AMC 10 · 2011 · #14

학년 7 probabilitygeometry-2d

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area-circlesperimeterprobability-basic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

표준 6면체 주사위 두 개를 한 번 굴린다. 두 눈의 합을 원의 지름으로 쓴다. 원의 넓이를 나타내는 수와 둘레를 나타내는 수를 그냥 수치로 비교할 때, 넓이 값이 둘레 값보다 작을 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{36}$

(B)

$\frac{1}{12}$

(C)

$\frac{1}{6}$

(D)

$\frac{1}{4}$

(E)

$\frac{5}{18}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

변하는 값은 지름 하나뿐이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 자연스러운 출발점이다. 지름을 d라 부르고 넓이와 둘레를 d에 대한 식으로 쓰면 모호한 말 비교가 깔끔한 부등식으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 조각으로 나눈다. 먼저 어떤 지름이 조건을 만족하는지 찾는 기하·대수 단계, 그다음 그런 지름이 주사위에서 얼마나 자주 나오는지 세는 확률 단계이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 36가지 중 순서쌍을 나열해 그 세기를 깔끔하게 처리한다.

1STEP 1

두 양을 d로 나타내기

눈의 합을 지름 d라 하면 넓이는 π(d/2)² = (πd²)/4, 둘레는 πd로 문자 하나에 담긴다.

넓이 = π(d/2)² = (π d²)/4, 둘레 = π d

2STEP 2

비교를 d ＜ 4로 바꾸기

넓이가 더 작으려면 (πd²)/4 ＜ πd이고, 양수 πd로 나누면 d/4 ＜ 1, 곧 d ＜ 4이다.

(π d²)/4 ＜ π d ⟹ d/4 ＜ 1 ⟹ d ＜ 4

3STEP 3

조건을 만족하는 눈의 합 찾기

눈의 합은 2 이상이라 d ＜ 4는 d = 2: (1,1), d = 3: (1,2), (2,1)뿐이니 3가지이다.

d ＜ 4, d ≥ 2 → d ∈ {2,3}; d=2 : (1,1); d=3 : (1,2),(2,1)

4STEP 4

확률 계산하기

유리한 3가지를 전체 36가지로 나누면 3/36 = 1/12, 곧 보기 (B)이다.

P = (1 + 2)/36 = 3/36 = 1/12 → (B)

정답

1/12

경계인 d = 4에서는 넓이와 둘레가 같다((π·16)/4 = 4π = π·4). 따라서 4보다 작은 지름만 조건을 만족하며, 이는 작은 집합이므로 작은 확률이 예상된다. 조건을 만족하는 합은 2와 3뿐이고 이는 가장 드문 합으로 각각 1/36, 2/36이다. 합은 3/36 = 1/12로 보기 (B)이다. 함정 보기들은 부분 계산과 맞물린다. (A) 1/36은 d=2만 센 값, (C) 1/6은 d=4까지 잘못 포함한 값, (E) 5/18은 부등식을 아예 무시한 값이다.

💡핵심 정리

두 값을 비교하라는 긴 문장을 변수 하나짜리 부등식으로 바꾼 뒤, 통과하는 주사위 결과만 세면 된다.

두 양을 d로 나타내기
비교를 d ＜ 4로 바꾸기
조건을 만족하는 눈의 합 찾기
확률 계산하기

두 양을 d로 나타내기

비교를 d ＜ 4로 바꾸기

조건을 만족하는 눈의 합 찾기

확률 계산하기

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