AMC 10 · 2011 · #12

학년 7 rate-ratio

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

path-length-comparisonratelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

케이코는 매일 정확히 같은 일정한 속력으로 트랙을 한 바퀴 돈다. 트랙의 옆면은 직선이고 양 끝은 반원이다. 트랙의 폭은 $6$ 미터이고, 그녀가 트랙의 바깥쪽 가장자리를 도는 데 걸리는 시간은 안쪽 가장자리를 도는 것보다 $36$ 초 더 길다. 케이코의 속력은 초당 몇 미터인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{3}$

(B)

$\frac{2\pi}{3}$

(C)

$\pi$

(D)

$\frac{4\pi}{3}$

(E)

$\frac{5\pi}{3}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 육상 트랙이 두 개의 직선 구간과 두 개의 반원 끝으로 이루어져 있다. 경기장 모양이다. 트랙의 폭은 $6$미터이다. 같은 일정한 속력으로 걸을 때, 바깥쪽 가장자리를 한 바퀴 도는 데는 안쪽 가장자리보다 $36$초가 더 걸린다. 이 속력을 초당 미터로 구하여라.

주어진 것: 트랙의 양 끝은 반원이고, 양쪽 긴 변은 직선이다; 트랙의 폭은 $6$미터이다; 바깥쪽 가장자리를 도는 것이 안쪽 가장자리보다 $36$초 더 걸린다; 두 가장자리에서 속력은 같은 일정한 값이다; 보기: (A) $\frac{\pi}{3}$, (B) $\frac{2\pi}{3}$, (C) $\pi$, (D) $\frac{4\pi}{3}$, (E) $\frac{5\pi}{3}$

구하는 것: 게이코의 걷는 속력 $v$ (초당 미터)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #8 단위 살펴보기

트랙 길이가 모르는 직선 길이와 모르는 안쪽 반지름에 달린 것처럼 보이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이들을 $L$과 $r$로 이름 붙이고 각 가장자리를 식으로 적는다. 도구 #1(그림 그리기)은 바깥쪽 반원의 반지름이 $r+6$이지만 직선은 그대로 남는 이유를 보여 준다. 핵심은 두 식을 빼면 $L$과 $r$이 모두 사라지고 순수한 수만 남는다는 점이다. 그런 다음 도구 #8(단위 살펴보기)로 '남는 거리 ÷ 속력 = 남는 시간'을 $v$에 대한 깔끔한 방정식으로 바꾼다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 7.G.B.4 단계 1

부분에 이름 붙이고 안쪽 가장자리 적기

속력을 $v$, 한쪽 직선 구간의 길이를 $L$, 안쪽 반원의 반지름을 $r$이라 하자.
안쪽 가장자리를 걸으면 두 직선과 두 안쪽 반원을 지난다.
반지름 $r$인 반원 두 개는 온전한 원 하나로 합쳐지고, 그 길이는 $2\pi r$이다.
따라서 안쪽 가장자리의 길이는 $2L + 2\pi r$이다.

$$P_{\text{inner}} = 2L + 2\pi r$$

💡 짝이 맞는 반원 두 개는 원 하나를 반으로 잘랐다가 다시 붙인 것이므로, 둘을 합친 길이는 원 둘레 하나와 같다.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 2

바깥쪽 가장자리 적기

바깥쪽 가장자리는 안쪽에서 $6$미터 바깥에 그려진다고 생각하자.
직선 구간은 안쪽 직선을 따라 나란히 가므로 여전히 각각 길이가 $L$이다.
하지만 바깥쪽 반원은 각각 $6$미터 더 바깥으로 부풀어 반지름이 $r+6$이 된다.
그래서 바깥쪽 가장자리는 $2L + 2\pi(r+6)$이다.

$$P_{\text{outer}} = 2L + 2\pi (r + 6)$$

💡 곡선 가장자리를 트랙 폭만큼 바깥으로 옮기면 그 폭이 회전 반지름에 더해지지만, 직선 가장자리는 옆으로 밀릴 뿐 길어지지 않는다.

#4 변수 도입하기 7.EE.A.1 단계 3

빼서 늘어난 거리 구하기

바깥쪽 걷기가 더 긴 이유는 오직 더 넓은 곡선 때문이다.
두 길이를 빼면 $2L$ 항이 상쇄되고 $2\pi r$ 항도 상쇄되어 $2\pi \cdot 6 = 12\pi$만 남는다.
즉 바깥쪽 가장자리는 $L$과 $r$이 무엇이든 정확히 $12\pi$미터 더 길다.

$$P_{\text{outer}} - P_{\text{inner}} = 2\pi(r+6) - 2\pi r = 12\pi$$

💡 모르는 부분들이 두 가장자리에 똑같이 나타나므로, 빼면 그것들은 지워지고 폭이 만든 효과만 남는다.

