AMC 10 · 2011 · #5

학년 4 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-factorizationdigit-decompositionplace-value work-backwards ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

두 양의 정수 $a$ 와 $b$ 를 곱하는 과정에서, 론은 두 자리 수 $a$ 의 자릿수를 거꾸로 뒤집었다. 그가 잘못 구한 곱은 $161$ 이었다. $a$ 와 $b$ 의 곱의 올바른 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

116

(B)

161

(C)

204

(D)

214

(E)

224

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 론은 두 자리 수 $a$와 또 다른 양의 정수 $b$를 곱하려 했지만, 곱하기 전에 $a$의 두 자리 숫자를 뒤바꿔 버렸다. 그렇게 잘못 곱한 값이 $161$이었다. 올바른 $a$를 사용해 참된 곱 $a\times b$를 구하여라.

주어진 것: $a$는 두 자리 양의 정수이고 $b$는 양의 정수이다; 론은 $a$ 대신 $a$의 자릿수를 뒤바꾼 수를 사용했다; 그가 잘못 구한 곱 (뒤바꾼 $a$)$\times b$는 $161$이다; 선택지: (A) $116$, (B) $161$, (C) $204$, (D) $214$, (E) $224$

구하는 것: 올바른 곱 $a\times b$

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #7 작은 문제로 쪼개기

잘못된 곱 $161$은 론의 실수가 끝난 지점이고, 우리는 그가 출발한 수를 찾아야 하므로 도구 #11(거꾸로 풀기)이 알맞다. $161$을 인수분해해 그가 실제로 곱한 두 수를 되찾는다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 어느 인수가 뒤바꾼 두 자리 수인지 고른다. 두 자리인 인수는 하나뿐이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 나머지를 작은 단계로 나눈다. 자릿수를 되돌려 $a$를 얻고, 올바른 곱셈을 한다.

실행 — 정답: E

#11 거꾸로 풀기 4.OA.B.4 단계 1

잘못된 곱을 인수분해하기

론의 잘못된 곱은 (뒤바꾼 $a$)$\times b = 161$이고, 이 둘은 모두 정수다.
따라서 이들은 $161$의 인수쌍을 이룬다.
$161$을 소인수로 쪼개 보자.
짝수도 아니고 $3$이나 $5$의 배수도 아니지만 $161 = 7\times 23$이다.
$7$과 $23$은 둘 다 소수이므로, $161$을 두 정수의 곱으로 쓰는 방법은 $1\times 161$과 $7\times 23$뿐이다.

$$161 = 7\times 23$$

💡 잘못된 답을 인수로 쪼개면 론이 실제로 곱한 두 수가 드러난다.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.2 단계 2

뒤바꾼 두 자리 인수 고르기

두 자리 수의 자릿수를 뒤집어도 여전히 두 자리 수이므로, 뒤바꾼 $a$는 두 자리여야 한다.
$7\times 23$에서 두 자리인 것은 $23$뿐이므로, 뒤바꾼 $a$는 $23$이고 $b$는 $7$이다.
다른 갈래 $1\times 161$은 $1$도 $161$도 두 자리 수를 뒤집은 값이 될 수 없으므로 불가능하다.

$$\text{뒤바꾼 }a = 23,\quad b = 7$$

💡 두 자리 수는 오직 두 자리 인수만 될 수 있으므로 나머지 경우는 모두 지워진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.NBT.B.2 단계 3

자릿수를 되돌려 $a$ 구하기

뒤바꾼 $a$는 $23$, 즉 $2$개의 십과 $3$개의 일이다.
론이 $a$를 뒤집어 이 값을 만들었으므로, 다시 뒤집으면 참된 $a$가 나온다.
십의 자리와 일의 자리 숫자가 서로 바뀌어 $3$개의 십과 $2$개의 일, 곧 $32$가 된다.
따라서 $a = 32$, $b = 7$이다.

$$23 \to a = 32$$

💡 뒤집은 것을 다시 뒤집으면 원래 수로 돌아온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 4

올바르게 곱하기

이제 진짜 수를 쓴다.
올바른 곱은 $a\times b = 32\times 7$이다.
계산하면 $30\times 7 = 210$, $2\times 7 = 14$이므로 $32\times 7 = 210 + 14 = 224$이다.
이는 선택지 (E)와 일치한다.
$161$ 자체는 선택지 (B)로, 잘못된 곱에서 멈춘 사람을 잡으려고 놓은 함정이다.

$$a\times b = 32\times 7 = 224 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 진짜 자릿수가 제자리로 돌아오면 올바른 곱은 그냥 곱셈일 뿐이다.

[1] #11 4.OA.B.4 론의 잘못된 곱은 (뒤바꾼 $a$)$\times b = 161$이고, 이 둘은 모두 정수다. 따라서 이들은 $161$의 인수쌍을 이룬다. $16

[2] #3 1.NBT.B.2 두 자리 수의 자릿수를 뒤집어도 여전히 두 자리 수이므로, 뒤바꾼 $a$는 두 자리여야 한다. $7\times 23$에서 두 자리인 것은 $23

[3] #7 1.NBT.B.2 뒤바꾼 $a$는 $23$, 즉 $2$개의 십과 $3$개의 일이다. 론이 $a$를 뒤집어 이 값을 만들었으므로, 다시 뒤집으면 참된 $a$가 나온

[4] #7 4.NBT.B.5 이제 진짜 수를 쓴다. 올바른 곱은 $a\times b = 32\times 7$이다. 계산하면 $30\times 7 = 210$, $2\time

검토

합리성 확인: 이야기를 양쪽으로 확인하자. 뒤바꾼 $a = 23$에 $b = 7$을 곱하면 $23\times 7 = 161$로 론의 잘못된 곱과 정확히 같으니 인수분해가 맞다. 참된 $a = 32$에 $b = 7$을 곱하면 $224$이고, 이는 $161$보다 조금 더 크다. $32 > 23$이므로 자연스러운 결과다. 답 $224$는 선택지 (E)이고, 솔깃한 $161$(선택지 B)은 잘못된 곱일 뿐 올바른 값이 아니다.

대안 접근: 소수 분해 없이, 뒤집었을 때 $161$을 나누는 두 자리 수를 훑어봐도 된다. $b = 7$($161$의 가장 작은 소인수)을 넣으면 뒤바꾼 $a = 161\div 7 = 23$이고, 이를 되돌린 $32$에 $7$을 곱하면 $224$다. 선택지를 하나씩 시험해도 된다. $224 = 32\times 7$만이 자릿수를 뒤집은 $23\times 7 = 161$을 주므로 (E)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (론이 곱한 정수를 찾기 위해 $161 = 7\times 23$으로 인수분해하고 $7$과 $23$이 소수임을 확인하는 데 사용.)
1.NBT.B.2 Understand that the two digits of a two-digit number represent tens and ones (두 자리 수는 두 자리 수로 뒤집힘을 알고, $23$의 십의 자리와 일의 자리를 맞바꿔 $a = 32$를 되찾는 데 사용.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (올바른 곱 $32\times 7 = 224$를 계산하는 데 사용.)

⭐ 잘못된 답을 인수로 쪼개고, 두 자리 인수를 원래 수로 되돌린 뒤 다시 곱하면 참된 곱이 나온다.