AMC 10 · 2011 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

pythagorean-theoremarea-rectanglessymmetric-polynomialsinteger-pythagorean-triples convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 직사각형 주차장의 대각선 길이는 $25$ 미터이고 넓이는 $168$ 제곱미터이다. 이 주차장의 둘레의 길이는 몇 미터인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 직사각형의 대각선이 $25$미터이고 넓이가 $168$제곱미터이다. 이 직사각형의 둘레를 구하여라.

주어진 것: 직사각형의 대각선은 $25$미터이다; 직사각형의 넓이는 $168$제곱미터이다; 선택지: (A) $52$, (B) $58$, (C) $62$, (D) $68$, (E) $70$

구하는 것: 직사각형의 둘레 (미터)

이해

문제 재정리: 어떤 직사각형의 대각선이 $25$미터이고 넓이가 $168$제곱미터이다. 이 직사각형의 둘레를 구하여라.

주어진 것: 직사각형의 대각선은 $25$미터이다; 직사각형의 넓이는 $168$제곱미터이다; 선택지: (A) $52$, (B) $58$, (C) $62$, (D) $68$, (E) $70$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #4(변수 도입하기)로 두 변을 $l$과 $w$로 놓으면 대각선과 넓이가 각각 하나의 식이 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 대각선이 왜 직각삼각형을 만드는지 보여 주어 대각선 조건을 $l^2+w^2=625$로 바꾼다. 핵심은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 둘레에는 $l$과 $w$가 따로 필요한 것이 아니라 합 $l+w$만 있으면 되고, $(l+w)^2 = l^2+w^2+2lw$가 이미 아는 두 조건을 그대로 재활용한다. 덕분에 각 변을 따로 구하는 번거로운 과정을 건너뛴다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

대각선으로 직사각형을 자르기

대각선은 직사각형을 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
직사각형의 두 변이 직각을 낀 변이고, $25$미터짜리 대각선이 빗변이다.
피타고라스 정리에 의해 두 변의 제곱의 합은 대각선의 제곱과 같다.

$$l^2 + w^2 = 25^2 = 625$$

💡 직사각형의 대각선은 항상 직각삼각형을 만들므로, 그 길이가 피타고라스 정리로 두 변을 묶어 준다.

#4 변수 도입하기 3.MD.C.7 단계 2

넓이를 식으로 바꾸기

두 변의 길이를 $l$과 $w$로 놓자.
직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이므로, 넓이 조건은 두 번째 식이 된다.
이제 두 식이 문제의 모든 정보를 담는다.

$$l \cdot w = 168$$

💡 변에 이름을 붙이면 문제의 각 문장이 깔끔한 식 하나로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.6 단계 3

곧장 둘레를 겨냥하기

둘레는 $2(l+w)$이므로, 정말 필요한 것은 각 변이 아니라 합 $l+w$뿐이다.
$l+w$를 제곱하면 $l^2 + w^2 + 2lw$로 펼쳐지는데, 이 두 조각은 이미 알고 있다.
$l^2+w^2=625$이고 $2lw = 2 \cdot 168 = 336$이다.
이 둘을 더한다.

$$(l+w)^2 = l^2 + w^2 + 2lw = 625 + 336 = 961$$

💡 변의 합을 제곱하면 주어진 두 조건이 정확히 섞여 들어가므로, 변을 하나씩 따로 구할 필요가 없다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 4

제곱을 풀기

$l+w$는 양의 길이이므로 $961$의 양의 제곱근을 취한다.
$31^2 = 961$이므로 두 변의 합은 $31$미터이다.

$$l + w = \sqrt{961} = 31$$

💡 제곱근은 제곱을 벗겨 내어 우리가 찾던 합을 드러낸다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 5

두 배 하여 둘레 구하기

둘레는 가로 두 개와 세로 두 개의 합, 즉 $2(l+w)$이다.
$31$을 두 배 하면 $62$미터이다.
이는 선택지 (C)와 일치한다.

$$P = 2(l+w) = 2 \cdot 31 = 62 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 직사각형의 둘레는 두 변을 각각 두 번씩 센 것이므로, 합을 두 배 하면 된다.

[1] #1 8.G.B.7 대각선은 직사각형을 두 개의 직각삼각형으로 나눈다. 직사각형의 두 변이 직각을 낀 변이고, $25$미터짜리 대각선이 빗변이다. 피타고라스 정리에

[2] #4 3.MD.C.7 두 변의 길이를 $l$과 $w$로 놓자. 직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이므로, 넓이 조건은 두 번째 식이 된다. 이제 두 식이 문제의 모든

[3] #7 6.EE.B.6 둘레는 $2(l+w)$이므로, 정말 필요한 것은 각 변이 아니라 합 $l+w$뿐이다. $l+w$를 제곱하면 $l^2 + w^2 + 2lw$로 펼

[4] #4 8.EE.A.2 $l+w$는 양의 길이이므로 $961$의 양의 제곱근을 취한다. $31^2 = 961$이므로 두 변의 합은 $31$미터이다.

[5] #7 6.EE.B.7 둘레는 가로 두 개와 세로 두 개의 합, 즉 $2(l+w)$이다. $31$을 두 배 하면 $62$미터이다. 이는 선택지 (C)와 일치한다.

검토

합리성 확인: 실제로 두 변이 존재하는지 확인하자. $l+w=31$이고 $lw=168$이면 두 변은 $x^2-31x+168=0$의 해이고, 이는 $(x-7)(x-24)=0$으로 인수분해되어 변은 $7$과 $24$가 된다. 검산하면 $7^2+24^2 = 49+576 = 625 = 25^2$이고 $7 \cdot 24 = 168$로 맞는다. 둘레 $2(7+24)=62$가 선택지 (C)를 확인해 준다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 피타고라스 세 쌍을 이용한다. $25$가 빗변이므로 잘 알려진 세 쌍 $7$-$24$-$25$가 떠오른다. 그 두 변의 넓이는 $7 \cdot 24 = 168$로 조건과 정확히 맞으므로, 변은 $7$과 $24$이고 둘레는 $2(7+24)=62$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles ($25$미터 대각선이 만드는 직각삼각형을 통해 $l^2+w^2=625$ 식을 세우는 데 사용.)
3.MD.C.7 Relate area to multiplication and addition operations (직사각형의 넓이를 $l \cdot w = 168$로 나타내는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (둘레를 $l+w$로 표현하고 $(l+w)^2 = l^2+w^2+2lw$로 펼쳐 아는 조건들을 결합하는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($\sqrt{961}=31$을 취해 두 변의 합을 복원하는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (둘레를 $P = 2 \cdot 31 = 62$로 계산하는 데 사용.)

⭐ 두 변의 합만 필요할 때는 그 합을 제곱하라. 이미 아는 넓이와 대각선 조건이 그대로 들어가므로 각 변을 따로 구하지 않아도 된다.