경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2009 · #8
학년 6 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
답은 직사각형의 실제 크기에 의존하지 않으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 L 과 W 를 친한 숫자 — L = W = 10 — 으로 바꿔서 두 넓이를 직접 계산하면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 시각화 용도입니다: 10 × 10 직사각형과 새 11 × 9 직사각형을 나란히 그려서 넓이를 칸으로 비교합니다. 대수(도구 #13)를 꺼낼 필요 없이, +10% 와 -10% 가 왜 상쇄되지 않는지 한눈에 보입니다.
쉬운 수로 정하기
친한 수 L = 10, W = 10을 고르면 원래 넓이는 100 입니다.
원래 넓이를 100으로 맞춘 건 의도된 작전입니다 — 마지막 답이 "퍼센트" 로 나오므로 새 넓이 자체가 곧 답이 됩니다.
4.MD.A.3Solve An Easier Related Problem퍼센트 변화 적용하기
10의 10% 는 1 이므로 새 가로는 11, 새 세로는 9 입니다.
원래의 10 × 10 정사각형 옆에 새 11 × 9 직사각형을 그려 봅니다 — 한 변은 살짝 길어지고, 다른 변은 살짝 짧아졌습니다.
6.RP.A.3Draw A Diagram새 넓이 구하기
새 넓이는 11 × 9 = 99 — 원래 100 보다 딱 1 작습니다.
11 × 9 격자는 단위정사각형 99 개로 이루어져 있어, 두 변이 1 씩만 변했는데도 원래 100 보다 1 칸이 줄어듭니다.
두 변을 10과 10으로 잡으면, 한 변을 10% 늘이고 다른 변을 10% 줄인 새 11 × 9 직사각형은 원래 10 × 10 정사각형보다 조금 적게 덮으므로, 두 백분율 변화는 서로를 상쇄하지 않는다.
▸ 왜?
새 직사각형은 11 곱하기 9이고, 그 넓이는 11 × 9 격자를 채우는 단위 정사각형의 개수이다.
▸ 왜?
11 × 9 직사각형은 단위 정사각형 9개짜리 줄이 11개 있으므로, 정사각형을 세는 것은 곱 11 × 9이다.
▸ 왜?
그 곱 11 × 9는 10 × 10에서 1을 뺀 값과 같으므로, 원래 넓이 10 × 10보다 바로 아래에 놓인다.
▸ 왜?
두 변을 (10 + 1)과 (10 - 1)로 쓰면, 곱은 10 × 10 - 10 × 1 + 1 × 10 - 1 × 1로 펼쳐지는데, 가운데 두 띠가 상쇄되고 -1만 남는다.
▸ 왜?
합에 합을 곱할 때는 한 인수의 각 부분을 다른 인수의 각 부분에 곱해 모든 조각을 더하면 된다.
▸ 왜?
긴 변에서 얻은 띠 10 × 1과 짧은 변에서 잃은 띠 1 × 10은 크기가 같으므로, 그 차는 0이다.
▸ 왜?
10 × 1과 1 × 10은 같은 정사각형 덩어리를 옆으로 돌려 센 것뿐이라 서로 같다.
원래 넓이와 비교하기
원래 넓이가 100 이므로 새 넓이 99 자체가 곧 퍼센트 값 — 99% 입니다.
L = W = 10을 고른 단 하나의 이유는 마지막 환산을 공짜로 만들기 위해서였습니다.
6.RP.A.3Solve An Easier Related Problem이 AMC 8 문제는 6학년 퍼센트 추론과, L = W = 10을 고르면 원래 넓이가 정확히 100이 돼서 답이 저절로 나오는 4학년 식의 영리한 작전만 알면 풀려요!
- 쉬운 수로 정하기
- 퍼센트 변화 적용하기
- 새 넓이 구하기
- 원래 넓이와 비교하기
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