AMC 10 · 2011 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

isosceles-triangleangle-sum-trianglethirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직사각형 $ABCD$ 에서 $AB = 6$ 이고 $BC = 3$ 이다. 변 $AB$ 위에 점 $M$ 을 $\angle AMD = \angle CMD$ 가 되도록 잡는다. $\angle AMD$ 의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$에서 긴 변 $AB = 6$, 짧은 변 $BC = 3$이다. 변 $AB$ 위에 점 $M$을 잡되, 선분 $MD$가 양쪽으로 만드는 각이 같도록 한다: $\angle AMD = \angle CMD$. 이때 $\angle AMD$의 크기를 도(度) 단위로 구하여라.

주어진 것: $ABCD$는 직사각형이므로 네 꼭짓점이 모두 직각이고 마주 보는 변의 길이가 같다; $AB = CD = 6$이고 $BC = AD = 3$이다; 점 $M$은 변 $AB$ 위에 있다; $\angle AMD = \angle CMD$ (선분 $MD$가 양쪽으로 만드는 각이 같다); 선택지: (A) $15$, (B) $30$, (C) $45$, (D) $60$, (E) $75$

구하는 것: $\angle AMD$의 도(度) 단위 크기

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

그림이 주어지지 않았으므로 먼저 직사각형을 그리고 $M$에서 같은 두 각을 표시한다(도구 #1). 그림을 그리면 놓치기 쉬운 두 사실이 드러난다: $AB \parallel DC$ 때문에 $\angle AMD$가 엇각으로 $\angle MDC$와 같아지고, 그 결과 삼각형 $CMD$가 이등변삼각형이 된다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이등변삼각형 단계와 직각삼각형 단계로 나누고, 도구 #4(변수 도입하기)로 직선 위 각의 합을 한 개의 방정식으로 마무리한다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

직사각형을 그리고 이름 붙이기

$A$를 왼쪽 아래, $B$를 오른쪽 아래, $C$를 오른쪽 위, $D$를 왼쪽 위에 두어 $AB = 6$이 아랫변, $BC = 3$이 오른쪽 변이 되게 한다.
아랫변 $AB$ 위 어딘가에 $M$을 찍고 $MD$와 $MC$를 그린다.
같은 두 각 $\angle AMD$와 $\angle CMD$를 표시한다.
그림의 목적은 평행한 변과 공통 선분 $MD$를 눈에 보이게 하는 것이다.

$$A=(0,0),\ B=(6,0),\ C=(6,3),\ D=(0,3),\ M=(m,0)$$

💡 이름을 붙인 그림은 숨어 있던 조건을 직접 다룰 수 있는 선과 각으로 바꿔 준다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 2

엇각을 찾기

윗변 $DC$는 아랫변 $AB$와 평행하고, $MD$는 두 변을 가로지르는 횡단선이다.
따라서 아래쪽 $M$에 있는 $\angle AMD$와 위쪽 $D$에 있는 $\angle MDC$는 엇각이므로 서로 같다.

$$AB \parallel DC \;\Rightarrow\; \angle AMD = \angle MDC$$

💡 두 평행선을 비스듬한 선이 지날 때, 안쪽에서 서로 반대편에 놓인 두 각은 쌍둥이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

이등변삼각형 발견하기

조건에서 $\angle AMD = \angle CMD$이고, 방금 $\angle AMD = \angle MDC$임을 찾았다.
이를 이으면 $\angle CMD = \angle MDC$이다.
삼각형 $CMD$에서 $M$의 각과 $D$의 각이 같으므로, 그 각들과 마주 보는 변의 길이도 같다: $CM = CD$.
그런데 $CD = AB = 6$이므로 $CM = 6$이다.

$$\angle CMD = \angle MDC \;\Rightarrow\; CM = CD = 6$$

💡 밑각이 같으면 두 변의 길이도 같으니, 두 각이 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

$B$에서의 직각삼각형 읽기

삼각형 $CMB$를 보자.
$B$의 각은 직각이고, 한 변 $CB = 3$, 빗변은 $CM = 6$이다.
피타고라스 정리로 다른 한 변은 $MB = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$이므로 세 변의 비는 $3 : 3\sqrt{3} : 6$, 즉 잘 알려진 $1:\sqrt{3}:2$ 모양이다.
짧은 변이 빗변의 정확히 절반인 직각삼각형은 $30$-$60$-$90$ 삼각형이고, 짧은 변 $CB$와 마주 보는 각 $\angle CMB = 30^\circ$이다.

$$MB=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3,\quad 3:3\sqrt3:6 \Rightarrow \angle CMB = 30^\circ$$

💡 한 변이 빗변의 절반인 직각삼각형은 언제나 30-60-90 삼각형이다.

