AMC 10 · 2011 · #14
학년 7 probability표준적인 6면체 주사위 한 쌍을 한 번 굴린다. 나온 두 수의 합이 어떤 원의 지름이 된다. 이 원의 넓이의 수치가 원의 둘레의 수치보다 작을 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 표준 $6$면체 주사위 두 개를 한 번 굴린다. 두 눈의 합을 원의 지름으로 쓴다. 원의 넓이를 나타내는 수와 둘레를 나타내는 수를 그냥 수치로 비교할 때, 넓이 값이 둘레 값보다 작을 확률을 구하라.
주어진 것: 공정한 $6$면체 주사위 두 개를 굴리므로 눈의 합은 $2$부터 $12$까지이다; 이 합이 원의 지름 $d$가 된다; 원의 넓이는 $\pi (d/2)^2$, 둘레는 $\pi d$이며 둘 다 순수한 수치로 본다; 보기: (A) $\frac{1}{36}$, (B) $\frac{1}{12}$, (C) $\frac{1}{6}$, (D) $\frac{1}{4}$, (E) $\frac{5}{18}$
구하는 것: 넓이 값이 둘레 값보다 작을 확률
이해
문제 재정리: 표준 $6$면체 주사위 두 개를 한 번 굴린다. 두 눈의 합을 원의 지름으로 쓴다. 원의 넓이를 나타내는 수와 둘레를 나타내는 수를 그냥 수치로 비교할 때, 넓이 값이 둘레 값보다 작을 확률을 구하라.
주어진 것: 공정한 $6$면체 주사위 두 개를 굴리므로 눈의 합은 $2$부터 $12$까지이다; 이 합이 원의 지름 $d$가 된다; 원의 넓이는 $\pi (d/2)^2$, 둘레는 $\pi d$이며 둘 다 순수한 수치로 본다; 보기: (A) $\frac{1}{36}$, (B) $\frac{1}{12}$, (C) $\frac{1}{6}$, (D) $\frac{1}{4}$, (E) $\frac{5}{18}$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기
변하는 값은 지름 하나뿐이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 자연스러운 출발점이다. 지름을 $d$라 부르고 넓이와 둘레를 $d$에 대한 식으로 쓰면 모호한 말 비교가 깔끔한 부등식으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 조각으로 나눈다. 먼저 어떤 지름이 조건을 만족하는지 찾는 기하·대수 단계, 그다음 그런 지름이 주사위에서 얼마나 자주 나오는지 세는 확률 단계이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 $36$가지 중 순서쌍을 나열해 그 세기를 깔끔하게 처리한다.
실행 — 정답: B
7.G.B.4 단계 1 두 양을 $d$로 나타내기
- 지름을 $d$라 하면 이는 주사위 눈의 합과 같다.
- 반지름은 $d/2$이므로 넓이는 $\pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, 둘레는 $\pi d$이다.
- 둘 다 같은 변수 $d$로 표현되어 바로 비교할 수 있다.
💡 지름을 $d$라 부르면 글자 하나가 비교 전체를 담아, 기하 문제가 부등식 하나로 바뀐다.
7.EE.B.4 단계 2 비교를 $d < 4$로 바꾸기
- 넓이 값이 둘레 값보다 작아야 하므로 $\frac{\pi d^2}{4} < \pi d$이다.
- $d > 0$이고 $\pi > 0$이므로 양변을 양수인 $\pi d$로 나누면(양수로 나누므로 부등호 방향은 그대로) $\frac{d}{4} < 1$, 즉 $d < 4$가 된다.
- 따라서 지름이 $4$보다 작을 때에만 조건이 성립한다.
💡 공통 양수 인수 $\pi d$로 나누면 군더더기가 사라지고 $d$의 크기만 판정하면 된다.
7.SP.C.8 단계 3 조건을 만족하는 눈의 합 찾기
- 지름은 주사위 눈의 합이므로 $2$ 이상의 정수이다.
