AMC 10 · 2011 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

perpendicular-bisectorcoordinate-geometryarea-trianglesequilateral-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: perpendicular-bisector

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

마름모 $ABCD$ 의 한 변의 길이는 $2$ 이고 $\angle B = 120$ °이다. 영역 $R$ 은 마름모 내부의 점들 중 다른 세 꼭짓점보다 꼭짓점 $B$ 에 더 가까운 모든 점으로 이루어진다. $R$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

(B)

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

(C)

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(D)

$1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마름모 $ABCD$ 는 모든 변의 길이가 $2$ 이고, 꼭짓점 $B$ 에서의 각이 $120^\circ$ 이다. 마름모 내부에서, 영역 $R$ 은 다른 세 꼭짓점 $A$, $C$, $D$ 보다 꼭짓점 $B$ 에 더 가까운 점들의 집합이다. $R$ 의 넓이를 구하라.

주어진 것: 네 변이 모두 $2$ 인 마름모 $ABCD$; $\angle B = 120^\circ$ 이므로 이웃한 각 $\angle A$ 와 $\angle C$ 는 각각 $60^\circ$; $R$ 은 $A$, $C$, $D$ 보다 $B$ 에 더 가까운 모든 내부 점; 선택지: $\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{2\sqrt{3}}{3},\ 1+\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ 2$

구하는 것: 영역 $R$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

"$B$ 에 더 가깝다"는 위치에 관한 말이므로 Tool #1 (그림 그리기)이 기준점이다: 마름모를 그리고, $120^\circ$ 각이 마름모를 두 개의 정삼각형으로 가른다는 것을 알아채고, $R$ 의 경계가 어디를 지나는지 상상한다. Tool #4 (변수 도입하기)로 좌표를 잡으면 "더 가깝다"가 비교할 수 있는 거리가 된다. "$B$ 에 더 가까운 쪽"과 "이웃 꼭짓점에 더 가까운 쪽"의 경계는 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선이므로 $R$ 은 오각형이 된다. 그다음 Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)로 수직이등분선을 하나씩 따라 그 오각형의 꼭짓점을 찾고 넓이를 더한다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

마름모를 두 삼각형으로 나누기

$\angle B = 120^\circ$ 이므로 이웃한 각 $\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ 이다.
삼각형 $ABD$ 에서 두 변 $AB$ 와 $AD$ 는 모두 $2$ 이고 그 사이 각이 $60^\circ$ 이므로, 세 번째 변 $BD = 2$ 가 되어 삼각형 $ABD$ 는 정삼각형이다.
삼각형 $CBD$ 도 마찬가지다.
따라서 마름모는 대각선 $BD$ 를 따라 붙인 변의 길이 $2$ 인 두 정삼각형이다.

$$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \;\Rightarrow\; BD = 2$$

💡 $60^\circ$ 로 만나는 두 등변은 삼각형을 정삼각형 말고 다른 것이 될 여지를 남기지 않는다.

#4 변수 도입하기 6.NS.C.8 단계 2

도형을 좌표평면에 놓기

$B$ 를 원점에 두고 두 변을 $x$-축에 대해 대칭으로 벌린다.
각 정삼각형 절반의 $30$-$60$-$90$ 모양(높이 $\sqrt{3}$)을 쓰면 꼭짓점은 $B=(0,0)$, $A=(1,\sqrt{3})$, $C=(1,-\sqrt{3})$, $D=(2,0)$ 에 놓인다.
확인: $BA=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$ 로 변의 길이와 정확히 같으니 배치가 맞다.

$$B=(0,0),\ A=(1,\sqrt{3}),\ C=(1,-\sqrt{3}),\ D=(2,0)$$

💡 좌표는 흐릿한 말 "더 가깝다"를 실제로 잴 수 있는 거리로 바꿔 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 3

"B 에 더 가깝다"를 경계선으로 바꾸기

어떤 점이 이웃 꼭짓점보다 $B$ 에 더 가까운 것은, 그 점이 $B$ 와 그 이웃을 잇는 선분의 수직이등분선에서 $B$ 쪽에 있을 때와 정확히 같다.
$BD$ ($(0,0)$ 에서 $(2,0)$) 의 수직이등분선은 수직선 $x=1$ 이다.
$BA$ 의 수직이등분선은 변 $BA$ 의 중점 $\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 에서 만나고, 대칭에 의해 $BC$ 의 수직이등분선은 변 $BC$ 의 $\left(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 에서 만난다.
영역 $R$ 은 세 수직이등분선 모두에 대해 $B$ 쪽에 있는 마름모 부분이다.

$$BD \text{ 의 수직이등분선}:\ x=1; \quad BA \text{ 의 중점}=\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

