AMC 10 · 2011 · #19

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

absolute-valuequadratic-equationssigned-square-root convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다음 방정식의 모든 근의 곱은 얼마인가? $\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{x^2 - 16}.$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-64

(B)

-24

(C)

-9

(D)

(E)

576

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 제곱근이 같다는 방정식 $\sqrt{5|x| + 8} = \sqrt{x^2 - 16}$ 이 주어진다. 이 식을 참으로 만드는 모든 $x$ 값을 구한 뒤, 그 근들을 모두 곱한다.

주어진 것: $\sqrt{5|x| + 8} = \sqrt{x^2 - 16}$; 미지수 $x$ 는 양수일 수도 음수일 수도 있어 $|x|$ 가 나타난다.

구하는 것: 모든 실근 $x$ 의 곱.

이해

주어진 것: $\sqrt{5|x| + 8} = \sqrt{x^2 - 16}$; 미지수 $x$ 는 양수일 수도 음수일 수도 있어 $|x|$ 가 나타난다.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기

까다로운 부분은 $x^2$ 옆에 놓인 $|x|$ 이다. $x^2 = |x|^2$ 이므로 $|x|$ 를 하나의 변수로 두면 전체가 평범한 이차방정식이 된다. 그다음 풀고, 불가능한 값을 버리고, 가짜 근을 확인하면 된다.

실행 — 정답: A

#15 다르게 정리하기 8.EE.A.2 단계 1

양변을 제곱하기

양변이 모두 제곱근이므로 둘 다 $\ge 0$ 이다.
제곱해도 안전하며 근호가 사라진다: $5|x| + 8 = x^2 - 16$.
모든 항을 한쪽으로 옮기면 $x^2 - 5|x| - 24 = 0$ 이 된다.

$$\sqrt{5|x| + 8} = \sqrt{x^2 - 16} \;\Rightarrow\; 5|x| + 8 = x^2 - 16 \;\Rightarrow\; x^2 - 5|x| - 24 = 0$$

💡 제곱은 제곱근을 되돌리므로 두 근호를 한 번에 없앤다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 2

절댓값을 변수로 치환하기

$x^2 = |x|^2$ 임에 주목한다.
$u = |x|$ 로 두면 반드시 $u \ge 0$ 이다.
그러면 방정식은 $u$ 에 대한 깔끔한 이차방정식 $u^2 - 5u - 24 = 0$ 이 된다.

$$u = |x| \ge 0,\quad x^2 = |x|^2 = u^2 \;\Rightarrow\; u^2 - 5u - 24 = 0$$

💡 $|x|$ 를 한 글자로 바꾸면 절댓값이 숨고 평범한 이차식이 드러난다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 3

이차방정식 풀기

$u^2 - 5u - 24 = 0$ 을 인수분해한다.
곱이 $-24$, 합이 $-5$ 인 두 수는 $-8$ 과 $+3$ 이다.
따라서 $(u - 8)(u + 3) = 0$ 이고 $u = 8$ 또는 $u = -3$ 이다.

u^2 - 5u - 24 = (u - 8)(u + 3) = 0 \;\Rightarrow\; u = 8 \text{ 또는 } u = -3

💡 인수분해는 이차식을 두 개의 간단한 곱으로 쪼개어 각각을 0으로 두게 해 준다.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 4

불가능한 값 버리기

여기서 $u = |x|$ 이고, 절댓값은 결코 음수가 될 수 없다.
따라서 $u = -3$ 은 불가능하고 $u = 8$ 만 살아남아 $|x| = 8$ 이 된다.

u = |x| \ge 0 \;\Rightarrow\; u \ne -3,\quad \text{따라서 } |x| = 8

💡 0으로부터의 거리는 절대 음수가 아니므로 $|x|$ 가 음수라는 값은 곧바로 배제된다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 5

