AMC 10 · 2011 · #12

학년 7 rate-ratiogeometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
path-length-comparisonratelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
육상 트랙이 두 개의 직선 구간과 두 개의 반원 끝으로 이루어져 있다. 경기장 모양이다. 트랙의 폭은 6미터이다. 같은 일정한 속력으로 걸을 때, 바깥쪽 가장자리를 한 바퀴 도는 데는 안쪽 가장자리보다 36초가 더 걸린다. 이 속력을 초당 미터로 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{\pi}{3}$
(B)
$\frac{2\pi}{3}$
(C)
$\pi$
(D)
$\frac{4\pi}{3}$
(E)
$\frac{5\pi}{3}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

트랙 길이가 모르는 직선 길이와 모르는 안쪽 반지름에 달린 것처럼 보이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이들을 L과 r로 이름 붙이고 각 가장자리를 식으로 적는다. 도구 #1(그림 그리기)은 바깥쪽 반원의 반지름이 r+6이지만 직선은 그대로 남는 이유를 보여 준다. 핵심은 두 식을 빼면 L과 r이 모두 사라지고 순수한 수만 남는다는 점이다. 그런 다음 도구 #8(단위 살펴보기)로 '남는 거리 ÷ 속력 = 남는 시간'을 v에 대한 깔끔한 방정식으로 바꾼다.

1STEP 1

부분에 이름 붙이고 안쪽 가장자리 적기

속력을 v, 직선 한 변을 L, 안쪽 끝 반지름을 r이라 하자. 반원 둘은 원 하나이므로 안쪽 바퀴는 2L + 2π r이다.

P_inner = 2L + 2π r
2STEP 2

바깥쪽 가장자리 적기

바깥 가장자리를 6미터 밖에 그리면 직선은 그대로 L이고 끝 곡선만 반지름 r + 6이 된다. 바깥 바퀴는 2L + 2π(r+6)이다.

P_outer = 2L + 2π (r + 6)
3STEP 3

빼서 늘어난 거리 구하기

두 식을 빼면 2L과 2π r이 상쇄되고 2π · 6 = 12π미터만 남는다. L과 r은 상관없다.

P_outer - P_inner = 2π(r+6) - 2π r = 12π
4STEP 4

늘어난 시간을 방정식으로

두 바퀴의 속력 v가 같으니 시간은 거리를 v로 나눈 값이다. 추가 12π미터가 곧 추가 36초이므로 12π/v = 36이다.

12π/v = 36
5STEP 5

속력 구하기

12π/v = 36을 풀면 v = 12π/36 = π/3이다. 즉 초당 π/3미터, 보기 (A)이다.

v = 12π/36 = π/3 → (A)
정답
π/3
단위와 크기를 확인하자. π/3 ≈ 1.05 초당 미터는 평범한 걷기 속도이다. 거꾸로 곱하면 늘어난 거리는 v × 36 = π/3 × 36 = 12π미터로, 도형에서 구한 12π와 일치한다. 직선 구간은 전혀 영향을 주지 않았는데, 이는 보기에 L이 하나도 없다는 사실과 맞아떨어진다.
💡핵심 정리

경기장 트랙에서는 바깥으로 나가면 곡선 끝만 길어지므로, 바깥 바퀴는 항상 2π × 폭만큼 더 길다 — 직선 구간은 상관없다.

  • 부분에 이름 붙이고 안쪽 가장자리 적기
  • 바깥쪽 가장자리 적기
  • 빼서 늘어난 거리 구하기
  • 늘어난 시간을 방정식으로
  • 속력 구하기

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