AMC 10 · 2011 · #12

학년 7 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어느 농구팀 선수들이 $3$ 점 슛 몇 개, $2$ 점 슛 몇 개, 그리고 $1$ 점 자유투 몇 개를 성공시켰다. 이들이 $2$ 점 슛으로 얻은 점수는 $3$ 점 슛으로 얻은 점수와 같았다. 성공한 자유투의 개수는 성공한 $2$ 점 슛의 개수보다 하나 더 많았다. 이 팀의 총점은 $61$ 점이었다. 이들이 성공시킨 자유투는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 팀이 3점슛, 2점슛, 1점 자유투로 득점했다. 2점슛으로 얻은 점수와 3점슛으로 얻은 점수가 같다. 성공한 자유투 수는 성공한 2점슛 수보다 1개 더 많다. 팀 전체의 총점은 $61$점이다. 이 팀이 성공한 자유투는 몇 개인지 구하라.

주어진 것: 2점슛으로 얻은 점수와 3점슛으로 얻은 점수가 같다; 자유투 수 = 2점슛 수 + 1; 자유투 하나는 1점이다; 총점은 $61$점이다

구하는 것: 성공한 자유투의 개수

이해

주어진 것: 2점슛으로 얻은 점수와 3점슛으로 얻은 점수가 같다; 자유투 수 = 2점슛 수 + 1; 자유투 하나는 1점이다; 총점은 $61$점이다

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #16 관점 바꾸기

모든 것이 2점슛 개수에 묶여 있다. 자유투는 그보다 1개 많고, 점수가 같다는 규칙 덕분에 3점슛 개수를 세지 않고도 3점 득점을 쓸 수 있다. 그래서 그 하나의 수에 이름을 붙이고, 각 단서를 점수 식으로 바꾼 뒤, 하나의 방정식을 풀면 된다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

2점슛 개수에 이름 붙이기

2점슛의 개수를 $t$라 하자.
하나가 2점이므로 2점슛으로 얻은 점수는 $2t$이다.

\text{2점슛 점수} = 2t

💡 다른 모든 단서가 기대는 하나의 양을 정하면, 나머지는 그것으로 표현할 수 있다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.B.6 단계 2

점수가 같다는 규칙 쓰기

3점슛으로 얻은 점수는 2점슛으로 얻은 점수와 같다.
그래서 3점 득점도 $2t$이다.
3점슛이 몇 개인지 셀 필요가 전혀 없다.

\text{3점슛 점수} = \text{2점슛 점수} = 2t

💡 슛 개수 대신 점수를 세면 '점수가 같다'가 이미 가진 값의 복사본이 된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 3

자유투 점수 쓰기

자유투 수는 2점슛 수보다 1개 많으므로 $t + 1$이다.
자유투 하나는 1점이므로 자유투 점수도 $t + 1$이다.

\text{자유투 점수} = t + 1

💡 1점짜리 슛은 그 점수 합이 개수와 같은 수가 된다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 4

부분들을 더해 61 만들기

세 가지 득점원이 총점을 이룬다.
2점슛의 $2t$, 3점슛의 $2t$, 자유투의 $t + 1$을 더하면 61이다.
동류항을 묶으면 $5t + 1 = 61$이 된다.

$$2t + 2t + (t + 1) = 61 \;\Rightarrow\; 5t + 1 = 61$$

💡 모든 득점 경로를 더한 값은 알려진 총점과 같아야 하고, 그것이 하나의 방정식을 준다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 5

풀어서 자유투 수 읽기

양변에서 1을 빼면 $5t = 60$이므로 $t = 12$이다.
자유투 수는 $t + 1 = 13$이다.
이는 보기 (A)이다.

$$5t = 60 \;\Rightarrow\; t = 12 \;\Rightarrow\; t + 1 = 13$$

💡 방정식을 한 단계씩 되돌려 변수를 풀고, 물어본 대상으로 다시 옮긴다.

[1] #4 6.EE.B.6 2점슛의 개수를 $t$라 하자. 하나가 2점이므로 2점슛으로 얻은 점수는 $2t$이다.

[2] #16 6.EE.B.6 3점슛으로 얻은 점수는 2점슛으로 얻은 점수와 같다. 그래서 3점 득점도 $2t$이다. 3점슛이 몇 개인지 셀 필요가 전혀 없다.

[3] #4 6.EE.B.6 자유투 수는 2점슛 수보다 1개 많으므로 $t + 1$이다. 자유투 하나는 1점이므로 자유투 점수도 $t + 1$이다.

[4] #13 7.EE.B.4 세 가지 득점원이 총점을 이룬다. 2점슛의 $2t$, 3점슛의 $2t$, 자유투의 $t + 1$을 더하면 61이다. 동류항을 묶으면 $5t +

[5] #13 7.EE.B.4 양변에서 1을 빼면 $5t = 60$이므로 $t = 12$이다. 자유투 수는 $t + 1 = 13$이다. 이는 보기 (A)이다.

검토

합리성 확인: $t = 12$로 확인하자. 2점슛은 $24$점, 3점슛도 같은 $24$점(즉 3점슛 $8$개로 정수), 자유투 $13$개는 $13$점이다. 총합은 $24 + 24 + 13 = 61$로 문제와 맞고, $13$은 보기 (A)이다. 자유투 수가 2점슛 $12$개보다 1개 많다는 조건도 맞는다.

대안 접근: 2점슛 점수만 한 덩어리 $P$로 두자. 3점슛도 $P$를 주고, 자유투는 (2점슛 수) $+ 1 = \tfrac{P}{2} + 1$을 준다. 그러면 $P + P + \tfrac{P}{2} + 1 = 61$이므로 $\tfrac{5P}{2} = 60$, $P = 24$이다. 자유투 $= \tfrac{24}{2} + 1 = 13$으로 같은 답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (2점슛 개수를 $t$로 이름 붙이고 각 득점원($2t$, $2t$, $t+1$)을 $t$에 대한 식으로 쓰는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (두 단계 방정식 $5t + 1 = 61$을 세우고 풀어 $t$를 구해 자유투 수를 찾는 데 사용.)

⭐ 모든 것을 하나의 미지수에 묶고, '점수가 같다'로 이미 쓴 값을 재사용한 뒤, 모든 득점을 총점에 더해 풀면 된다.