AMC 10 · 2011 · #24

학년 8 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

spatial-visualizationvolume-rectangular-prismpythagorean-theorem physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: spatial-visualization

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

서로 다른 두 정사면체의 꼭짓점이 모두 같은 단위 정육면체의 꼭짓점 중에 있다. 이 두 정사면체가 겹치는 부분으로 이루어진 영역의 부피는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\,\frac{1}{12}$

(B)

$\,\frac{\sqrt2}{12}$

(C)

$\,\frac{\sqrt3}{12}$

(D)

$\,\frac{1}{6}$

(E)

$\,\frac{\sqrt2}{6}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 1인 정육면체에는 꼭짓점이 8개 있다. 이 꼭짓점만을 정점으로 삼아 서로 다른 두 정사면체를 만든다. 두 정사면체에 동시에 속하는(겹치는) 영역의 부피를 구하여라.

주어진 것: 한 변의 길이가 1인 정육면체.; 정육면체의 여덟 꼭짓점 중 네 개씩을 정점으로 쓰는, 서로 다른 두 정사면체.; 각 정사면체의 모든 모서리는 정육면체의 한 면의 대각선이다.

구하는 것: 두 정사면체가 겹치는(교집합) 영역의 부피.

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 순전히 3차원 그림 문제이므로, 핵심은 정육면체 안에 놓인 두 정사면체와 그 겹치는 부분을 머릿속으로 그려 보는 것이다. 정육면체를 좌표 위에 놓으면 모든 꼭짓점이 정해진다. 겹치는 영역이 정육면체 각 면의 중심을 정점으로 하는 정팔면체라는 것을 알아채는 것이 핵심이고, 그다음 그 팔면체를 두 개의 단순한 사각뿔로 쪼개면 부피 계산은 더 쉬운 작은 문제가 된다.

실행 — 정답: D

#17 공간 상상하기 5.G.A.2 단계 1

번갈아 놓인 꼭짓점으로 두 정사면체 고르기

정육면체를 (0,0,0)부터 (1,1,1)까지 좌표 위에 놓는다.
여덟 꼭짓점을 체스판처럼 두 색으로 칠하자.
좌표의 합이 짝수이면 한 색, 홀수이면 다른 색이다.
짝수 꼭짓점 네 개가 한 정사면체를, 홀수 꼭짓점 네 개가 다른 정사면체를 이룬다.
두 정사면체는 서로 여집합인 꼭짓점 집합을 쓰므로, 함께 정육면체의 여덟 꼭짓점을 모두 채운다.

$$\text{Tetra 1}:(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\quad\text{Tetra 2}:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)$$

💡 정육면체의 꼭짓점을 번갈아 고르는 것이 서로 같은 거리인 네 점을 얻는 유일한 방법이고, 정사면체는 바로 그것을 필요로 한다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

각 모서리는 길이 루트 2인 면 대각선

한 정사면체의 두 꼭짓점, 예를 들어 (0,0,0)과 (1,1,0)을 보자.
두 좌표가 1씩 다르고 나머지 한 좌표는 같으므로, 둘 사이 거리는 단위 정사각형 면의 대각선이다.
피타고라스 정리로 이 길이는 1의 제곱 더하기 1의 제곱의 제곱근, 즉 루트 2이다.
두 정사면체의 모든 모서리가 이런 면 대각선이므로, 여섯 모서리가 모두 같고 각 정사면체는 실제로 정사면체가 맞다.

\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}\ \Rightarrow\ \text{모서리 6개 모두}=\sqrt{2}

💡 입체의 모서리가 모두 같다면 전부 같은 종류의 선분이어야 하고, 여기서는 모두 면 대각선이다.

#17 공간 상상하기 7.G.A.3 단계 3

겹치는 부분을 면 중심들의 정팔면체로 보기

정육면체의 각 면에는 대각선이 두 개 있다.
하나는 Tetra 1의 모서리, 다른 하나는 Tetra 2의 모서리이며, 둘은 그 면의 중심에서 만난다.
두 정사면체에 모두 속하는 영역은 이 교차점들로 둘러싸인 정육면체 중심 둘레의 덩어리이고, 그 여섯 꼭짓점은 바로 정육면체의 여섯 면 중심이다.
가운데를 빙 두른 정사각형에 위아래로 뾰족한 점이 하나씩 있는, 꼭짓점 여섯 개짜리 도형이 곧 정팔면체이다.