#4 변수 도입하기 4.MD.C.7 단계 5

직선 위 각을 더하기

$M$에서의 세 각은 직선 변 $AB$ 위에 놓이므로 그 합은 $180^\circ$이다: $\angle AMD + \angle DMC + \angle CMB = 180^\circ$.
$\theta = \angle AMD$로 두면 $\angle DMC = \angle AMD = \theta$이고 $\angle CMB = 30^\circ$이므로 $2\theta + 30^\circ = 180^\circ$가 된다.
풀면 $\theta = 75^\circ$이다.
따라서 $\angle AMD = 75^\circ$, 정답은 (E)이다.

$$2\theta + 30^\circ = 180^\circ \;\Rightarrow\; \theta = 75^\circ = \textbf{(E)}$$

💡 한 직선 위에 나란히 놓인 각들의 합은 언제나 평각인 $180^\circ$이다.

[1] #1 4.G.A.1 $A$를 왼쪽 아래, $B$를 오른쪽 아래, $C$를 오른쪽 위, $D$를 왼쪽 위에 두어 $AB = 6$이 아랫변, $BC = 3$이 오른쪽

[2] #1 8.G.A.5 윗변 $DC$는 아랫변 $AB$와 평행하고, $MD$는 두 변을 가로지르는 횡단선이다. 따라서 아래쪽 $M$에 있는 $\angle AMD$와 위

[3] #7 8.G.A.5 조건에서 $\angle AMD = \angle CMD$이고, 방금 $\angle AMD = \angle MDC$임을 찾았다. 이를 이으면 $\a

[4] #7 8.G.B.7 삼각형 $CMB$를 보자. $B$의 각은 직각이고, 한 변 $CB = 3$, 빗변은 $CM = 6$이다. 피타고라스 정리로 다른 한 변은 $MB

[5] #4 4.MD.C.7 $M$에서의 세 각은 직선 변 $AB$ 위에 놓이므로 그 합은 $180^\circ$이다: $\angle AMD + \angle DMC + \an

검토

합리성 확인: $\angle AMD = 75^\circ$가 앞뒤가 맞는지 확인한다. $\angle CMB = 30^\circ$이면 $MB = CB/\tan 30^\circ = 3\sqrt{3} \approx 5.20$이므로 $M \approx (0.80, 0)$이고, $CM = \sqrt{(3\sqrt3)^2 + 3^2} = \sqrt{27+9} = 6 = CD$가 되어 이등변삼각형임이 확인된다. $M$에서의 세 각은 $75^\circ + 75^\circ + 30^\circ = 180^\circ$로 정확히 직선을 이룬다. 모든 것이 맞아떨어지며 $75^\circ$는 선택지 (E)이다.

대안 접근: 좌표와 삼각비를 쓸 수도 있다. $M=(m,0)$일 때 $\tan\angle AMD = 3/m$이고, $MD$가 $\angle AMC$를 이등분하도록 요구하면 $CM = 6$이 되어 $m = 6 - 3\sqrt{3}$이 나온다. 그러면 $\tan\angle AMD = 3/(6-3\sqrt3) = 2+\sqrt3 = \tan 75^\circ$이므로 다시 $\angle AMD = 75^\circ$이다. 더 빠른 시험용 지름길: 대충 그려 보면 각이 $60^\circ$보다 확실히 크므로 (A)-(D)를 지우고 (E)만 남는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 점, 직선, 선분, 반직선, 각, 그리고 수직선과 평행선 그리기 (직사각형을 그리고 이름을 붙이며, $AB$ 위에 $M$을 찍고, 같은 두 각과 평행한 변을 표시하여 각 추적의 바탕을 마련하는 데 사용.)
8.G.A.5 각의 합과 평행선이 횡단선에 잘릴 때 생기는 각에 대한 비형식적 논증 ($AB \parallel DC$에서 $\angle AMD = \angle MDC$를 엇각으로 인식하고, 삼각형 $CMD$가 $CM = CD$인 이등변삼각형임을 결론짓는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용하여 직각삼각형의 미지의 변의 길이 구하기 (직각삼각형 $CMB$에서 $MB = 3\sqrt{3}$을 구하고 $1:\sqrt3:2$ 비를 인식하여 $\angle CMB = 30^\circ$임을 얻는 데 사용.)
4.MD.C.7 각의 크기가 더해진다는 것을 인식하고 덧셈과 뺄셈으로 미지의 각 구하기 ($M$에서 직선 $AB$ 위의 세 각을 $180^\circ$로 더하고 $2\theta + 30^\circ = 180^\circ$를 풀어 $\theta = 75^\circ$을 구하는 데 사용.)

⭐ 평행한 변이 각을 그대로 되돌려 보내 삼각형을 이등변으로 만들었고, 이어서 30-60-90 직각과 직선 각의 합 $180^\circ$가 각을 $75^\circ$로 못 박았다.