AMC 10 · 2011 · #10

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

sequences-geometricexponentsestimation easier-related-problem ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

수들의 집합 $\{1, 10, 10^2, 10^3, \ldots, 10^{10}\}$ 을 생각하자. 이 집합에서 가장 큰 원소와 나머지 열 개 원소의 합의 비는 어느 정수에 가장 가까운가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

101

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 10의 거듭제곱들로 이루어진 집합 $\{1, 10, 10^2, \ldots, 10^{10}\}$ 에서 가장 큰 수 $10^{10}$ 을 나머지 열 개의 수의 합으로 나눕니다. 그 비가 어떤 정수에 가장 가까운지 구하세요.

주어진 것: 집합은 $\{1,\,10,\,10^2,\,10^3,\,\ldots,\,10^{10}\}$ 으로, 10의 거듭제곱 $11$ 개입니다; 가장 큰 원소는 $10^{10}$ 입니다; '나머지 열 개의 원소'는 $1,10,10^2,\ldots,10^9$ 입니다; 선택지: (A) $1$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $101$

구하는 것: $\dfrac{10^{10}}{1+10+10^2+\cdots+10^9}$ 에 가장 가까운 정수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

10의 거듭제곱 열한 개는 겁이 나므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 먼저 집합을 두세 개의 거듭제곱으로 줄이면 손으로 쉽게 비를 계산할 수 있습니다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 집합이 커질 때 그 비가 어떻게 변하는지 살피면, 비가 항상 $9$ 바로 위에 있다는 것이 드러납니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리합니다: 값이 $9$ 를 아주 조금 넘는다는 것을 알면 선택지 $1$, $10$, $11$, $101$ 은 모두 명백히 틀립니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 1

집합을 줄여서 나누기

거대한 집합을 같은 방식으로 작동하는 작은 복사본 $\{1,10,100\}$ 으로 바꿉니다.
가장 큰 수는 $100$ 이고 나머지의 합은 $1+10=11$ 이므로 비는 $\dfrac{100}{11}=9.09\ldots$ 입니다.
수는 작지만 원래 문제와 똑같은 방법입니다.

$$\dfrac{100}{1+10} = \dfrac{100}{11} \approx 9.09$$

💡 어려운 문제에는 작은 수로 된 쉬운 쌍둥이가 있는 경우가 많으니, 그 쌍둥이를 풀어 장치가 어떻게 돌아가는지 봅니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

한 단계 키워서 비교하기

다음 거듭제곱을 더해 $\{1,10,100,1000\}$ 을 만듭니다.
이제 가장 큰 수는 $1000$ 이고 나머지의 합은 $1+10+100=111$ 이므로 비는 $\dfrac{1000}{111}=9.009\ldots$ 입니다.
결과를 나란히 놓으면 $9.09$, 그다음 $9.009$ 입니다.
집합이 커질 때마다 비는 $9$ 바로 위에 머물면서 $9$ 에 점점 가까워집니다.

$$\dfrac{1000}{1+10+100} = \dfrac{1000}{111} \approx 9.009$$

💡 문제가 커질 때 답이 어떻게 변하는지 보면 답이 어디로 향하는지 알 수 있습니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.2 단계 3

진짜 분모 쓰기

전체 집합으로 돌아옵니다.
작은 원소 열 개는 $1,10,10^2,\ldots,10^9$ 입니다.
서로 다른 10의 거듭제곱을 더하면 각 자리를 $1$ 하나로 채우게 되므로 그 합은 $1{,}111{,}111{,}111$ (1이 열 개)입니다.
가장 큰 원소 $10^{10}$ 은 $1$ 뒤에 $0$ 이 열 개 붙은 $10{,}000{,}000{,}000$ 입니다.

$$1+10+10^2+\cdots+10^9 = 1{,}111{,}111{,}111, \qquad 10^{10} = 10{,}000{,}000{,}000$$

💡 서로 다른 10의 거듭제곱의 합은 각 자리에 $1$ 을 하나씩 쓰는 것이라, 결과는 깔끔한 1의 나열이 됩니다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.B.5 단계 4

정확한 비 확정하기

비는 $\dfrac{10{,}000{,}000{,}000}{1{,}111{,}111{,}111}$ 입니다.
깔끔한 요령이 있습니다: $9 \times 1{,}111{,}111{,}111 = 9{,}999{,}999{,}999$ 이고, 이는 $10^{10}$ 보다 정확히 $1$ 작습니다.
따라서 분자는 분모의 $9$ 배보다 아주 조금 크고, 비는 $9$ 를 겨우 넘습니다(약 $9.000000009$).