근을 확인하고 곱하기

$|x| = 8$ 에서 후보는 $x = 8$ 과 $x = -8$ 이다.
제곱은 되돌릴 수 없는 과정이므로 확인한다: $\sqrt{5\cdot 8 + 8} = \sqrt{48}$ 이고 $\sqrt{8^2 - 16} = \sqrt{48}$ 로 양변이 일치하며, $x = -8$ 도 같은 값을 준다.
둘 다 진짜 근이므로 곱은 $8 \times (-8) = -64$, 즉 보기 $\textbf{(A)}$ 이다.

$$x = \pm 8:\quad \sqrt{48} = \sqrt{48}\ \checkmark \;\Rightarrow\; 8 \times (-8) = -64$$

💡 후보를 다시 대입하면 그것이 제곱한 식뿐 아니라 원래 방정식도 참으로 만드는지 확인된다.

[1] #15 8.EE.A.2 양변이 모두 제곱근이므로 둘 다 $\ge 0$ 이다. 제곱해도 안전하며 근호가 사라진다: $5|x| + 8 = x^2 - 16$. 모든 항을 한

[2] #4 6.EE.A.2 $x^2 = |x|^2$ 임에 주목한다. $u = |x|$ 로 두면 반드시 $u \ge 0$ 이다. 그러면 방정식은 $u$ 에 대한 깔끔한 이차

[3] #4 8.EE.C.7 $u^2 - 5u - 24 = 0$ 을 인수분해한다. 곱이 $-24$, 합이 $-5$ 인 두 수는 $-8$ 과 $+3$ 이다. 따라서 $(u -

[4] #3 6.NS.C.7 여기서 $u = |x|$ 이고, 절댓값은 결코 음수가 될 수 없다. 따라서 $u = -3$ 은 불가능하고 $u = 8$ 만 살아남아 $|x| =

[5] #6 6.EE.B.5 $|x| = 8$ 에서 후보는 $x = 8$ 과 $x = -8$ 이다. 제곱은 되돌릴 수 없는 과정이므로 확인한다: $\sqrt{5\cdot 8

검토

합리성 확인: 두 근 $8$ 과 $-8$ 은 서로 부호만 다르므로 곱은 음수이다. 이것만으로 양수 보기 $24$ 와 $576$ 은 즉시 제외된다. 크기 $8 \times 8 = 64$ 가 답을 $-64$ 로 확정한다. 두 근 모두 원래 방정식에 넣으면 $\sqrt{48} = \sqrt{48}$ 로 성립한다.

대안 접근: $y = x^2$ 로 둔다. 제곱하면 $5|x| + 8 = y - 16$ 인데 $|x| = \sqrt{y}$ 이므로 $y - 5\sqrt{y} - 24 = 0$ 이고, $\sqrt{y}$ 에 대해 인수분해하면 $(\sqrt{y} - 8)(\sqrt{y} + 3) = 0$ 이라 $\sqrt{y} = 8$, $x^2 = 64$, $x = \pm 8$ 로 같은 결과가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.2 제곱근 기호를 사용하고 완전제곱수의 제곱근을 계산하기 (양변을 제곱하여 두 근호를 없애기.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 ($u = |x|$ 로 치환하여 방정식을 이차식으로 바꾸기.)
8.EE.C.7 일변수 방정식 풀기 ($u^2 - 5u - 24 = 0$ 을 인수분해하여 풀기.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해하기 ($|x|$ 가 음수일 수 없으므로 $u = -3$ 을 버리기.)
6.EE.B.5 방정식을 푸는 것은 참으로 만드는 값을 찾는 것임을 이해하기 ($x = \pm 8$ 을 원래 방정식에 넣어 가짜 근을 걸러내기.)

⭐ 방정식에 $|x|$ 와 $x^2$ 가 섞여 있으면 $|x|$ 를 한 글자로 바꿔 평범한 이차방정식으로 만든 뒤, 절댓값을 음수로 만드는 답은 버려라.