경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2011B · #10

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

sequences-geometricexponentsestimation easier-related-problem ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

10의 거듭제곱들로 이루어진 집합 {1, 10, 10², …, 10¹⁰} 에서 가장 큰 수 10¹⁰ 을 나머지 열 개의 수의 합으로 나눕니다. 그 비가 어떤 정수에 가장 가까운지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

101

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

10의 거듭제곱 열한 개는 겁이 나므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 먼저 집합을 두세 개의 거듭제곱으로 줄이면 손으로 쉽게 비를 계산할 수 있습니다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 집합이 커질 때 그 비가 어떻게 변하는지 살피면, 비가 항상 9 바로 위에 있다는 것이 드러납니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리합니다: 값이 9를 아주 조금 넘는다는 것을 알면 선택지 1, 10, 11, 101은 모두 명백히 틀립니다.

1STEP 1

집합을 줄여서 나누기

작은 쌍둥이 {1,10,100} 에서 가장 큰 100을 1+10=11로 나누면 100/11≈9.09 입니다.

100/(1+10) = 100/11 ≈ 9.09

2STEP 2

한 단계 키워서 비교하기

{1,10,100,1000}으로 키우면 1000/(1+10+100) = 1000/111≈9.009, 여전히 9 바로 위입니다.

1000/(1+10+100) = 1000/111 ≈ 9.009

3STEP 3

진짜 분모 쓰기

작은 거듭제곱 열 개는 각 자리에 1을 하나씩 채우므로 합은 1,111,111,111, 10¹⁰은 10,000,000,000입니다.

1+10+10²+…+10⁹ = 1,111,111,111, 10¹⁰ = 10,000,000,000

4STEP 4

정확한 비 확정하기

9 × 1,111,111,111 = 9,999,999,999는 10¹⁰ 보다 딱 1 작으므로, 비는 9.000000009 입니다.

9 × 1,111,111,111 = 9,999,999,999 = 10¹⁰-1 → 10¹⁰/1,111,111,111 ≈ 9.000000009

5STEP 5

반올림하여 답 고르기

9.000000009는 9로 반올림되고 1은 너무 작고 10, 11, 101은 너무 크므로 답은 (B) 9 입니다.

9.000000009 ≈ 9 → (B)

정답

가장 큰 10의 거듭제곱은 바로 앞 것의 약 10배이고, 그 앞 것은 이미 그 이전의 모든 것을 압도합니다. 그래서 분모 1,111,111,111은 10¹⁰의 1/9에 매우 가깝고(1/9=0.111… 이므로), 이는 비를 9에 가깝게 만듭니다. 작은 집합 실험(9.09, 그다음 9.009)도 같은 착지점을 가리키므로 9 는 정확히 우리가 예상해야 할 값입니다.

💡핵심 정리

한 수가 다른 수의 아홉 배보다 조금 더 크면 그 둘의 비는 9를 살짝 넘으므로, 9 로 반올림됩니다.

집합을 줄여서 나누기
한 단계 키워서 비교하기
진짜 분모 쓰기
정확한 비 확정하기
반올림하여 답 고르기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

집합을 줄여서 나누기

한 단계 키워서 비교하기

진짜 분모 쓰기

정확한 비 확정하기

반올림하여 답 고르기

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