AMC 10 · 2011 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlestangent-circlescoordinate-geometry identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원 $A, B,$ 그리고 $C$ 는 각각 반지름이 1이다. 원 $A$ 와 $B$ 는 한 점에서 접한다. 원 $C$ 는 $\overline{AB}$ 의 중점에서 접한다. 원 $C$ 의 내부이면서 원 $A$ 와 원 $B?$ 의 외부인 영역의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3 - \frac{\pi}{2}$

(B)

$\frac{\pi}{2}$

(C)

(D)

$\frac{3\pi}{4}$

(E)

$1+\frac{\pi}{2}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $1$인 세 원 $A$, $B$, $C$가 있다. 원 $A$와 $B$는 서로 접하고, 원 $C$는 $A$와 $B$의 중심을 잇는 선분의 정확한 중점에서 접한다. 원 $C$의 내부이면서 원 $A$와 원 $B$의 바깥에 있는 부분의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 원 $A$, $B$, $C$의 반지름은 모두 $1$이다; 원 $A$와 $B$는 접하며 정확히 한 점을 공유한다; 원 $C$는 $A$와 $B$의 중심을 잇는 선분 $\overline{AB}$의 중점 $M$에서 접한다; 선택지: (A) $3-\frac{\pi}{2}$, (B) $\frac{\pi}{2}$, (C) $2$, (D) $\frac{3\pi}{4}$, (E) $1+\frac{\pi}{2}$

구하는 것: 원 $C$의 내부이면서 원 $A$와 원 $B$ 둘 다의 바깥에 있는 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기

구하려는 영역은 곡선으로 둘러싸여 까다롭지만, 사실 원판 $C$ 전체에서 겹치는 두 조각을 덜어낸 것이다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 중심축이다: $\text{Area}(C)$를 구하고, 겹침 $C\cap A$를 구한 뒤 대칭성으로 두 배 한다. 도구 #1(그림 그리기)은 이를 정확하게 만들어 준다 — 원들을 좌표평면에 놓으면 모든 중심과 교점이 확정된다. 도구 #17(공간 상상하기)은 각 겹침 렌즈가 합동인 두 조각(사분원에서 삼각형을 뺀 활꼴)으로 이루어짐을 드러내며, 이 관찰이 지저분한 $\pi$ 항들을 상쇄시키는 결정적 수이다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.B.8 단계 1

원들을 좌표평면에 놓기

$A$와 $B$의 접점을 원점에 둔다.
그러면 원 $A$의 중심은 $(-1,0)$, 원 $B$의 중심은 $(1,0)$이 되어 두 원은 원점에서 정확히 접하고, 이 원점이 $\overline{AB}$의 중점 $M=(0,0)$이다.
원 $C$도 같은 점 $M$에서 접하고 반지름이 $1$이므로 그 중심은 바로 위쪽 $(0,1)$에 놓인다.
따라서 $C$의 중심에서 $A$의 중심까지의 거리는 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$이다.

$$A=(-1,0),\ B=(1,0),\ M=(0,0),\ C=(0,1); \quad AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

💡 격자는 모든 중심과 접점을 못 박아, 흐릿한 그림을 정확한 좌표로 바꿔 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

목표를 뺄셈으로 쪼개기

구하려는 영역은 원 $C$에서 $A$와 $B$ 둘 다의 바깥에 있는 부분이다.
넓이가 $\pi(1)^2=\pi$인 원판 $C$ 전체에서 출발하여, $A$와 겹치는 조각과 $B$와 겹치는 조각을 뺀다.
원 $A$와 $B$는 점 $M$ 한 곳에서만 만나므로 공유하는 넓이가 없고, 어떤 것도 두 번 빼지지 않는다.
그림의 좌우 대칭성에 의해 $C$와 $A$의 겹침은 $C$와 $B$의 겹침과 같다.

$$\text{Area}=\pi-2\cdot\text{Area}(C\cap A)$$

💡 원 전체에서 이웃으로 파고든 부분만 벗겨 내면 된다.

#1 그림 그리기 8.G.B.8 단계 3

$C$와 $A$의 교점 찾기

원 $C$와 $A$는 두 점에서 만난다.
하나는 $M=(0,0)$이다.
다른 하나는 $P=(-1,1)$이다: $A$의 중심 바로 위 $1$만큼에 있어 $A$ 위에 있고, $C$에 대입하면 $(-1)^2+(1-1)^2=1$이므로 $C$ 위에도 있다.
네 점 $A=(-1,0)$, $M=(0,0)$, $C=(0,1)$, $P=(-1,1)$은 한 변이 $1$인 정사각형의 꼭짓점이다.
겹침 렌즈 $C\cap A$는 현 $MP$에 의해 두 곡선 조각으로 나뉜다.

$$C\cap A=\{(0,0),\,(-1,1)\}$$

💡 두 원은 접점과 깔끔한 격자점 하나에서 만나, 그림 전체를 정사각형으로 맞춰 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

호가 직각을 이룬다

$A=(-1,0)$에서 $M=(0,0)$을 향한 방향은 $(1,0)$, $P=(-1,1)$을 향한 방향은 $(0,1)$이다.
이 둘은 서로 수직이므로 원 $A$ 위의 호 $MP$는 직각을 이루며, 이는 원 전체의 사분의 일이다.
원 $A$의 사분원 넓이는 $\frac{90}{360}\pi(1)^2=\frac{\pi}{4}$이다.

$$\angle MAP=90^\circ \Rightarrow \text{sector}=\frac{90}{360}\pi(1)^2=\frac{\pi}{4}$$