💡 두 꼭짓점의 정확한 중간선이 공정한 경계다 — 그 선을 넘으면 더 가까운 꼭짓점이 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 4

오각형의 다섯 꼭짓점 찾기

$R$ 의 경계를 따라가 보자.
변 $BA$ 를 따라 $B$ 에서 중점 $\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 까지 가고, 그다음 $BA$-수직이등분선을 따라 $A$, $B$, $D$ 에서 같은 거리인 점 — 정삼각형 $ABD$ 의 중심 $\left(1,\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$ — 까지 간다.
선 $x=1$ 을 따라 쌍둥이 점 $\left(1,-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$ ($B$, $C$, $D$ 에서 같은 거리) 로 내려가고, $BC$-수직이등분선을 따라 $\left(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 로 돌아온 뒤 $B$ 로 돌아온다.
따라서 $R$ 은 이 다섯 꼭짓점을 가진 오각형이다.

$$(0,0),\ \left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\ \left(1,\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right),\ \left(1,-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right),\ \left(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

💡 $R$ 의 꼭짓점은 세 꼭짓점까지의 거리가 동시에 비기는 지점이라, 두 수직이등분선이 만나는 곳에 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

오각형의 넓이 더하기

다섯 꼭짓점을 순서대로 놓고 신발끈 공식을 적용한다.
교차곱의 합은 $\tfrac{4\sqrt{3}}{3}$ 이고, 그 절반이 넓이다.
이는 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 로 선택지 $\textbf{(C)}$ 이다.

$$\text{넓이}=\tfrac12\left|\sum\left(x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i\right)\right|=\tfrac12\cdot\dfrac{4\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$

💡 신발끈 공식은 꼭짓점을 빙 돌며 둘러싸인 넓이를 한 번에 합산해 준다.

[1] #1 8.G.A.5 $\angle B = 120^\circ$ 이므로 이웃한 각 $\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ 이

[2] #4 6.NS.C.8 $B$ 를 원점에 두고 두 변을 $x$-축에 대해 대칭으로 벌린다. 각 정삼각형 절반의 $30$-$60$-$90$ 모양(높이 $\sqrt{3}$

[3] #7 8.G.B.8 어떤 점이 이웃 꼭짓점보다 $B$ 에 더 가까운 것은, 그 점이 $B$ 와 그 이웃을 잇는 선분의 수직이등분선에서 $B$ 쪽에 있을 때와 정확히

[4] #7 8.G.B.8 $R$ 의 경계를 따라가 보자. 변 $BA$ 를 따라 $B$ 에서 중점 $\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\righ

[5] #7 6.G.A.1 다섯 꼭짓점을 순서대로 놓고 신발끈 공식을 적용한다. 교차곱의 합은 $\tfrac{4\sqrt{3}}{3}$ 이고, 그 절반이 넓이다. 이는 $

검토

합리성 확인: 마름모 전체 넓이는 $2\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2 = 2\sqrt{3}\approx 3.46$ 이고, $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1.15$ 는 정확히 그 $\tfrac13$ 이다. 수치도 맞다: 선택지 (C) $\approx 1.15$ 는 (A) $\approx 0.58$ 과 (D) $\approx 1.58$ 사이에 자연스럽게 놓여, $R$ 이 마름모 전체도 아니고 얇은 조각도 아닌 그럴듯한 크기임을 보여 준다.

대안 접근: 좌표를 생략할 수도 있다. 한 정삼각형 $ABD$ 안에서 세 수직이등분선은 중심에서 만나 삼각형을 세 개의 합동인 연(kite)으로 자르며, 각각 한 꼭짓점을 감싼다. 그래서 $B$ 에 가장 가까운 부분은 그 삼각형 넓이 $\sqrt{3}$ 의 정확히 $\tfrac13$, 즉 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 이다. 삼각형 $CBD$ 도 $B$ 근처에 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 을 더한다. 둘을 합치면 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 로, 좌표 없이도 (C) 를 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles ($\angle B=120^\circ$ 로부터 $\angle A=60^\circ$ 를 얻어 마름모의 각 절반이 정삼각형임을 밝히는 데 사용.)
6.NS.C.8 Solve real-world problems by graphing points in all four quadrants (네 꼭짓점을 좌표에 놓아 $B$ 까지의 거리를 비교할 수 있게 하는 데 사용.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (수직이등분선으로 각 꼭짓점까지의 거리를 비교하고 오각형의 꼭짓점 위치를 찾는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (신발끈 공식으로 오각형 $R$ 의 넓이를 계산하는 데 사용.)

⭐ 두 꼭짓점 사이의 공정한 경계는 그 중간선이므로, "$B$ 에 가장 가까운" 영역은 넓이를 그냥 더하면 되는 작은 오각형이다.