AMC 10 · 2011 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlestangent-circlescoordinate-geometry identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 1인 세 원 A, B, C가 있다. 원 A와 B는 서로 접하고, 원 C는 A와 B의 중심을 잇는 선분의 정확한 중점에서 접한다. 원 C의 내부이면서 원 A와 원 B의 바깥에 있는 부분의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3 - \frac{\pi}{2}$

(B)

$\frac{\pi}{2}$

(C)

(D)

$\frac{3\pi}{4}$

(E)

$1+\frac{\pi}{2}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

구하려는 영역은 곡선으로 둘러싸여 까다롭지만, 사실 원판 C 전체에서 겹치는 두 조각을 덜어낸 것이다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 중심축이다: Area(C)를 구하고, 겹침 C∩ A를 구한 뒤 대칭성으로 두 배 한다. 도구 #1(그림 그리기)은 이를 정확하게 만들어 준다 — 원들을 좌표평면에 놓으면 모든 중심과 교점이 확정된다. 도구 #17(공간 상상하기)은 각 겹침 렌즈가 합동인 두 조각(사분원에서 삼각형을 뺀 활꼴)으로 이루어짐을 드러내며, 이 관찰이 지저분한 π 항들을 상쇄시키는 결정적 수이다.

1STEP 1

원들을 좌표평면에 놓기

A와 B의 접점을 원점에 두면 A=(-1,0), B=(1,0), M=(0,0)이고 C의 중심은 (0,1)이다.

A=(-1,0), B=(1,0), M=(0,0), C=(0,1); AC=√(1²+1²)=√(2)

2STEP 2

목표를 뺄셈으로 쪼개기

원판 C 전체(넓이 π)에서 A와 겹친 조각, B와 겹친 조각을 뺀다. 대칭이므로 둘은 같다.

Area=π-2·Area(C∩ A)

3STEP 3

C와 A의 교점 찾기

C와 A는 M 말고 P=(-1,1)에서도 만나고, A, M, C, P는 한 변이 1인 정사각형이다.

C∩ A={(0,0), (-1,1)}

4STEP 4

호가 직각을 이룬다

A에서 M과 P로 가는 방향이 서로 수직이라, 호 MP는 넓이 π/4인 사분원을 자른다.

∠ MAP=90° → sector=90/360π(1)²=π/4

5STEP 5

삼각형을 벗겨 렌즈 넓이 구하기

직각삼각형 AMP(넓이 1/2)를 빼면 활꼴 π/4-1/2가 남고, 합동인 둘이 렌즈 π/2-1을 이룬다.

△ AMP=1/2(1)(1)=1/2; Area(C∩ A)=2(π/4-1/2)=π/2-1

6STEP 6

두 겹침을 빼기

원판 C에서 두 렌즈를 빼면 π-2(π/2-1)=π-π+2이므로 넓이는 2, 선택지 (C)이다.

π-2(π/2-1)=π-π+2=2 → (C)

정답

원 C의 넓이는 π≈3.14이다. 각 겹침은 π/2-1≈0.57이고 두 개를 합치면 약 1.14이므로, 대략 3.14-1.14=2.0이 남아 정확한 답 2와 일치한다. 또한 모든 π 항이 상쇄된다는 점이 안심을 준다: 남은 영역은 직선으로 둘러싸인 정수 넓이의 도형으로 다시 맞춰지므로, 2처럼 π 없는 답이 예상된다. π가 남는 선택지 (B) π/2, (D) 3π/4, (E) 1+π/2는 상쇄 전에 멈추게 하는 함정이다.

💡핵심 정리

남은 넓이를 구할 때는 전체 도형에서 겹치는 조각을 하나씩 빼라 — 사분원에서 삼각형을 빼면 지저분한 π 조각이 깔끔한 정수로 바뀐다.

원들을 좌표평면에 놓기
목표를 뺄셈으로 쪼개기
C와 A의 교점 찾기
호가 직각을 이룬다
삼각형을 벗겨 렌즈 넓이 구하기
두 겹침을 빼기