AMC 10 · 2011 · #8

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

percentageratio-proportionconditional-probability complementary-counting ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

작년 여름에 타운 호수에 사는 새 중 30%는 거위, 25%는 백조, 10%는 왜가리, 35%는 오리였다. 백조가 아닌 새 중에서 거위는 몇 퍼센트인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 호수에 사는 새 중에서 30%는 거위, 25%는 백조, 10%는 왜가리, 35%는 오리다. 백조가 아닌 새들만 놓고 볼 때, 그중 몇 %가 거위인지 구하라.

주어진 것: 거위는 전체 새의 30%다; 백조는 전체 새의 25%다; 왜가리는 전체 새의 10%다; 오리는 전체 새의 35%다; 네 비율이 모든 새를 덮는다: 30 + 25 + 10 + 35 = 100

구하는 것: 백조가 아닌 새들 중에서 거위가 차지하는 비율(%)

이해

문제 재정리: 호수에 사는 새 중에서 30%는 거위, 25%는 백조, 10%는 왜가리, 35%는 오리다. 백조가 아닌 새들만 놓고 볼 때, 그중 몇 %가 거위인지 구하라.

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #8 단위 살펴보기

함정은 거위의 30%가 '전체 새'를 기준으로 잰 값인데, 문제는 '백조가 아닌 새'를 기준으로 한 비율을 묻는다는 점이다. 그래서 핵심은 무엇을 전체(기준)로 삼을지 바꾸는 것이다. 백조가 아닌 새는 백조의 여집합이므로 빼기 한 번으로 금방 구한다. 새가 정확히 100마리라고 가정하면 모든 %가 그대로 마릿수가 되어 마지막 나눗셈이 쉬워진다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.3 단계 1

기준이 바뀜을 알아채기

문제는 전체 새 중 몇 %가 거위인지 묻는 것이 아니라, 백조가 아닌 새 중 몇 %가 거위인지 묻는다.
즉 비교 기준이 전체 새가 아니라 백조가 아닌 새들로 바뀐다.
이 새로운 기준을 찾는 것이 문제의 전부다.

💡 백분율은 항상 기준이 되는 '전체'가 필요한데, 여기서는 그 전체가 전체 새에서 백조가 아닌 새로 바뀐다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 2

백조가 아닌 새의 비율 구하기

백조가 아닌 새는 백조를 뺀 나머지 전부다.
백조가 전체 새의 25%이므로, 백조가 아닌 새는 전체 새의 100% - 25% = 75%다.

$$100\% - 25\% = 75\%$$

💡 '백조가 아님'은 백조의 여집합이므로, 전체에서 백조 비율을 빼면 된다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 3

새 100마리로 구체화하기

새가 모두 100마리라고 하자.
그러면 거위는 30마리이고, 백조가 아닌 새는 75마리다.
우리가 구할 비율은 거위 30마리를 백조가 아닌 새 75마리와 비교한 값이다.

\text{거위} = 30,\qquad \text{백조가 아닌 새} = 75

💡 새가 100마리이면 백분율이 곧바로 마릿수가 되어, 분수 계산에서 헷갈릴 일이 없다.

#8 단위 살펴보기 5.NF.B.3 단계 4

거위를 백조 아닌 새와 비교하기

거위를 백조가 아닌 새로 나누어 비율을 구한다.
75 중 30은 \frac{30}{75} = \frac{2}{5} = 0.4, 즉 40%다.
따라서 백조가 아니었던 새 중 40%가 거위이며, 정답은 (C)다.

$$\dfrac{30}{75} = \dfrac{2}{5} = 0.4 = 40\%$$

💡 '75 중 30'을 분수로, 다시 백분율로 읽으면 '새로운 전체의 몇 부분인가'가 나온다.

[1] #16 6.RP.A.3 문제는 전체 새 중 몇 %가 거위인지 묻는 것이 아니라, 백조가 아닌 새 중 몇 %가 거위인지 묻는다. 즉 비교 기준이 전체 새가 아니라 백조가

[2] #16 4.OA.A.3 백조가 아닌 새는 백조를 뺀 나머지 전부다. 백조가 전체 새의 25%이므로, 백조가 아닌 새는 전체 새의 100% - 25% = 75%다.

[3] #9 6.RP.A.3 새가 모두 100마리라고 하자. 그러면 거위는 30마리이고, 백조가 아닌 새는 75마리다. 우리가 구할 비율은 거위 30마리를 백조가 아닌 새

[4] #8 5.NF.B.3 거위를 백조가 아닌 새로 나누어 비율을 구한다. 75 중 30은 \frac{30}{75} = \frac{2}{5} = 0.4, 즉 40%다. 따

검토

합리성 확인: 백조를 빼면 전체가 100에서 75로 줄지만 거위 30마리는 그대로 남으므로, 거위의 비율은 원래의 30%보다 커져야 한다. 답 40%는 실제로 30%보다 크므로 20%(A)와 30%(B)는 배제된다. 추가 확인으로, 백조가 아닌 다른 무리를 보면 왜가리는 10/75 \approx 13\%, 오리는 35/75 \approx 47\%이고, 40 + 13 + 47은 반올림하면 100%가 되어 비율이 알맞게 더해진다. 이는 정답 (C)를 뒷받침한다.

대안 접근: 100마리로 세지 않고 백분율끼리 바로 계산할 수도 있다. 거위는 전체의 30%, 백조가 아닌 새는 전체의 75%이므로 답은 \frac{30\%}{75\%} = \frac{30}{75} = 40\%다. '전체 새 기준'이 분자와 분모에서 약분되어, 전체 수를 정하지 않고도 같은 40%가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기(백분율 포함) (비율의 기준이 새로운 전체(백조가 아닌 새)로 바뀜을 인식하고, 백분율을 100마리당 마릿수로 읽기)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 여러 단계의 문장제 해결하기 (백조 비율을 빼서 백조가 아닌 새의 비율 구하기: 100% - 25% = 75%)
5.NF.B.3 분수를 분자 나누기 분모로 해석하기 (75 중 30을 30/75로 읽고 40%로 바꾸기)

⭐ 백분율이 더 작은 무리 '중에서'를 물으면, 먼저 그 무리를 찾고 전체가 아니라 그 무리를 기준으로 비교한다.