\text{꼭짓점}=6\text{개 면 중심: }(\tfrac12,\tfrac12,0),(\tfrac12,\tfrac12,1),(\tfrac12,0,\tfrac12),(\tfrac12,1,\tfrac12),(0,\tfrac12,\tfrac12),(1,\tfrac12,\tfrac12)

💡 모든 면의 두 대각선은 그 면의 중심에서 만나므로, 그 중심들이 겹치는 영역의 자연스러운 꼭짓점이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

정팔면체 한가운데를 지나는 정사각형 찾기

정팔면체를 정육면체 높이의 절반, 즉 높이 2분의 1인 수평면으로 자르자.
네 옆면의 면 중심 네 개가 모두 이 평면에 있으며 정사각형을 이룬다.
그 두 대각선은 정육면체를 가로질러 (0, 1/2, 1/2)에서 (1, 1/2, 1/2)까지, 그리고 (1/2, 0, 1/2)에서 (1/2, 1, 1/2)까지 곧게 뻗으므로 각 대각선의 길이는 1이다.
정사각형의 넓이는 두 대각선 곱의 절반이므로 2분의 1이다.

d_1=d_2=1\ \Rightarrow\ \text{정사각형 넓이}=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}=\dfrac{1}{2}

💡 정팔면체의 두 긴 대각선은 정육면체의 모서리 길이 그대로 한가운데를 가로지르므로 각각 길이 1이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 5

두 사각뿔을 더하기

그 한가운데 정사각형이 정팔면체를 두 개의 사각뿔로 나눈다.
하나는 위쪽 면 중심을 향하고 하나는 아래쪽 면 중심을 향한다.
각 꼭대기는 가운데 평면에서 위나 아래로 높이 2분의 1만큼 떨어져 있다.
사각뿔의 부피는 밑넓이 곱하기 높이의 3분의 1이므로, 각 뿔은 3분의 1 곱하기 2분의 1 곱하기 2분의 1, 즉 12분의 1이다.
두 개를 더하면 12분의 1 더하기 12분의 1, 곧 6분의 1이다.
따라서 교집합의 부피는 1/6이고, 답은 (D)이다.

$$V=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$$

💡 정팔면체를 가장 넓은 정사각형에서 쪼개면 크기를 쉽게 계산할 수 있는 두 사각뿔이 된다.

[1] #17 5.G.A.2 정육면체를 (0,0,0)부터 (1,1,1)까지 좌표 위에 놓는다. 여덟 꼭짓점을 체스판처럼 두 색으로 칠하자. 좌표의 합이 짝수이면 한 색, 홀

[2] #1 8.G.B.7 한 정사면체의 두 꼭짓점, 예를 들어 (0,0,0)과 (1,1,0)을 보자. 두 좌표가 1씩 다르고 나머지 한 좌표는 같으므로, 둘 사이 거리는

[3] #17 7.G.A.3 정육면체의 각 면에는 대각선이 두 개 있다. 하나는 Tetra 1의 모서리, 다른 하나는 Tetra 2의 모서리이며, 둘은 그 면의 중심에서 만

[4] #7 6.G.A.1 정팔면체를 정육면체 높이의 절반, 즉 높이 2분의 1인 수평면으로 자르자. 네 옆면의 면 중심 네 개가 모두 이 평면에 있으며 정사각형을 이룬다

[5] #7 7.G.B.6 그 한가운데 정사각형이 정팔면체를 두 개의 사각뿔로 나눈다. 하나는 위쪽 면 중심을 향하고 하나는 아래쪽 면 중심을 향한다. 각 꼭대기는 가운데

검토

합리성 확인: 정사면체 하나의 부피는 3분의 1이다 (단위 정육면체에서 부피 6분의 1인 모퉁이 조각 네 개를 잘라낸 것). 겹치는 부분은 정사면체 하나보다 작아야 하는데, 6분의 1은 실제로 3분의 1보다 작고 정육면체 부피 1보다도 작으므로 크기가 타당하다. 깔끔한 값 1/6은 선택지 (D)와 일치한다.

대안 접근: 여섯 면 중심은 한 정사면체의 모서리 중점들이므로, 이 정팔면체는 그 정사면체의 중점 팔면체이다. 모서리 중점을 이으면 큰 정사면체에서 작은 모퉁이 사면체 네 개(각각 부피의 8분의 1)가 잘려 나가고 절반이 남는다. 정사면체 부피 3분의 1의 절반은 6분의 1이므로 답이 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.2 점을 좌표평면에 나타내어 실생활 및 수학 문제 해결하기 (정육면체를 좌표 위에 놓고 두 정사면체의 꼭짓점에 이름 붙이기.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 변의 길이 구하기 (각 정사면체 모서리가 길이 루트 2인 면 대각선임을 보이기.)
7.G.A.3 입체도형을 자를 때 생기는 평면도형 기술하기 (겹치는 영역을 정육면체 면 중심을 꼭짓점으로 하는 정팔면체로 알아보기.)
6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 쪼개고 합쳐 구하기 (대각선으로부터 정팔면체 한가운데 정사각형의 넓이 구하기.)
7.G.B.6 넓이, 겉넓이, 부피에 관한 실생활 문제 해결하기 (두 사각뿔을 더해 교집합의 부피 6분의 1 구하기.)

⭐ 정육면체를 공유하는 두 정사면체는 면 중심을 꼭짓점으로 하는 정팔면체에서 겹치고, 그것을 두 사각뿔로 쪼개면 부피는 6분의 1이다.