AMC 10 · 2011 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

inscribed-anglearc-measuresupplementary-anglesangle-sum-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: inscribed-angle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

주어진 원에서 지름 $\overline{EB}$ 는 $\overline{DC}$ 와 평행하고, $\overline{AB}$ 는 $\overline{ED}$ 와 평행하다. 각 $AEB$ 와 각 $ABE$ 의 비는 $4 : 5$ 이다. 각 $BCD$ 의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

120

(B)

125

(C)

130

(D)

135

(E)

140

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 원에서 $\overline{EB}$는 지름이고 현 $\overline{DC}$와 평행하다. 현 $\overline{AB}$는 현 $\overline{ED}$와 평행하다. 삼각형 $AEB$에서 $E$와 $B$에 있는 두 각의 비가 $\angle AEB : \angle ABE = 4 : 5$이다. $\angle BCD$의 크기를 도(degree) 단위로 구하여라.

주어진 것: $A, B, C, D, E$는 모두 한 원 위에 있고, 원을 따라 돌면 순서는 $B, C, D, E, A$이다; $\overline{EB}$는 이 원의 지름이다; $\overline{EB} \parallel \overline{DC}$; $\overline{AB} \parallel \overline{ED}$; $\angle AEB : \angle ABE = 4 : 5$; 선택지: (A) $120$, (B) $125$, (C) $130$, (D) $135$, (E) $140$

구하는 것: $\angle BCD$의 도(degree) 단위 크기

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

이 문제는 이름이 붙은 원 위에서의 각 추적이므로, 그림을 직접 다루는 도구 1번이 중심이다. 조건이 강제하는 각을 하나씩 표시한 뒤 그 각들을 따라 $\angle BCD$까지 이어 간다. 도구 4번은 비의 부분을 $4x$, $5x$로 이름 붙여 $4:5$ 분할을 하나의 식으로 만든다. 도구 7번은 각 추적을 깔끔한 단계로 나눈다 — 먼저 지름이 만드는 직각, 다음 평행선이 만드는 각, 마지막으로 내접사각형이 만드는 각. 도구 3번은 마지막 수치를 선택지에 맞춘다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

지름이 직각을 만든다

점 $A$는 원 위에 있으면서 지름 $\overline{EB}$를 가로질러 바라본다.
원 위의 점이 지름 전체를 가로질러 바라보면 그 각은 항상 직각이므로 $\angle EAB = 90^\circ$이다.
따라서 $\triangle AEB$는 $A$에서 직각을 갖는 직각삼각형이다.

$$\angle EAB = 90^\circ$$

💡 지름 전체를 품는 모서리는 언제나 직각이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 2

나머지 두 각의 합은 90

$\triangle AEB$의 세 각의 합은 $180^\circ$이다.
그중 하나가 $90^\circ$이므로, 나머지 두 각 $\angle AEB$와 $\angle ABE$의 합은 $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$이어야 한다.

$$\angle AEB + \angle ABE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$

💡 $180^\circ$에서 직각을 빼면 나눠 가질 $90^\circ$가 남는다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 3

90을 4 : 5로 나누기

두 각을 $4:5$ 비에 맞춰 $\angle AEB = 4x$, $\angle ABE = 5x$로 둔다.
두 각의 합이 $90^\circ$이므로 $4x + 5x = 90^\circ$, 즉 $9x = 90^\circ$에서 $x = 10^\circ$이다.
따라서 $\angle AEB = 40^\circ$, $\angle ABE = 50^\circ$이다.

$$4x + 5x = 90^\circ \;\Rightarrow\; x = 10^\circ,\quad \angle ABE = 5x = 50^\circ$$

💡 $4:5$는 $90^\circ$를 똑같은 $9$조각으로 나눈 것이니 한 조각은 $10^\circ$이다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 4

평행한 현을 따라 각을 옮기기

현 $\overline{AB}$와 $\overline{ED}$는 평행하고, 지름 $\overline{EB}$가 두 현을 가로지르는 횡단선 역할을 한다.
따라서 $\angle ABE$($B$에서 $\overline{BA}$와 $\overline{BE}$ 사이)와 $\angle DEB$($E$에서 $\overline{ED}$와 $\overline{EB}$ 사이)는 엇각이며 서로 같다.
그러므로 $\angle DEB = \angle ABE = 50^\circ$이다.

$$\overline{AB} \parallel \overline{ED} \;\Rightarrow\; \angle DEB = \angle ABE = 50^\circ$$

💡 한 직선이 가로지른 평행한 두 현은 같은 크기의 엇각을 만든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 5

