AMC 10 · 2011 · #5

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-factorizationdigit-decompositionplace-value work-backwards ↑ 선수 지식: prime-factorization

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문제

론은 두 자리 수 a와 또 다른 양의 정수 b를 곱하려 했지만, 곱하기 전에 a의 두 자리 숫자를 뒤바꿔 버렸다. 그렇게 잘못 곱한 값이 161이었다. 올바른 a를 사용해 참된 곱 a × b를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

116

(B)

161

(C)

204

(D)

214

(E)

224

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

잘못된 곱 161은 론의 실수가 끝난 지점이고, 우리는 그가 출발한 수를 찾아야 하므로 도구 #11(거꾸로 풀기)이 알맞다. 161을 인수분해해 그가 실제로 곱한 두 수를 되찾는다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 어느 인수가 뒤바꾼 두 자리 수인지 고른다. 두 자리인 인수는 하나뿐이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 나머지를 작은 단계로 나눈다. 자릿수를 되돌려 a를 얻고, 올바른 곱셈을 한다.

1STEP 1

잘못된 곱을 인수분해하기

잘못된 곱 (뒤바꾼 a) × b = 161은 정수 인수쌍이므로 쪼개면 161 = 7 × 23, 둘 다 소수다.

161 = 7 × 23

2STEP 2

뒤바꾼 두 자리 인수 고르기

뒤집어도 두 자리이므로 뒤바꾼 a = 23, b = 7이다. 1 × 161 갈래는 불가능하다.

뒤바꾼 a = 23, b = 7

3STEP 3

자릿수를 되돌려 a 구하기

23을 다시 뒤집어 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 참된 a = 32, b = 7이다.

23 → a = 32

4STEP 4

올바르게 곱하기

이제 진짜 수로 곱하면 a × b = 32 × 7 = 210 + 14 = 224, 곧 선택지 (E)다. 161은 미끼다.

a × b = 32 × 7 = 224 → (E)

정답

224

이야기를 양쪽으로 확인하자. 뒤바꾼 a = 23에 b = 7을 곱하면 23 × 7 = 161로 론의 잘못된 곱과 정확히 같으니 인수분해가 맞다. 참된 a = 32에 b = 7을 곱하면 224이고, 이는 161보다 조금 더 크다. 32 ＞ 23이므로 자연스러운 결과다. 답 224는 선택지 (E)이고, 솔깃한 161(선택지 B)은 잘못된 곱일 뿐 올바른 값이 아니다.

💡핵심 정리

잘못된 답을 인수로 쪼개고, 두 자리 인수를 원래 수로 되돌린 뒤 다시 곱하면 참된 곱이 나온다.

잘못된 곱을 인수분해하기
뒤바꾼 두 자리 인수 고르기
자릿수를 되돌려 a 구하기
올바르게 곱하기

잘못된 곱을 인수분해하기

뒤바꾼 두 자리 인수 고르기

자릿수를 되돌려 a 구하기

올바르게 곱하기

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