AMC 10 · 2011 · #7

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

angle-sum-trianglesystems-of-equationslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 삼각형에서 세 각 중 두 각의 합이 직각의

\frac{6}{5}

이고, 그 두 각 중 하나는 다른 하나보다

30^\circ

더 크다. 이 삼각형에서 가장 큰 각의 크기를 도(度) 단위로 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

102

(E)

108

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 미지의 각이 합과 차로 묶여 있는데, 이는 도구 #4(변수 도입하기)가 다루기 딱 좋은 상황이다. 작은 각에 이름을 붙이고 큰 각을 그보다 30 큰 값으로 쓰면, 문장을 하나의 방정식으로 바꿀 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 깔끔한 조각으로 나눈다. 먼저 두 각의 합, 그다음 각 각의 크기, 마지막으로 삼각형으로부터 세 번째 각을 구한다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리한다. 세 각의 크기를 비교해 진짜 가장 큰 각을 고르는데, 가장 큰 각이 주어진 두 각이 아니라 남은 세 번째 각일 수 있기 때문이다.

1STEP 1

두 각의 합 구하기

직각은 $90^\circ$ 이고 두 각의 합은 직각의 $\frac{6}{5}$ 이므로 $\frac{6}{5}\times 90 =$ $108^\circ$ 이다.

6/5 × 90^° = 108^°

2STEP 2

변수로 각에 이름 붙이기

작은 각을 $x$ , 큰 각을 $x+30$ 이라 하자. 두 각의 합이 108이므로 식 하나가 나온다: $x+(x+30)=108$ .

x + (x+30) = 108

3STEP 3

두 각의 크기 구하기

정리하면 $2x+30=108$ , 즉 $2x=78$ , $x=39$ . 두 각은 $39^\circ$ 와 $69^\circ$ 이다.

2x + 30 = 108 → 2x = 78 → x = 39, x+30 = 69

4STEP 4

세 번째 각 구하기

삼각형의 세 각의 합은 $180^\circ$ 이고 두 각이 이미 $108^\circ$ 를 쓰므로 세 번째 각은 $72^\circ$ 이다.

180 - 108 = 72^°

5STEP 5

비교해서 가장 큰 각 고르기

세 각 $39^\circ$ , $69^\circ$ , $72^\circ$ 중 가장 큰 것은 $72^\circ$ , 곧 세 번째 각이다. 선택지 (B).

max(39, 69, 72) = 72 → (B)

정답

세 각을 모두 더해 확인하자: 39 + 69 + 72 = 180으로 삼각형의 각의 합과 정확히 같으니 분배가 일관된다. 주어진 두 각 39와 69는 차가 30이고 합이 108이라 두 단서를 모두 만족한다. 가장 큰 72는 솔깃한 69(선택지 A, 주어진 큰 각)보다 크고 108(선택지 E, 두 각의 합 전체)보다 작다. 즉 함정 답은 주어진 두 각의 수치들이고, 72는 세 번째 각으로서 그 사이에 자연스럽게 놓인다.

💡핵심 정리

두 단서를 하나의 방정식으로 바꿔 두 각을 구하고, $180^\circ$ 삼각형 규칙으로 세 번째 각을 구한 뒤, 세 각을 비교해 가장 큰 각을 찾자.

두 각의 합 구하기
변수로 각에 이름 붙이기
두 각의 크기 구하기
세 번째 각 구하기
비교해서 가장 큰 각 고르기

두 각의 합 구하기

변수로 각에 이름 붙이기

두 각의 크기 구하기

세 번째 각 구하기

비교해서 가장 큰 각 고르기

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