AMC 10 · 2013 · #10
학년 6 rate-ratio어느 꽃다발에는 분홍 장미, 빨간 장미, 분홍 카네이션, 빨간 카네이션이 들어 있다. 분홍 꽃의 3분의 1은 장미이고, 빨간 꽃의 4분의 3은 카네이션이며, 전체 꽃의 10분의 6은 분홍색이다. 전체 꽃 중 카네이션은 몇 퍼센트인가?
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 꽃다발에 네 종류의 꽃이 있다: 분홍 장미, 빨강 장미, 분홍 카네이션, 빨강 카네이션. 분홍 꽃의 $\tfrac{1}{3}$ 은 장미이고, 빨강 꽃의 $\tfrac{3}{4}$ 은 카네이션이며, 전체 꽃의 $\tfrac{6}{10}$ 은 분홍색이다. 이때 전체 꽃 중 카네이션이 몇 퍼센트인지 구하라.
주어진 것: 각 꽃은 분홍 장미, 빨강 장미, 분홍 카네이션, 빨강 카네이션 중 정확히 하나이다; 분홍 꽃 중 $\tfrac{1}{3}$ 은 장미이다; 빨강 꽃 중 $\tfrac{3}{4}$ 은 카네이션이다; 전체 꽃의 $\tfrac{6}{10}$ 은 분홍색이다; 선택지: (A) $15$, (B) $30$, (C) $40$, (D) $60$, (E) $70$
구하는 것: 전체 꽃 중 카네이션의 비율(퍼센트)
이해
문제 재정리: 한 꽃다발에 네 종류의 꽃이 있다: 분홍 장미, 빨강 장미, 분홍 카네이션, 빨강 카네이션. 분홍 꽃의 $\tfrac{1}{3}$ 은 장미이고, 빨강 꽃의 $\tfrac{3}{4}$ 은 카네이션이며, 전체 꽃의 $\tfrac{6}{10}$ 은 분홍색이다. 이때 전체 꽃 중 카네이션이 몇 퍼센트인지 구하라.
주어진 것: 각 꽃은 분홍 장미, 빨강 장미, 분홍 카네이션, 빨강 카네이션 중 정확히 하나이다; 분홍 꽃 중 $\tfrac{1}{3}$ 은 장미이다; 빨강 꽃 중 $\tfrac{3}{4}$ 은 카네이션이다; 전체 꽃의 $\tfrac{6}{10}$ 은 분홍색이다; 선택지: (A) $15$, (B) $30$, (C) $40$, (D) $60$, (E) $70$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기
이 문제는 실제 꽃의 개수는 주지 않고 비율만 주면서 퍼센트를 묻는다. 그래서 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 시작하는 것이 자연스럽다: 추상적인 '전체 꽃' 을 편리한 구체적 총합인 $100$ 송이로 바꾼다. 퍼센트는 '$100$ 당' 이라는 뜻이므로, 꽃이 $100$ 송이면 마지막 카네이션 개수가 곧 퍼센트 답이 된다 (도구 #8, 단위 살펴보기). 그다음 꽃다발은 두 색 그룹으로 깔끔히 나뉘고, 각 그룹은 다시 장미와 카네이션으로 나뉘므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 분홍 카네이션과 빨강 카네이션을 따로 세어 더하면 된다.
실행 — 정답: E
6.RP.A.3 단계 1 전체를 100 송이로 두기
- 실제 개수는 없고 비율만 주어졌으며 문제는 퍼센트를 묻는다.
- 퍼센트는 '$100$ 당' 이라는 뜻이므로, 꽃다발에 꽃이 정확히 $100$ 송이 있다고 두자.
- 이렇게 하면 카네이션으로 밝혀지는 개수가 그대로 카네이션의 퍼센트가 된다.
- 모든 조건이 비율이라 전체와 함께 비례로 늘어나므로 $100$ 을 골라도 답은 바뀌지 않는다.
💡 답이 퍼센트이므로 꽃을 100 송이로 잡으면 마지막 개수가 곧 퍼센트가 되어 따로 나눌 필요가 없다.
6.RP.A.3 단계 2 색으로 나누기: 분홍과 빨강
- 전체의 $\tfrac{6}{10}$ 이 분홍색이므로 $100$ 송이 중 분홍 꽃은 $\tfrac{6}{10}\cdot 100 = 60$ 송이다.
- 나머지는 빨강이므로 빨강 꽃은 $100 - 60 = 40$ 송이다.
- 이제 모든 꽃이 두 색 그룹 중 하나로 정리된다.
💡 색은 분홍과 빨강 둘뿐이므로 분홍 개수를 알면 빨강 개수는 남은 것이다.
5.NF.B.6 단계 3 분홍 카네이션 세기
- 분홍 꽃 $60$ 송이 중 $\tfrac{1}{3}$ 이 장미이므로 나머지 $\tfrac{2}{3}$ 이 카네이션이다.
