AMC 10 · 2011 · #11

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
pythagorean-theoremcoordinate-geometryrotation-isometry convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
큰 정사각형 ABCD 안에 기울어진 정사각형 EFGH가 들어 있고, EFGH의 꼭짓점이 ABCD의 각 변에 정확히 하나씩 놓여 있다. 변 AB 위의 꼭짓점 E는 이 변을 나누어 AE가 EB의 7배가 되게 한다. 기울어진 정사각형의 넓이가 큰 정사각형의 넓이와 어떤 비를 이루는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{49}{64}$
(B)
$\frac{25}{32}$
(C)
$\frac78$
(D)
$\frac{5\sqrt{2}}{8}$
(E)
$\frac{\sqrt{14}}{4}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 중심이다. 큰 정사각형 안에 기울어진 정사각형을 그려 이름을 붙이면, 두 변(다리)이 ABCD의 한 변 위에 놓인 모서리 직각삼각형이 나타난다. 도구 #4(변수 도입하기)로 한 변의 길이를 편리하게 8로 잡으면 AE = 7 · EB가 정수 조각 7과 1로 바뀐다. 도구 #17(공간 상상하기)이 핵심 열쇠를 준다. 그림을 중심에 대해 90° 돌리면 ABCD는 자기 자신으로, EFGH도 자기 자신으로 옮겨지므로 이웃한 변도 똑같은 비로 나뉜다 — 이것이 모서리 직각삼각형의 나머지 다리를 정한다. 그다음 피타고라스 정리로 기울어진 정사각형의 한 변을 구하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 나온 분수를 다섯 선택지와 맞춰 확인한다.

1STEP 1

편리한 변의 길이 정하기

비만 중요하므로 ABCD의 한 변을 8로 두면, AE + EB = 8과 AE = 7 · EB에서 EB = 1, AE = 7이다.

AE + EB = 8, AE = 7 EB → 8 EB = 8 → EB = 1, AE = 7
2STEP 2

그림을 90도 돌리기

중심에 대한 90° 회전은 ABCD와 EFGH를 자기 자신으로 옮기고 E를 F로 보내므로, BF = 7이고 FC = 1이다.

90° 회전: A↦ B, E↦ F → BF = AE = 7
3STEP 3

기울어진 정사각형의 한 변 구하기

모서리 삼각형 EBF는 두 다리가 EB = 1, BF = 7이고 직각이 B에 있으므로, 빗변 EF에서 EF² = 50이다.

EF² = EB² + BF² = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
4STEP 4

두 넓이 비교하기

넓이는 변의 제곱이므로 EFGH는 EF² = 50, ABCD는 8² = 64이고, 50/64는 25/32로 약분된다.

[EFGH]/[ABCD] = EF²/8² = 50/64 = 25/32
5STEP 5

선택지와 맞추기

25/32 ≈ 0.781인데 (A) 49/64 ≈ 0.766, (C) 7/8 = 0.875이므로 (B)만 맞는다.

25/32 ≈ 0.781 → (B)
정답
25/32
기울어진 정사각형은 큰 정사각형보다 작아야 하지만 그 차이는 크지 않다. E가 모서리 B에서 겨우 1만큼 떨어진 가까운 곳에 있어 기울기가 완만하기 때문이다. 완만한 기울기는 1보다 조금 작은 비를 주어야 하고, 25/32 ≈ 0.78이 여기에 맞는다. 경계 확인: E가 변의 중점이면 비는 1/2이고, E가 모서리에 있으면 기울어진 정사각형이 큰 정사각형과 겹쳐 비가 1이 된다. 우리의 7:1 나눔은 모서리에 가까우므로 1에 가깝지만 그보다 작은 비가 정확히 맞다.
💡핵심 정리

큰 정사각형의 변을 편리하게 8로 잡고 7과 1로 나눈 뒤, 90° 돌리면 모든 변이 같은 방식으로 나뉜다는 것을 알아채라 — 그러면 한 모서리 직각삼각형(1과 7)이 피타고라스 정리로 기울어진 정사각형의 변을 주고, 50/64 = 25/32이다.

  • 편리한 변의 길이 정하기
  • 그림을 90도 돌리기
  • 기울어진 정사각형의 한 변 구하기
  • 두 넓이 비교하기
  • 선택지와 맞추기

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