내접사각형의 마주 보는 각

네 점 $B, C, D, E$는 원 위에 있으며 사각형 $BCDE$를 이룬다.
원에 내접하는 어떤 사각형이든 마주 보는 두 각의 합은 $180^\circ$이다.
$C$에서의 각($\angle BCD$)과 $E$에서의 각($\angle DEB$)은 서로 마주 보므로 $\angle BCD + \angle DEB = 180^\circ$이다.
따라서 $\angle BCD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$이다.

$$\angle BCD = 180^\circ - \angle DEB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$$

💡 원에 내접한 사각형에서 마주 보는 두 꼭짓점의 각은 합하여 평각이 된다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

선택지에 맞추기

$\angle BCD = 130^\circ$는 선택지 (C)와 일치한다.

$$130^\circ \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $130$과 같은 답을 골라 읽는다.

[1] #1 8.G.A.5 점 $A$는 원 위에 있으면서 지름 $\overline{EB}$를 가로질러 바라본다. 원 위의 점이 지름 전체를 가로질러 바라보면 그 각은 항상

[2] #7 8.G.A.5 $\triangle AEB$의 세 각의 합은 $180^\circ$이다. 그중 하나가 $90^\circ$이므로, 나머지 두 각 $\angle AE

[3] #4 7.EE.B.4 두 각을 $4:5$ 비에 맞춰 $\angle AEB = 4x$, $\angle ABE = 5x$로 둔다. 두 각의 합이 $90^\circ$이므로

[4] #1 8.G.A.5 현 $\overline{AB}$와 $\overline{ED}$는 평행하고, 지름 $\overline{EB}$가 두 현을 가로지르는 횡단선 역할을

[5] #7 7.G.B.5 네 점 $B, C, D, E$는 원 위에 있으며 사각형 $BCDE$를 이룬다. 원에 내접하는 어떤 사각형이든 마주 보는 두 각의 합은 $180^

[6] #3 4.NBT.A.2 $\angle BCD = 130^\circ$는 선택지 (C)와 일치한다.

검토

합리성 확인: 답은 둔각이어야 한다. $C$는 위쪽 짧은 호에 있고 $B$와 $D$는 넓게 벌어져 있으므로, 그 둘을 되돌아보는 $\angle BCD$는 분명히 $90^\circ$보다 크다 — $130^\circ$가 어울린다. 호로도 확인하자. 내접각 $\angle BCD$는 반대쪽 호 $BD$($E$와 $A$를 지나는 쪽)를 마주한다. $\angle DEB = 50^\circ$는 호 $BD$의 가까운 쪽에 대한 내접각이므로 반대쪽 호는 $360^\circ - 2(50^\circ) = 260^\circ$이고, 그 절반은 $130^\circ$로 같은 값이니 답이 일관된다. 주어진 $\overline{EB} \parallel \overline{DC}$는 $C$의 위치를 정확히 정해 주지만, 마주 보는 각의 규칙은 그 호 위 어떤 $C$에 대해서도 $\angle BCD$를 정하므로 이 조건을 직접 쓸 필요는 없었다.

대안 접근: 도구 4번(변수 도입하기)을 호에 적용한다. 원의 $360^\circ$를 다섯 점이 나눈다고 보고 각 내접각을 그것이 마주하는 호의 절반으로 쓴다. $\angle ABE = 50^\circ$에서 호 $AE = 100^\circ$를 얻고, 두 평행 현 조건이 호 $BD = 100^\circ$도 강제하므로 $C$의 반대쪽 호 $BAED$는 $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$이다. 따라서 $\angle BCD = \tfrac{1}{2}(260^\circ) = 130^\circ$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (지름을 가로지르는 직각, 삼각형 내각의 합으로 얻는 $\angle AEB + \angle ABE = 90^\circ$, 그리고 엇각 단계 $\angle DEB = \angle ABE$에 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (두 각을 $4x$, $5x$로 두고 $9x = 90^\circ$를 풀어 $x = 10^\circ$를 얻는 데 사용.)
7.G.B.5 Use facts about supplementary, complementary, vertical, and adjacent angles (내접사각형 $BCDE$의 마주 보는 각의 합이 $180^\circ$임을 이용해 $\angle BCD = 180^\circ - 50^\circ$을 얻는 데 사용.)
4.NBT.A.2 Read and write multi-digit whole numbers and compare using symbols (계산한 값 $130$을 선택지 (C)에 맞추는 데 사용.)

⭐ 지름을 가로지르는 모서리는 직각이고, 비는 각을 똑같은 조각으로 나눌 뿐이며, 원에 내접한 사각형의 마주 보는 각은 합이 $180^\circ$이다 — 이것들을 이으면 $\angle BCD = 130^\circ$이다.