AMC 10 · 2011 · #9

학년 7 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

coordinate-geometryarea-rectanglesabsolute-value convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 직사각형 영역이 방정식 $y=a, y=-b, x=-c,$ 그리고 $x=d$ 의 그래프로 둘러싸여 있다. 여기서 $a,b,c,$ 그리고 $d$ 는 모두 양수이다. 다음 중 이 영역의 넓이를 나타내는 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

ac+ad+bc+bd

(B)

ac-ad+bc-bd

(C)

$ac+ad-bc-bd \quad\quad$

(D)

-ac-ad+bc+bd

(E)

ac-ad-bc+bd

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 좌표평면에서 네 직선이 직사각형을 만든다: 가로 직선 $y=a$(위쪽)와 $y=-b$(아래쪽), 세로 직선 $x=-c$(왼쪽)와 $x=d$(오른쪽)이다. $a$, $b$, $c$, $d$는 모두 양수이다. 이 직사각형의 넓이를 나타내는 식을 구하여라.

주어진 것: 위쪽 변은 직선 $y=a$; 아래쪽 변은 직선 $y=-b$; 왼쪽 변은 직선 $x=-c$; 오른쪽 변은 직선 $x=d$; $a$, $b$, $c$, $d$는 모두 양수

구하는 것: 직사각형의 넓이를 나타내는 대수식

이해

주어진 것: 위쪽 변은 직선 $y=a$; 아래쪽 변은 직선 $y=-b$; 왼쪽 변은 직선 $x=-c$; 오른쪽 변은 직선 $x=d$; $a$, $b$, $c$, $d$는 모두 양수

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

네 방정식은 단지 직선일 뿐이므로, 이들을 그려서 어떤 직사각형이 갇히는지 본다. 그림이 분명해지면 가로와 세로는 축에서 바로 읽어낼 수 있는 수평·수직 거리이고, 넓이는 그 곱이다. 그런 다음 그 곱을 전개하여 보기 중 하나로 만든다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.NS.C.6 단계 1

네 경계 직선 그리기

$y=a$는 $x$축 위쪽의 가로 직선으로, $y=-b$는 아래쪽의 가로 직선으로 그린다.
$x=d$는 $y$축 오른쪽의 세로 직선으로, $x=-c$는 왼쪽의 세로 직선으로 그린다.
이 네 직선이 만나 원점을 걸치는 직사각형을 이룬다.

$$y=a,\quad y=-b,\quad x=-c,\quad x=d$$

💡 $y=a$나 $x=d$ 같은 방정식은 각각 직선 하나를 정하고, 직사각형은 그런 직선 넷이 꼭짓점에서 만난 것이다.

#13 대수로 바꾸기 6.NS.C.8 단계 2

가로 길이 구하기

가로는 왼쪽 변 $x=-c$와 오른쪽 변 $x=d$ 사이의 수평 간격이다.
두 직선은 $y$축의 반대쪽에 있으므로 거리가 더해진다: 가로는 $d-(-c)=c+d$이다.

\text{가로}=d-(-c)=c+d

💡 두 세로 직선 사이의 거리는 $x$값의 차이이고, 음수를 빼면 축에서 잰 두 양의 거리가 더해진다.

#13 대수로 바꾸기 6.NS.C.8 단계 3

세로 길이 구하기

세로는 아래쪽 변 $y=-b$와 위쪽 변 $y=a$ 사이의 수직 간격이다.
두 직선은 $x$축의 반대쪽에 있으므로 역시 거리가 더해진다: 세로는 $a-(-b)=a+b$이다.

\text{세로}=a-(-b)=a+b

💡 같은 거리 규칙이 세로로도 통한다: 두 $y$값의 차이이고, 음수를 빼면 조각들이 더해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 4

넓이를 곱으로 쓰기

직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이다.
앞에서 구한 가로와 세로로 넓이는 $(c+d)(a+b)$이고, 이를 $(a+b)(c+d)$로 쓴다.

\text{넓이}=(c+d)(a+b)=(a+b)(c+d)

💡 가로 곱하기 세로는 변이 문자의 합으로 쓰여 있어도 모든 직사각형의 넓이를 준다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 5

보기에 맞게 전개하기

$(a+b)$의 각 항을 $(c+d)$의 각 항에 분배하여 두 합을 곱한다: $a\cdot c + a\cdot d + b\cdot c + b\cdot d$.
이는 $ac+ad+bc+bd$이고, 보기 (A)이다.

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

💡 앞 합의 각 부분이 뒤 합의 각 부분을 모두 곱해야 하므로 네 개의 곱이 생긴다.

[1] #1 6.NS.C.6 $y=a$는 $x$축 위쪽의 가로 직선으로, $y=-b$는 아래쪽의 가로 직선으로 그린다. $x=d$는 $y$축 오른쪽의 세로 직선으로, $x=

[2] #13 6.NS.C.8 가로는 왼쪽 변 $x=-c$와 오른쪽 변 $x=d$ 사이의 수평 간격이다. 두 직선은 $y$축의 반대쪽에 있으므로 거리가 더해진다: 가로는 $d

[3] #13 6.NS.C.8 세로는 아래쪽 변 $y=-b$와 위쪽 변 $y=a$ 사이의 수직 간격이다. 두 직선은 $x$축의 반대쪽에 있으므로 역시 거리가 더해진다: 세로는

[4] #7 3.MD.C.7 직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이다. 앞에서 구한 가로와 세로로 넓이는 $(c+d)(a+b)$이고, 이를 $(a+b)(c+d)$로 쓴다.

[5] #13 7.EE.A.1 $(a+b)$의 각 항을 $(c+d)$의 각 항에 분배하여 두 합을 곱한다: $a\cdot c + a\cdot d + b\cdot c + b\c

검토

합리성 확인: $ac$, $ad$, $bc$, $bd$는 모두 양수 두 개의 곱이므로 각각 양수이고, 넓이 전체도 양수이다 — 넓이가 마땅히 그래야 하는 대로다. 빼기가 들어간 보기 (B, C, D, E)는 어떤 양수 $a,b,c,d$에 대해 음수가 될 수 있으므로 넓이가 될 수 없다. 네 양의 곱을 모두 더한 것은 (A)뿐이므로 답이 확인된다.

대안 접근: 쉬운 수를 넣어 본다. $a=b=c=d=1$이면 직사각형은 $x=-1$에서 $x=1$까지(가로 2), $y=-1$에서 $y=1$까지(세로 2)이므로 넓이는 $4$이다. 보기를 확인하면 (A)만 $1+1+1+1=4$를 주고 나머지는 $0$을 주므로 (A)가 답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.NS.C.6 Understand a rational number as a point on the number line (수의 부호를 이용해 직선 $y=a$, $y=-b$, $x=-c$, $x=d$를 축에 대해 올바른 위치에 놓기.)
6.NS.C.8 Solve real-world problems by graphing points in all four quadrants (각 축의 반대쪽에 있는 직선 사이의 거리로 가로 $c+d$와 세로 $a+b$ 구하기.)
3.MD.C.7 Relate area to multiplication and addition operations (직사각형의 넓이를 가로 곱하기 세로 $(a+b)(c+d)$로 쓰기.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions ($(a+b)(c+d)$를 $ac+ad+bc+bd$로 전개하여 보기와 맞추기.)

⭐ 네 직선을 그리고, 가로와 세로를 축에서 $c+d$와 $a+b$로 읽은 뒤, 곱하고 전개하면 $ac+ad+bc+bd$가 된다.