경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2011B · #19

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

absolute-valuequadratic-equationssigned-square-root convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 제곱근이 같다는 방정식

\sqrt{5|x|+8} = \sqrt{x^2-16}

이 주어진다. 두 근호 안의 값이 모두 0 이상이 되는 실수

x

만 근으로 인정한다. 모든 근의 곱을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-64

(B)

-24

(C)

-9

(D)

(E)

576

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

까다로운 부분은 x² 옆에 놓인 |x| 이다. x² = |x|² 이므로 |x| 를 하나의 변수로 두면 전체가 평범한 이차방정식이 된다. 그다음 풀고, 불가능한 값을 버리고, 가짜 근을 확인하면 된다.

1STEP 1

양변을 제곱하기

양변이 제곱근이니 제곱해도 안전하다: $5|x|+8 = x^2-16$ , 정리하면 $x^2-5|x|-24=0$ .

√(5|x| + 8) = √(x² - 16) → 5|x| + 8 = x² - 16 → x² - 5|x| - 24 = 0

2STEP 2

절댓값을 변수로 치환하기

$x^2 = |x|^2$ 이므로 $u = |x| \ge 0$ 으로 두면 방정식은 평범한 이차식 $u^2-5u-24=0$ 이 된다.

u = |x| ≥ 0, x² = |x|² = u² → u² - 5u - 24 = 0

3STEP 3

이차방정식 풀기

곱이 $-24$ , 합이 $-5$ 인 두 수는 $-8$ 과 $3$ 이므로 $(u-8)(u+3)=0$ : $u=8$ 또는 $u=-3$ .

u² - 5u - 24 = (u - 8)(u + 3) = 0 → u = 8 또는 u = -3

4STEP 4

불가능한 값 버리기

절댓값은 결코 음수가 될 수 없으므로 $u=-3$ 은 불가능하고 $|x|=8$ 만 살아남는다.

u = |x| ≥ 0 → u ≠ -3, 따라서 |x| = 8

5STEP 5

근을 확인하고 곱하기

따라서 $x=8$ 또는 $x=-8$ 이고, 각각 $\sqrt{48}=\sqrt{48}$ 로 확인된다. 곱은 $-64$ , 보기 (A).

x = ± 8: √(48) = √(48) ✓ → 8 × (-8) = -64

정답

-64

두 근 8과 -8은 서로 부호만 다르므로 곱은 음수이다. 이것만으로 양수 보기 24와 576은 즉시 제외된다. 크기 8 × 8 = 64가 답을 -64 로 확정한다. 두 근 모두 원래 방정식에 넣으면 √(48) = √(48)로 성립한다.

💡핵심 정리

방정식에 |x| 와 x²가 섞여 있으면 |x| 를 한 글자로 바꿔 평범한 이차방정식으로 만든 뒤, 절댓값을 음수로 만드는 답은 버려라.

양변을 제곱하기
절댓값을 변수로 치환하기
이차방정식 풀기
불가능한 값 버리기
근을 확인하고 곱하기

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양변을 제곱하기

절댓값을 변수로 치환하기

이차방정식 풀기

불가능한 값 버리기

근을 확인하고 곱하기

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