AMC 10 · 2011 · #14
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #4(변수 도입하기)로 두 변을 l과 w로 놓으면 대각선과 넓이가 각각 하나의 식이 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 대각선이 왜 직각삼각형을 만드는지 보여 주어 대각선 조건을 l²+w²=625로 바꾼다. 핵심은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 둘레에는 l과 w가 따로 필요한 것이 아니라 합 l+w만 있으면 되고, (l+w)² = l²+w²+2lw가 이미 아는 두 조건을 그대로 재활용한다. 덕분에 각 변을 따로 구하는 번거로운 과정을 건너뛴다.
대각선으로 직사각형을 자르기
대각선은 두 변을 직각변으로 하는 직각삼각형을 만들므로 l² + w² = 625이다.
직사각형의 대각선은 항상 직각삼각형을 만들므로, 그 길이가 피타고라스 정리로 두 변을 묶어 준다.
8.G.B.7Draw A Diagram넓이를 식으로 바꾸기
두 변을 l, w로 놓으면 넓이는 가로 곱하기 세로이므로 l · w = 168이 된다.
변에 이름을 붙이면 문제의 각 문장이 깔끔한 식 하나로 바뀐다.
3.MD.C.7Introduce A Variable곧장 둘레를 겨냥하기
둘레에 필요한 것은 l+w뿐이고, (l+w)² = l²+w²+2lw = 625+336 = 961이다.
변의 합을 제곱하면 주어진 두 조건이 정확히 섞여 들어가므로, 변을 하나씩 따로 구할 필요가 없다.
두 변의 합을 제곱하면 주어진 두 사실이 그대로 섞여 들어온다.
▸ 왜?
제곱을 펼치면 각 조각이 각 조각과 만나, 두 제곱과 곱의 두 배가 나온다.
▸ 왜?
대각선의 직각이 이미 그 두 제곱을 알려진 길이에 묶어 놓았다.
제곱을 풀기
길이는 양수이므로 961의 양의 제곱근을 취하면 l + w = 31미터이다.
제곱근은 제곱을 벗겨 내어 우리가 찾던 합을 드러낸다.
8.EE.A.2Introduce A Variable두 배 하여 둘레 구하기
둘레는 2(l+w)이므로 31을 두 배 하면 62미터, 즉 선택지 (C)이다.
직사각형의 둘레는 두 변을 각각 두 번씩 센 것이므로, 합을 두 배 하면 된다.
6.EE.B.7Identify Subproblems두 변의 합만 필요할 때는 그 합을 제곱하라. 이미 아는 넓이와 대각선 조건이 그대로 들어가므로 각 변을 따로 구하지 않아도 된다.
- 대각선으로 직사각형을 자르기
- 넓이를 식으로 바꾸기
- 곧장 둘레를 겨냥하기
- 제곱을 풀기
- 두 배 하여 둘레 구하기