AMC 10 · 2011 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

inscribed-anglearc-measuresupplementary-anglesangle-sum-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: inscribed-angle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

다섯 점 A, B, C, D, E가 이 순서로 한 원 위에 있다. 지름 EB는 현 DC와 평행하고, 현 AB는 현 ED와 평행하다. 삼각형 AEB에서 E와 B에 있는 두 각의 비는 ∠ AEB : ∠ ABE = 4 : 5이다. ∠ BCD의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

120

(B)

125

(C)

130

(D)

135

(E)

140

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 이름이 붙은 원 위에서의 각 추적이므로, 그림을 직접 다루는 도구 1번이 중심이다. 조건이 강제하는 각을 하나씩 표시한 뒤 그 각들을 따라 ∠ BCD까지 이어 간다. 도구 4번은 비의 부분을 4x, 5x로 이름 붙여 4:5 분할을 하나의 식으로 만든다. 도구 7번은 각 추적을 깔끔한 단계로 나눈다 — 먼저 지름이 만드는 직각, 다음 평행선이 만드는 각, 마지막으로 내접사각형이 만드는 각. 도구 3번은 마지막 수치를 선택지에 맞춘다.

1STEP 1

지름이 직각을 만든다

A는 원 위에서 지름 EB 전체를 가로질러 본다. 그런 각은 늘 직각이므로 ∠ EAB = 90°이다.

∠ EAB = 90°

2STEP 2

나머지 두 각의 합은 90

△ AEB의 세 각의 합은 180°이고 하나가 직각이니, ∠ AEB와 ∠ ABE의 합은 90°이다.

∠ AEB + ∠ ABE = 180° - 90° = 90°

3STEP 3

90을 4 : 5로 나누기

∠ AEB = 4x, ∠ ABE = 5x로 두면 9x = 90°, 즉 x = 10°이고 ∠ ABE = 50°이다.

4x + 5x = 90° → x = 10°, ∠ ABE = 5x = 50°

4STEP 4

평행한 현을 따라 각을 옮기기

지름 EB가 평행한 두 현 AB와 ED를 가로지르므로 ∠ ABE와 ∠ DEB는 엇각이고, ∠ DEB = 50°이다.

AB ∥ ED → ∠ DEB = ∠ ABE = 50°

5STEP 5

내접사각형의 마주 보는 각

내접사각형 BCDE에서 마주 보는 C와 E는 보각이므로 ∠ BCD = 180° - 50° = 130°이다.

∠ BCD = 180° - ∠ DEB = 180° - 50° = 130°

6STEP 6

선택지에 맞추기

∠ BCD = 130°는 선택지 (C)와 일치한다.

130° → (C)

정답

130

답은 둔각이어야 한다. C는 위쪽 짧은 호에 있고 B와 D는 넓게 벌어져 있으므로, 그 둘을 되돌아보는 ∠ BCD는 분명히 90°보다 크다 — 130°가 어울린다. 호로도 확인하자. 내접각 ∠ BCD는 반대쪽 호 BD(E와 A를 지나는 쪽)를 마주한다. ∠ DEB = 50°는 호 BD의 가까운 쪽에 대한 내접각이므로 반대쪽 호는 360° - 2(50°) = 260°이고, 그 절반은 130°로 같은 값이니 답이 일관된다. 주어진 EB ∥ DC는 C의 위치를 정확히 정해 주지만, 마주 보는 각의 규칙은 그 호 위 어떤 C에 대해서도 ∠ BCD를 정하므로 이 조건을 직접 쓸 필요는 없었다.

💡핵심 정리

지름을 가로지르는 모서리는 직각이고, 비는 각을 똑같은 조각으로 나눌 뿐이며, 원에 내접한 사각형의 마주 보는 각은 합이 180°이다 — 이것들을 이으면 ∠ BCD = 130°이다.

지름이 직각을 만든다
나머지 두 각의 합은 90
90을 4 : 5로 나누기
평행한 현을 따라 각을 옮기기
내접사각형의 마주 보는 각
선택지에 맞추기