AMC 10 · 2011 · #9

학년 7 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates
coordinate-geometryarea-rectanglesabsolute-value convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
좌표평면에서 가로 직선 y=a(위쪽)와 y=-b(아래쪽), 세로 직선 x=-c(왼쪽)와 x=d(오른쪽)로 둘러싸인 직사각형 영역이 있다. 여기서 a, b, c, d는 모두 양수이다. 이 영역의 넓이를 나타내는 식은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
ac+ad+bc+bd
(B)
ac-ad+bc-bd
(C)
ac+ad-bc-bd
(D)
-ac-ad+bc+bd
(E)
ac-ad-bc+bd

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

네 방정식은 단지 직선일 뿐이므로, 이들을 그려서 어떤 직사각형이 갇히는지 본다. 그림이 분명해지면 가로와 세로는 축에서 바로 읽어낼 수 있는 수평·수직 거리이고, 넓이는 그 곱이다. 그런 다음 그 곱을 전개하여 보기 중 하나로 만든다.

1STEP 1

네 경계 직선 그리기

y=a는 x축 위, y=-b는 아래, x=d는 y축 오른쪽, x=-c는 왼쪽에 그리면 네 직선이 직사각형을 둘러싼다.

y=a, y=-b, x=-c, x=d
2STEP 2

가로 길이 구하기

가로는 x=-c에서 x=d까지의 간격이다. y축을 사이에 두므로 거리가 더해져 d-(-c)=c+d이다.

가로=d-(-c)=c+d
3STEP 3

세로 길이 구하기

세로는 y=-b에서 y=a까지의 간격이다. x축을 사이에 두므로 역시 거리가 더해져 a-(-b)=a+b이다.

세로=a-(-b)=a+b
4STEP 4

넓이를 곱으로 쓰기

직사각형 넓이는 가로 곱하기 세로이므로 (c+d)(a+b), 즉 (a+b)(c+d)이다.

넓이=(c+d)(a+b)=(a+b)(c+d)
5STEP 5

보기에 맞게 전개하기

(a+b)의 각 항을 (c+d)에 분배하면 네 곱이 나와 ac+ad+bc+bd, 보기 (A)이다.

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
정답
ac+ad+bc+bd
ac, ad, bc, bd는 모두 양수 두 개의 곱이므로 각각 양수이고, 넓이 전체도 양수이다 — 넓이가 마땅히 그래야 하는 대로다. 빼기가 들어간 보기 (B, C, D, E)는 어떤 양수 a,b,c,d에 대해 음수가 될 수 있으므로 넓이가 될 수 없다. 네 양의 곱을 모두 더한 것은 (A)뿐이므로 답이 확인된다.
💡핵심 정리

네 직선을 그리고, 가로와 세로를 축에서 c+d와 a+b로 읽은 뒤, 곱하고 전개하면 ac+ad+bc+bd가 된다.

  • 네 경계 직선 그리기
  • 가로 길이 구하기
  • 세로 길이 구하기
  • 넓이를 곱으로 쓰기
  • 보기에 맞게 전개하기

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