AMC 10 · 2011 · #20
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"B 에 더 가깝다"는 위치에 관한 말이므로 Tool #1 (그림 그리기)이 기준점이다: 마름모를 그리고, 120° 각이 마름모를 두 개의 정삼각형으로 가른다는 것을 알아채고, R 의 경계가 어디를 지나는지 상상한다. Tool #4 (변수 도입하기)로 좌표를 잡으면 "더 가깝다"가 비교할 수 있는 거리가 된다. "B 에 더 가까운 쪽"과 "이웃 꼭짓점에 더 가까운 쪽"의 경계는 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선이므로 R 은 오각형이 된다. 그다음 Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)로 수직이등분선을 하나씩 따라 그 오각형의 꼭짓점을 찾고 넓이를 더한다.
마름모를 두 삼각형으로 나누기
∠ A = 60° 이고 AB = AD = 2 이므로 삼각형 ABD 와 CBD 는 BD = 2 인 정삼각형이다.
60° 로 만나는 두 등변은 삼각형을 정삼각형 말고 다른 것이 될 여지를 남기지 않는다.
8.G.A.5Draw A Diagram도형을 좌표평면에 놓기
B 를 원점에 두고 x-축 대칭으로 놓으면 B=(0,0), A=(1,√(3)), C=(1,-√(3)), D=(2,0) 이고 BA = 2이다.
좌표는 흐릿한 말 "더 가깝다"를 실제로 잴 수 있는 거리로 바꿔 준다.
6.NS.C.8Introduce A Variable"B 에 더 가깝다"를 경계선으로 바꾸기
이웃보다 B 에 더 가까움은 그 선분 수직이등분선의 B 쪽에 있음이다. BD 는 x=1, BA 는 (1/2,√(3)/2)를 지난다.
두 꼭짓점의 정확한 중간선이 공정한 경계다 — 그 선을 넘으면 더 가까운 꼭짓점이 바뀐다.
두 꼭짓점 사이의 정확한 한가운데 선이 공평한 경계다. 그것을 넘으면 더 가까운 꼭짓점이 바뀐다.
▸ 왜?
두 점에서 같은 거리에 있는 점은, 그 사이를 반으로 자르는 접는 선 그대로다.
▸ 왜?
그 선의 한쪽에서는 한 거리가 더 작고 끝까지 작으므로, 나뉨이 깔끔하다.
오각형의 다섯 꼭짓점 찾기
R 의 경계는 오각형 (0,0), (1/2,√(3)/2), (1,√(3)/3), (1,-√(3)/3), (1/2,-√(3)/2)이다.
R 의 꼭짓점은 세 꼭짓점까지의 거리가 동시에 비기는 지점이라, 두 수직이등분선이 만나는 곳에 있다.
8.G.B.8Identify Subproblems오각형의 넓이 더하기
다섯 꼭짓점에 신발끈 공식을 쓰면 합이 4√(3)/3이고, 그 절반인 2√(3)/3 이 넓이다. 선택지 (C).
신발끈 공식은 꼭짓점을 빙 돌며 둘러싸인 넓이를 한 번에 합산해 준다.
6.G.A.1Identify Subproblems두 꼭짓점 사이의 공정한 경계는 그 중간선이므로, "B 에 가장 가까운" 영역은 넓이를 그냥 더하면 되는 작은 오각형이다.
- 마름모를 두 삼각형으로 나누기
- 도형을 좌표평면에 놓기
- "B 에 더 가깝다"를 경계선으로 바꾸기
- 오각형의 다섯 꼭짓점 찾기
- 오각형의 넓이 더하기