💡 중심에서 나온 두 방향이 수직이면 그 호는 원의 정확히 사분의 일이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

삼각형을 벗겨 렌즈 넓이 구하기

사분원 안에는 두 변 $AM=1$, $AP=1$인 직각삼각형 $AMP$가 있고, 그 넓이는 $\frac12$이다.
남는 부분 — 현 $MP$와 호 사이 — 은 넓이 $\frac{\pi}{4}-\frac12$인 활꼴이다.
같은 현 $MP$는 원 $C$에서도 활꼴 하나를 잘라내는데, $A$, $M$, $C$, $P$가 정사각형을 이루므로 그 조각은 합동이며 역시 $\frac{\pi}{4}-\frac12$이다.
두 활꼴이 합쳐져 렌즈 전체를 이루므로 $\text{Area}(C\cap A)=2\left(\frac{\pi}{4}-\frac12\right)=\frac{\pi}{2}-1$이다.

$$\triangle AMP=\frac12(1)(1)=\frac12; \quad \text{Area}(C\cap A)=2\left(\frac{\pi}{4}-\frac12\right)=\frac{\pi}{2}-1$$

💡 사분원에서 내접한 직각삼각형을 도려내면 정확히 겹침 조각만 남고, 대칭성이 이를 두 배로 만든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 6

두 겹침을 빼기

각 겹침의 넓이는 $\frac{\pi}{2}-1$이고, ($A$와의 것, $B$와의 것) 두 개가 있다.
이를 원판 $C$ 전체에서 빼면 $\pi-2\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\pi-\pi+2=2$이다.
따라서 원 $C$의 내부이면서 $A$와 $B$의 바깥인 넓이는 $2$이고, 이는 선택지 (C)이다.

$$\pi-2\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\pi-\pi+2=2 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 두 $\pi$ 조각이 상쇄되어 정수 넓이만 남는다.

[1] #1 8.G.B.8 $A$와 $B$의 접점을 원점에 둔다. 그러면 원 $A$의 중심은 $(-1,0)$, 원 $B$의 중심은 $(1,0)$이 되어 두 원은 원점에서

[2] #7 7.G.B.4 구하려는 영역은 원 $C$에서 $A$와 $B$ 둘 다의 바깥에 있는 부분이다. 넓이가 $\pi(1)^2=\pi$인 원판 $C$ 전체에서 출발하여

[3] #1 8.G.B.8 원 $C$와 $A$는 두 점에서 만난다. 하나는 $M=(0,0)$이다. 다른 하나는 $P=(-1,1)$이다: $A$의 중심 바로 위 $1$만큼에

[4] #7 7.G.B.4 $A=(-1,0)$에서 $M=(0,0)$을 향한 방향은 $(1,0)$, $P=(-1,1)$을 향한 방향은 $(0,1)$이다. 이 둘은 서로 수직

[5] #7 6.G.A.1 사분원 안에는 두 변 $AM=1$, $AP=1$인 직각삼각형 $AMP$가 있고, 그 넓이는 $\frac12$이다. 남는 부분 — 현 $MP$와

[6] #7 7.G.B.4 각 겹침의 넓이는 $\frac{\pi}{2}-1$이고, ($A$와의 것, $B$와의 것) 두 개가 있다. 이를 원판 $C$ 전체에서 빼면 $\p

검토

합리성 확인: 원 $C$의 넓이는 $\pi\approx3.14$이다. 각 겹침은 $\frac{\pi}{2}-1\approx0.57$이고 두 개를 합치면 약 $1.14$이므로, 대략 $3.14-1.14=2.0$이 남아 정확한 답 $2$와 일치한다. 또한 모든 $\pi$ 항이 상쇄된다는 점이 안심을 준다: 남은 영역은 직선으로 둘러싸인 정수 넓이의 도형으로 다시 맞춰지므로, $2$처럼 $\pi$ 없는 답이 예상된다. $\pi$가 남는 선택지 (B) $\frac{\pi}{2}$, (D) $\frac{3\pi}{4}$, (E) $1+\frac{\pi}{2}$는 상쇄 전에 멈추게 하는 함정이다.

대안 접근: 빼는 대신 재배치한다. 원 $C$가 이웃에게 내주는 각 활꼴을 아래쪽 원들 사이에 남은 홈으로, 접선까지 곧장 밀어 넣는다. 이렇게 잘라 붙이면 남은 넓이는 대각선이 원 $C$의 지름 $2$인 정사각형으로 재구성된다. 대각선이 $2$인 정사각형의 넓이는 $\frac12\cdot2^2=2$이므로, 활꼴을 계산하지 않고도 답이 $2$ (C)임을 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.8 Apply the Pythagorean Theorem to find the distance between two points in a coordinate system (원의 중심들을 격자에 놓고 중심 거리 $\sqrt{2}$와 교점 $M$, $P$를 찾는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for the area and circumference of a circle and use them to solve problems (원판 넓이 $\pi$와 사분원 넓이 $\frac{\pi}{4}$를 계산하고 조합하여 $2$를 얻는 데 사용.)
6.G.A.1 Find the area of triangles and other polygons by composing or decomposing shapes (사분원에서 넓이 $\frac12$인 직각삼각형 $AMP$를 제거하여 각 활꼴을 분리하는 데 사용.)

⭐ 남은 넓이를 구할 때는 전체 도형에서 겹치는 조각을 하나씩 빼라 — 사분원에서 삼각형을 빼면 지저분한 $\pi$ 조각이 깔끔한 정수로 바뀐다.