AMC 10 · 2011 · #7

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

angle-sum-trianglesystems-of-equationslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

삼각형의 두 각의 합이 직각의 $\frac{6}{5}$ 이고, 이 두 각 중 하나는 다른 하나보다 $30^{\circ}$ 더 크다. 이 삼각형에서 가장 큰 각의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

102

(E)

108

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 삼각형에서 세 각 중 두 각의 합이 직각의 $\frac{6}{5}$이고, 그 두 각 중 하나는 다른 하나보다 $30^{\circ}$ 더 크다. 이 삼각형에서 가장 큰 각의 크기를 도(度) 단위로 구하여라.

주어진 것: 두 각의 합은 직각($90^{\circ}$)의 $\frac{6}{5}$이다; 이 두 각 중 하나는 다른 하나보다 $30^{\circ}$ 더 크다; 삼각형이므로 세 각의 합은 $180^{\circ}$이다; 선택지: (A) $69$, (B) $72$, (C) $90$, (D) $102$, (E) $108$

구하는 것: 세 각 중 가장 큰 각의 크기(도)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

두 미지의 각이 합과 차로 묶여 있는데, 이는 도구 #4(변수 도입하기)가 다루기 딱 좋은 상황이다. 작은 각에 이름을 붙이고 큰 각을 그보다 $30$ 큰 값으로 쓰면, 문장을 하나의 방정식으로 바꿀 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 깔끔한 조각으로 나눈다. 먼저 두 각의 합, 그다음 각 각의 크기, 마지막으로 삼각형으로부터 세 번째 각을 구한다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리한다. 세 각의 크기를 비교해 진짜 가장 큰 각을 고르는데, 가장 큰 각이 주어진 두 각이 아니라 남은 세 번째 각일 수 있기 때문이다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.B.4 단계 1

두 각의 합 구하기

직각은 $90^{\circ}$이고, 두 각의 합은 그것의 $\frac{6}{5}$이다.
곱하면 $\frac{6}{5}\times 90 = 6\times \frac{90}{5} = 6\times 18 = 108$이다.
따라서 주어진 두 각의 합은 $108^{\circ}$이다.

$$\frac{6}{5}\times 90^{\circ} = 108^{\circ}$$

💡 직각의 어떤 분수만큼을 구하는 것은 그 분수에 $90$을 곱하는 것일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 2

변수로 각에 이름 붙이기

두 각 중 작은 각을 $x$도라고 하자.
다른 각은 $30^{\circ}$ 더 크므로 $x+30$이다.
두 각의 합이 $108$이므로 방정식 하나가 나온다: $x + (x+30) = 108$.

$$x + (x+30) = 108$$

💡 하나의 미지수에 고정된 차이를 더하면 두 각을 글자 하나로 나타낼 수 있다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 3

두 각의 크기 구하기

동류항을 모으면 $x + x + 30 = 2x + 30 = 108$이다.
양변에서 $30$을 빼면 $2x = 78$, $2$로 나누면 $x = 39$이다.
따라서 작은 각은 $39^{\circ}$, 큰 각은 $39 + 30 = 69^{\circ}$이다.

$$2x + 30 = 108 \Rightarrow 2x = 78 \Rightarrow x = 39,\quad x+30 = 69$$

💡 합과 차를 차례로 되돌리면 $108$을 서로 다른 두 조각으로 나눌 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 4

세 번째 각 구하기

삼각형의 세 각의 합은 항상 $180^{\circ}$이다.
두 각이 이미 $108^{\circ}$를 차지하므로, 세 번째 각은 남은 값이다: $180 - 108 = 72^{\circ}$.

$$180 - 108 = 72^{\circ}$$

💡 $180^{\circ}$에서 두 각을 빼고 남은 것이 세 번째 각이다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 5

비교해서 가장 큰 각 고르기

세 각은 $39^{\circ}$, $69^{\circ}$, $72^{\circ}$이다.
비교하면 $72 > 69 > 39$이다.
가장 큰 각은 $72^{\circ}$이며, 이는 주어진 두 각이 아니라 세 번째 각이다.
이는 선택지 (B)와 일치한다.

$$\max(39,\,69,\,72) = 72 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 세 크기를 나란히 놓고 가장 큰 수를 읽으면 된다.

[1] #7 4.NF.B.4 직각은 $90^{\circ}$이고, 두 각의 합은 그것의 $\frac{6}{5}$이다. 곱하면 $\frac{6}{5}\times 90 = 6\t

[2] #4 7.EE.B.4 두 각 중 작은 각을 $x$도라고 하자. 다른 각은 $30^{\circ}$ 더 크므로 $x+30$이다. 두 각의 합이 $108$이므로 방정식 하

[3] #4 7.EE.B.4 동류항을 모으면 $x + x + 30 = 2x + 30 = 108$이다. 양변에서 $30$을 빼면 $2x = 78$, $2$로 나누면 $x =

[4] #7 8.G.A.5 삼각형의 세 각의 합은 항상 $180^{\circ}$이다. 두 각이 이미 $108^{\circ}$를 차지하므로, 세 번째 각은 남은 값이다: $

[5] #3 4.NBT.A.2 세 각은 $39^{\circ}$, $69^{\circ}$, $72^{\circ}$이다. 비교하면 $72 > 69 > 39$이다. 가장 큰 각은

검토

합리성 확인: 세 각을 모두 더해 확인하자: $39 + 69 + 72 = 180$으로 삼각형의 각의 합과 정확히 같으니 분배가 일관된다. 주어진 두 각 $39$와 $69$는 차가 $30$이고 합이 $108$이라 두 단서를 모두 만족한다. 가장 큰 $72$는 솔깃한 $69$(선택지 A, 주어진 큰 각)보다 크고 $108$(선택지 E, 두 각의 합 전체)보다 작다. 즉 함정 답은 주어진 두 각의 수치들이고, $72$는 세 번째 각으로서 그 사이에 자연스럽게 놓인다.

대안 접근: 변수를 쓰지 않고 평균을 이용해도 된다. 합이 $108$인 두 수의 평균은 $54$이고, 차가 $30$이므로 평균에서 $15$씩 위아래로 벌어져 $54-15 = 39$와 $54+15 = 69$가 된다. 그다음 세 번째 각은 $180 - 108 = 72$이고, $39,\,69,\,72$ 중 가장 큰 것은 다시 $72$로 (B)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a whole number (직각의 $\frac{6}{5}$를 $\frac{6}{5}\times 90 = 108^{\circ}$로 계산하는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (작은 각을 $x$로 놓고 $x + (x+30) = 108$을 세워 $x = 39$를 푸는 데 사용.)
8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (삼각형의 각의 합 $180^{\circ}$를 이용해 세 번째 각 $180 - 108 = 72$를 구하는 데 사용.)
4.NBT.A.2 Read and write multi-digit whole numbers and compare using symbols ($39$, $69$, $72$를 비교해 가장 큰 각을 찾는 데 사용.)

⭐ 두 단서를 하나의 방정식으로 바꿔 두 각을 구하고, $180^{\circ}$ 삼각형 규칙으로 세 번째 각을 구한 뒤, 세 각을 비교해 가장 큰 각을 찾자.