지 않다. $E$가 모서리 $B$에서 겨우 $1$만큼 떨어진 가까운 곳에 있어 기울기가 완만하기 때문이다. 완만한 기울기는 $1$보다 조금 작은 비를 주어야 하고, $\tfrac{25}{32} \approx 0.78$이 여기에 맞는다. 경계 확인: $E$가 변의 중점이면 비는 $\tfrac{1}{2}$이고, $E$가 모서리에 있으면 기울어진 정사각형이 큰 정사각형과 겹쳐 비가 $1$이 된다. 우리의 $7:1$ 나눔은 모서리에 가까우므로 $1$에 가깝지만 그보다 작은 비가 정확히 맞다.
대안 접근: 좌표 사용(도구 #13, 대수로 바꾸기): $A=(0,0)$, $B=(8,0)$, $C=(8,8)$, $D=(0,8)$으로 놓으면 $E=(7,0)$이다. 같은 $7:1$ 나눔으로 $F=(8,7)$, $G=(1,8)$, $H=(0,1)$이다. 한 변을 계산하면 $EF^2 = (8-7)^2 + (7-0)^2 = 1 + 49 = 50$이고, 넓이 비는 $\tfrac{50}{64} = \tfrac{25}{32}$이다. 대칭을 명시적으로 쓰지 않고도 같은 답이 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.B.7Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($AE + EB = 8$과 $AE = 7\,EB$를 $8\,EB = 8$로 바꾸어 조각 $EB = 1$, $AE = 7$을 구하는 데 사용.)6.EE.A.1Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (제곱한 변의 길이 $8^2 = 64$와 $EF^2 = 50$을 계산해 넓이 비를 만드는 데 사용.)8.G.A.1Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations (길이를 보존하는 $90^\circ$ 회전으로 이웃한 변도 같은 $7:1$ 비로 나뉨을 보여 $BF = AE = 7$을 얻는 데 사용.)8.G.B.7Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (모서리 직각삼각형에서 기울어진 정사각형의 한 변을 구하는 데 사용: $EF^2 = 1^2 + 7^2 = 50$.)7.RP.A.2Recognize and represent proportional relationships between quantities (넓이 비교를 비 $\tfrac{50}{64} = \tfrac{25}{32}$로 읽고 선택지와 맞추는 데 사용.)
⭐ 큰 정사각형의 변을 편리하게 $8$로 잡고 $7$과 $1$로 나눈 뒤, $90^\circ$ 돌리면 모든 변이 같은 방식으로 나뉜다는 것을 알아채라 — 그러면 한 모서리 직각삼각형($1$과 $7$)이 피타고라스 정리로 기울어진 정사각형의 변을 주고, $\tfrac{50}{64} = \tfrac{25}{32}$이다.
⭐ 큰 정사각형의 변을 편리하게 $8$로 잡고 $7$과 $1$로 나눈 뒤, $90^\circ$ 돌리면 모든 변이 같은 방식으로 나뉜다는 것을 알아채라 — 그러면 한 모서리 직각삼각형($1$과 $7$)이 피타고라스 정리로 기울어진 정사각형의 변을 주고, $\tfrac{50}{64} = \tfrac{25}{32}$이다.
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