AMC 10 · 2011 · #18
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
그림이 주어지지 않았으므로 먼저 직사각형을 그리고 M에서 같은 두 각을 표시한다(도구 #1). 그림을 그리면 놓치기 쉬운 두 사실이 드러난다: AB ∥ DC 때문에 ∠ AMD가 엇각으로 ∠ MDC와 같아지고, 그 결과 삼각형 CMD가 이등변삼각형이 된다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이등변삼각형 단계와 직각삼각형 단계로 나누고, 도구 #4(변수 도입하기)로 직선 위 각의 합을 한 개의 방정식으로 마무리한다.
직사각형을 그리고 이름 붙이기
AB = 6을 아랫변, BC = 3을 오른쪽 변으로 두고 AB 위에 M을 찍은 뒤 MD와 MC를 긋고 같은 두 각을 표시한다.
이름을 붙인 그림은 숨어 있던 조건을 직접 다룰 수 있는 선과 각으로 바꿔 준다.
4.G.A.1Draw A Diagram엇각을 찾기
DC와 AB는 평행하고 MD가 둘을 가로지르므로 ∠ AMD와 ∠ MDC는 엇각으로 서로 같다.
두 평행선을 비스듬한 선이 지날 때, 안쪽에서 서로 반대편에 놓인 두 각은 쌍둥이다.
평행한 두 직선을 비스듬한 직선이 자르면, 안쪽 양편의 두 각은 쌍둥이다.
▸ 왜?
평행한 두 직선을 가로지르는 직선은 양쪽과 같은 각을 이룬다.
▸ 왜?
한 삼각형에 같은 각이 둘 있으면, 그 각을 마주하는 변도 같아야 한다.
이등변삼각형 발견하기
조건 ∠ AMD = ∠ CMD와 합치면 ∠ CMD = ∠ MDC이므로 삼각형 CMD는 이등변, CM = CD = 6이다.
밑각이 같으면 두 변의 길이도 같으니, 두 각이 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.
8.G.A.5Identify SubproblemsB에서의 직각삼각형 읽기
직각삼각형 CMB에서 변 CB = 3이 빗변 CM = 6의 절반이니 30-60-90 모양, 따라서 ∠ CMB = 30°이다.
한 변이 빗변의 절반인 직각삼각형은 언제나 30-60-90 삼각형이다.
8.G.B.7Identify Subproblems직선 위 각을 더하기
θ = ∠ AMD로 두면 M의 세 각이 직선 AB를 채우므로 2θ + 30° = 180°, 따라서 θ = 75°, 정답 (E).
한 직선 위에 나란히 놓인 각들의 합은 언제나 평각인 180°이다.
4.MD.C.7Introduce A Variable평행한 변이 각을 그대로 되돌려 보내 삼각형을 이등변으로 만들었고, 이어서 30-60-90 직각과 직선 각의 합 180°가 각을 75°로 못 박았다.
- 직사각형을 그리고 이름 붙이기
- 엇각을 찾기
- 이등변삼각형 발견하기
- B에서의 직각삼각형 읽기
- 직선 위 각을 더하기