AMC 10 · 2011 · #8

학년 6 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
if-then-reasoningcontrapositivelogical-deduction logical-deduction ↑ 선수 지식: if-then-reasoning
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어느 해변의 규칙: 기온이 80°F 이상이면서 맑으면 해변은 붐빈다. 6월 10일에 해변은 붐비지 않았다. 그날 날씨에 대해 반드시 참인 문장은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
The temperature was cooler than } 80^{\circ} \text{F and it was not sunny.
(B)
The temperature was cooler than } 80^{\circ} \text{F or it was not sunny.
(C)
If the temperature was at least } 80^{\circ} \text{F, then it was sunny.
(D)
If the temperature was cooler than } 80^{\circ} \text{F, then it was sunny.
(E)
If the temperature was cooler than } 80^{\circ} \text{F, then it was not sunny.

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

규칙은 조건이 '덥고 그리고 맑음'이라는 복합 조건인 한 방향 조건문입니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 '붐비지 않았다'는 사실을 규칙이 반드시 동반하는 유일한 문장 — 대우 — 으로 바꿉니다: 붐비지 않음 → (덥고 맑음)이 아님. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심 작업을 합니다: '덥고 맑음'의 부정은 '시원하고 그리고 흐림'이 아니라 '시원하거나 또는 흐림'입니다 — AND를 부정하면 OR로 바뀝니다(드모르간). 이 '또는' 문장을 손에 쥐면 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지를 시험합니다; 올바른 부정만 살아남고 AND 함정과 역·이 함정은 떨어져 나갑니다.

1STEP 1

규칙을 기호로 쓰기

"80°F 이상"은 T ≥ 80. 규칙 [(T ≥ 80) 그리고 맑음] → 붐빔은 두 조건이 다 필요하고 한 방향으로만 갑니다.

[(T ≥ 80) 그리고 맑음] → 붐빔
2STEP 2

거꾸로: 대우 만들기

규칙을 대우로 뒤집으면: 붐비지 않음 → (덥고 맑음)이 아님. 이것이 강제되는 유일한 새 사실입니다.

¬ 붐빔 → ¬[(T ≥ 80) 그리고 맑음]
3STEP 3

AND를 부정하면 OR가 된다

AND는 한 부분만 어긋나도 깨지므로 부정은 OR: 80°F보다 시원함 또는 맑지 않음.

¬[(T ≥ 80) 그리고 맑음] = (T ＜ 80) 또는 (맑지 않음)
4STEP 4

다섯 선택지 시험하기

(A)는 AND라 너무 강하고 (C)(D)(E)는 없는 연결을 지어냅니다. OR 문장만 살아남아 (B).

(A) AND ✗, (C) ✗, (D) ✗, (E) ✗, (B) OR ✓ → (B)
정답
기온이 화씨 80도보다 낮았거나 날이 맑지 않았다.
붐비지 않은 구체적인 날들로 시험해 봅니다. 시원하고 맑은 날은 덥고 맑은 게 아니므로 붐비지 않을 수 있습니다 — '80° 보다 시원함'으로 (B)를 만족하지만, '맑지 않음'을 요구하는 (A)와 (E)는 깹니다. 덥고 흐린 날도 붐비지 않을 수 있습니다 — '맑지 않음'으로 (B)를 만족하지만 (C)를 깹니다. 시원하고 흐린 날은 (D)를 깹니다. 붐비지 않은 모든 경우에서 (B)의 적어도 한 부분은 성립하는 반면, 다른 선택지는 각각 어떤 경우에서 실패합니다. 이로써 (B)가 확인됩니다.
💡핵심 정리

"A 그리고 B" 규칙을 깨는 데는 한 부분만 어긋나면 되므로, "덥고 맑음이 아님"은 시원함 또는 흐림 — AND가 아니라 OR로 이어집니다.

  • 규칙을 기호로 쓰기
  • 거꾸로: 대우 만들기
  • AND를 부정하면 OR가 된다
  • 다섯 선택지 시험하기

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