#8 단위 살펴보기 7.EE.B.4 단계 4

늘어난 시간을 방정식으로

두 걷기 모두 같은 속력 $v$를 쓰므로 시간은 거리를 $v$로 나눈 값이다.
늘어난 거리는 $12\pi$미터, 늘어난 시간은 $36$초이다.
단위를 맞추면 미터를 (초당 미터)로 나눠 초가 되므로 $\dfrac{12\pi}{v} = 36$이다.

$$\dfrac{12\pi}{v} = 36$$

💡 속력이 같으므로 남는 시간을 설명할 수 있는 것은 남는 거리뿐이고, 그 연결이 바로 시간 = 거리 ÷ 속력이다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 5

속력 구하기

$\dfrac{12\pi}{v} = 36$을 $v$에 대해 풀자.
양변에 $v$를 곱하고 $36$으로 나누면 $v = \dfrac{12\pi}{36} = \dfrac{\pi}{3}$이다.
게이코는 초당 $\dfrac{\pi}{3}$미터로 걷고, 이는 보기 (A)이다.

$$v = \dfrac{12\pi}{36} = \dfrac{\pi}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 거리와 시간이 정해지면 그 비가 곧 속력이다.

[1] #4 7.G.B.4 속력을 $v$, 한쪽 직선 구간의 길이를 $L$, 안쪽 반원의 반지름을 $r$이라 하자. 안쪽 가장자리를 걸으면 두 직선과 두 안쪽 반원을 지난

[2] #1 7.G.B.4 바깥쪽 가장자리는 안쪽에서 $6$미터 바깥에 그려진다고 생각하자. 직선 구간은 안쪽 직선을 따라 나란히 가므로 여전히 각각 길이가 $L$이다.

[3] #4 7.EE.A.1 바깥쪽 걷기가 더 긴 이유는 오직 더 넓은 곡선 때문이다. 두 길이를 빼면 $2L$ 항이 상쇄되고 $2\pi r$ 항도 상쇄되어 $2\pi \c

[4] #8 7.EE.B.4 두 걷기 모두 같은 속력 $v$를 쓰므로 시간은 거리를 $v$로 나눈 값이다. 늘어난 거리는 $12\pi$미터, 늘어난 시간은 $36$초이다.

[5] #4 6.RP.A.3 $\dfrac{12\pi}{v} = 36$을 $v$에 대해 풀자. 양변에 $v$를 곱하고 $36$으로 나누면 $v = \dfrac{12\pi}{

검토

합리성 확인: 단위와 크기를 확인하자. $\frac{\pi}{3} \approx 1.05$ 초당 미터는 평범한 걷기 속도이다. 거꾸로 곱하면 늘어난 거리는 $v \times 36 = \frac{\pi}{3}\times 36 = 12\pi$미터로, 도형에서 구한 $12\pi$와 일치한다. 직선 구간은 전혀 영향을 주지 않았는데, 이는 보기에 $L$이 하나도 없다는 사실과 맞아떨어진다.

대안 접근: 처음부터 직선을 무시하자. 직선은 두 가장자리에서 같은 시간이 걸리기 때문이다. 곡선 끝에만 집중하면 안쪽 곡선은 합쳐서 $2\pi r$, 바깥쪽 곡선은 $2\pi(r+6)$이고 차이는 $12\pi$미터이다. 그 $12\pi$미터가 $36$초를 더 쓰게 하므로 $v = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$ — 직선을 위한 변수 없이도 같은 답 (A)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (각 가장자리의 반원 끝을 둘레 $2\pi r$(안쪽)과 $2\pi(r+6)$(바깥쪽)인 원의 일부로 나타내기.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions (두 가장자리 길이를 빼서 $2L$과 $2\pi r$ 항이 상쇄되고 $12\pi$만 남게 하기.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ('남는 거리 ÷ 속력 = 남는 시간'에서 방정식 $\frac{12\pi}{v} = 36$ 세우기.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (속력을 거리 ÷ 시간으로 보고 $\frac{12\pi}{v}=36$을 풀어 $v=\frac{\pi}{3}$ 구하기.)

⭐ 경기장 트랙에서는 바깥으로 나가면 곡선 끝만 길어지므로, 바깥 바퀴는 항상 $2\pi \times \text{폭}$만큼 더 길다 — 직선 구간은 상관없다.