- $60$ 의 $\tfrac{2}{3}$ 은 $\tfrac{2}{3}\cdot 60 = 40$ 이므로 분홍 카네이션은 $40$ 송이다.
💡 한 그룹의 $\tfrac{1}{3}$ 이 장미라면 남은 $\tfrac{2}{3}$ 이 카네이션일 수밖에 없다.
5.NF.B.6 단계 4 빨강 카네이션 세기
- 빨강 꽃 $40$ 송이 중 $\tfrac{3}{4}$ 이 카네이션이다.
- $40$ 의 $\tfrac{3}{4}$ 은 $\tfrac{3}{4}\cdot 40 = 30$ 이므로 빨강 카네이션은 $30$ 송이다.
💡 한 그룹의 $\tfrac{3}{4}$ 을 취하는 것은 그것을 네 등분해서 세 몫을 남기는 것과 같다.
6.RP.A.3 단계 5 카네이션을 더하고 퍼센트 읽기
- 카네이션은 분홍과 빨강 두 종류다.
- 두 개수를 더하면 $40 + 30 = 70$ 송이다.
- 처음에 정한 $100$ 송이 중 $70$ 송이가 카네이션이므로 이는 $70\%$ 이다.
- 따라서 답은 $\textbf{(E)}\ 70$ 이다.
💡 전체 카네이션은 분홍 카네이션과 빨강 카네이션의 합이고, 100 송이 중이라면 그 개수가 곧 퍼센트다.
6.RP.A.3 실제 개수는 없고 비율만 주어졌으며 문제는 퍼센트를 묻는다. 퍼센트는 '$100$ 당' 이라는 뜻이므로, 꽃다발에 꽃이 정확히 $100$ 송이 6.RP.A.3 전체의 $\tfrac{6}{10}$ 이 분홍색이므로 $100$ 송이 중 분홍 꽃은 $\tfrac{6}{10}\cdot 100 = 60$ 송이다. 5.NF.B.6 분홍 꽃 $60$ 송이 중 $\tfrac{1}{3}$ 이 장미이므로 나머지 $\tfrac{2}{3}$ 이 카네이션이다. $60$ 의 $\tfra 5.NF.B.6 빨강 꽃 $40$ 송이 중 $\tfrac{3}{4}$ 이 카네이션이다. $40$ 의 $\tfrac{3}{4}$ 은 $\tfrac{3}{4}\cd 6.RP.A.3 카네이션은 분홍과 빨강 두 종류다. 두 개수를 더하면 $40 + 30 = 70$ 송이다. 처음에 정한 $100$ 송이 중 $70$ 송이가 카네이 검토
합리성 확인: 네 그룹이 다시 전체 꽃다발로 합쳐지는지 확인한다: 분홍 장미 $20 +$ 분홍 카네이션 $40 +$ 빨강 장미 $10 +$ 빨강 카네이션 $30 = 100$ 송이로, 우리가 고른 총합과 정확히 일치한다. 빨강 장미는 $40 - 30 = 10$ 송이로 빨강 꽃의 $\tfrac{1}{4}$ 과 맞는다. 카네이션 ($70$) 과 장미 ($20 + 10 = 30$) 를 더해도 $100$ 이 된다. 꽃의 절반 이상이 분홍이고 분홍 꽃 대부분이 카네이션이므로 카네이션 비율이 $50$ 보다 한참 큰 것이 자연스러워 $70\%$ 는 타당하다.
대안 접근: $100$ 송이 대신 전체에 대한 분수로 풀 수도 있다. 분홍은 $\tfrac{6}{10}$, 빨강은 $\tfrac{4}{10}$ 이다. 분홍 카네이션은 전체의 $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{6}{10} = \tfrac{4}{10}$, 빨강 카네이션은 전체의 $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{10} = \tfrac{3}{10}$ 이다. 더하면 $\tfrac{4}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10} = 70\%$ 로 같은 답이 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (전체를 100 송이로 두고 '$\tfrac{6}{10}$ 이 분홍' 을 개수로 바꾸며, 마지막 카네이션 개수 70(100 중)을 70퍼센트로 읽은 것.)5.NF.B.6Solve real-world problems involving multiplication of fractions and mixed numbers (분홍 꽃 60 송이의 $\tfrac{2}{3}$ 을 취해 분홍 카네이션 40 송이를, 빨강 꽃 40 송이의 $\tfrac{3}{4}$ 을 취해 빨강 카네이션 30 송이를 구한 것.)
⭐ 비율만 주고 퍼센트를 물으면 전체를 100개라고 생각하자. 각 그룹을 세고 원하는 것만 더하면 그 개수가 곧 퍼센트다.
⭐ 비율만 주고 퍼센트를 물으면 전체를 100개라고 생각하자. 각 그룹을 세고 원하는 것만 더하면 그 개수가 곧 퍼센트다.
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