$$9 \times 1{,}111{,}111{,}111 = 9{,}999{,}999{,}999 = 10^{10}-1 \;\Rightarrow\; \dfrac{10^{10}}{1{,}111{,}111{,}111} \approx 9.000000009$$

💡 분모의 아홉 배가 분자에서 $1$ 밖에 안 모자라면, 비는 $9$ 를 아주 살짝 넘을 수밖에 없습니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 5

반올림하여 답 고르기

값 $9.000000009$ 는 정수 $9$ 로 반올림됩니다.
다른 선택지는 전혀 가깝지 않습니다: $1$ 은 너무 작고, $10$, $11$, $101$ 은 모두 너무 큽니다.
비는 $9$ 에 가장 가까우며, 이는 선택지 (B)입니다.

$$9.000000009 \approx 9 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $9$ 를 머리카락 한 올만큼 넘는 수는 $9$ 에 가장 가까우므로 다른 선택지는 모두 떨어져 나갑니다.

[1] #9 6.RP.A.3 거대한 집합을 같은 방식으로 작동하는 작은 복사본 $\{1,10,100\}$ 으로 바꿉니다. 가장 큰 수는 $100$ 이고 나머지의 합은 $1+

[2] #5 4.OA.C.5 다음 거듭제곱을 더해 $\{1,10,100,1000\}$ 을 만듭니다. 이제 가장 큰 수는 $1000$ 이고 나머지의 합은 $1+10+100=1

[3] #9 5.NBT.A.2 전체 집합으로 돌아옵니다. 작은 원소 열 개는 $1,10,10^2,\ldots,10^9$ 입니다. 서로 다른 10의 거듭제곱을 더하면 각 자리를

[4] #5 5.NBT.B.5 비는 $\dfrac{10{,}000{,}000{,}000}{1{,}111{,}111{,}111}$ 입니다. 깔끔한 요령이 있습니다: $9 \ti

[5] #3 6.RP.A.3 값 $9.000000009$ 는 정수 $9$ 로 반올림됩니다. 다른 선택지는 전혀 가깝지 않습니다: $1$ 은 너무 작고, $10$, $11$,

검토

합리성 확인: 가장 큰 10의 거듭제곱은 바로 앞 것의 약 10배이고, 그 앞 것은 이미 그 이전의 모든 것을 압도합니다. 그래서 분모 $1{,}111{,}111{,}111$ 은 $10^{10}$ 의 $\tfrac{1}{9}$ 에 매우 가깝고($\tfrac{1}{9}=0.111\ldots$ 이므로), 이는 비를 $9$ 에 가깝게 만듭니다. 작은 집합 실험($9.09$, 그다음 $9.009$)도 같은 착지점을 가리키므로 $9$ 는 정확히 우리가 예상해야 할 값입니다.

대안 접근: 등비수열 공식을 씁니다: $1+10+\cdots+10^9 = \dfrac{10^{10}-1}{9}$. 그러면 비는 $\dfrac{10^{10}}{(10^{10}-1)/9} = \dfrac{9\cdot 10^{10}}{10^{10}-1}$ 이고, 이는 $9$ 를 $\left(1-10^{-10}\right)$ 로 나눈 것 — 즉 $9$ 를 조금 넘습니다. 자릿수를 나열하지 않고도 같은 답 (B)에 이릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론을 사용하여 실생활 및 수학 문제를 푼다 (가장 큰 원소와 나머지의 합의 비를 계산하고 가장 가까운 정수를 찾는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만든다 (줄인 집합에서 나온 $9.09$ 와 $9.009$ 를 비교해 비가 $9$ 바로 위에 자리 잡는 것을 보는 데 사용.)
5.NBT.A.2 0의 개수와 소수점 위치의 패턴을 설명한다 (서로 다른 10의 거듭제곱의 합이 $1{,}111{,}111{,}111$ 이고 $10^{10}$ 이 $1$ 뒤에 $0$ 열 개임을 인식하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수를 유창하게 곱한다 ($9 \times 1{,}111{,}111{,}111 = 9{,}999{,}999{,}999 = 10^{10}-1$ 을 확인해 비가 $9$ 바로 위임을 확정하는 데 사용.)

⭐ 한 수가 다른 수의 아홉 배보다 조금 더 크면 그 둘의 비는 $9$ 를 살짝 넘으므로, $9$ 로 반올림됩니다.