- 조건 $d < 4$를 만족하는 값은 $d = 2$와 $d = 3$뿐이다.
- 각각을 만드는 순서쌍을 나열하면, $d = 2$는 $(1,1)$ 한 가지, $d = 3$은 $(1,2)$와 $(2,1)$ 두 가지이다.
💡 가장 작은 두 합만 경계 아래로 들어오고, 각각을 만드는 방법은 몇 가지뿐이다.
7.SP.C.8 단계 4 확률 계산하기
- 유리한 순서쌍은 $1 + 2 = 3$가지이고 전체는 동일하게 나올 수 있는 $36$가지이다.
- 확률은 $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$이다.
- 이는 보기 (B)와 일치한다.
💡 유리한 결과를 전체 $36$가지로 나누면 곧바로 확률이 나온다.
7.G.B.4 지름을 $d$라 하면 이는 주사위 눈의 합과 같다. 반지름은 $d/2$이므로 넓이는 $\pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ 7.EE.B.4 넓이 값이 둘레 값보다 작아야 하므로 $\frac{\pi d^2}{4} < \pi d$이다. $d > 0$이고 $\pi > 0$이므로 양변을 양 7.SP.C.8 지름은 주사위 눈의 합이므로 $2$ 이상의 정수이다. 조건 $d < 4$를 만족하는 값은 $d = 2$와 $d = 3$뿐이다. 각각을 만드는 순 7.SP.C.8 유리한 순서쌍은 $1 + 2 = 3$가지이고 전체는 동일하게 나올 수 있는 $36$가지이다. 확률은 $\frac{3}{36} = \frac{1} 검토
합리성 확인: 경계인 $d = 4$에서는 넓이와 둘레가 같다($\frac{\pi\cdot16}{4} = 4\pi = \pi\cdot4$). 따라서 $4$보다 작은 지름만 조건을 만족하며, 이는 작은 집합이므로 작은 확률이 예상된다. 조건을 만족하는 합은 $2$와 $3$뿐이고 이는 가장 드문 합으로 각각 $\frac{1}{36}$, $\frac{2}{36}$이다. 합은 $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$로 보기 (B)이다. 함정 보기들은 부분 계산과 맞물린다. (A) $\frac{1}{36}$은 $d=2$만 센 값, (C) $\frac{1}{6}$은 $d=4$까지 잘못 포함한 값, (E) $\frac{5}{18}$은 부등식을 아예 무시한 값이다.
대안 접근: 대수를 건너뛰고 작은 합을 하나씩 직접 확인해도 된다(도구 #6, 추측하고 확인하기). $d=2$: 넓이 $=\pi$, 둘레 $=2\pi$로 넓이가 더 작아 조건 만족. $d=3$: 넓이 $=\frac{9\pi}{4}=2.25\pi$, 둘레 $=3\pi$로 여전히 더 작아 만족. $d=4$: 넓이 $=4\pi$, 둘레 $=4\pi$로 같아 실패. $d$가 커지면 넓이가 더 빠르게 자라므로 그 밖에는 없다. $(1,1),(1,2),(2,1)$을 세면 $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$로 (B)가 확인된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.G.B.4Know the formulas for area and circumference of a circle (지름 $d$로부터 넓이 $\frac{\pi d^2}{4}$와 둘레 $\pi d$를 세우는 데 사용.)7.EE.B.4Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (부등식 $\frac{\pi d^2}{4} < \pi d$를 간단한 판정 $d < 4$로 줄이는 데 사용.)7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation ($d = 2$ 또는 $d = 3$이 되는 순서쌍을 나열하고 $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$을 계산하는 데 사용.)
⭐ 두 값을 비교하라는 긴 문장을 변수 하나짜리 부등식으로 바꾼 뒤, 통과하는 주사위 결과만 세면 된다.
⭐ 두 값을 비교하라는 긴 문장을 변수 하나짜리 부등식으로 바꾼 뒤, 통과하는 주사위 결과만 세면 된다.
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