AMC 10 · 2011 · #8

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

if-then-reasoningcontrapositivelogical-deduction logical-deduction ↑ 선수 지식: if-then-reasoning

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 해변에서 기온이 적어도 $80^{\circ} F$ 이고 날씨가 맑으면, 그 해변은 붐빌 것이다. $6$ 월 $10$ 일에 그 해변은 붐비지 않았다. $6$ 월 $10$ 일의 날씨 조건에 대해 무엇을 결론지을 수 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

The temperature was cooler than } 80^{\circ} \text{F and it was not sunny.

(B)

The temperature was cooler than } 80^{\circ} \text{F or it was not sunny.

(C)

If the temperature was at least } 80^{\circ} \text{F, then it was sunny.

(D)

If the temperature was cooler than } 80^{\circ} \text{F, then it was sunny.

(E)

If the temperature was cooler than } 80^{\circ} \text{F, then it was not sunny.

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 해변의 규칙: 기온이 $80^{\circ}\text{F}$ 이상이면서 맑으면, 해변은 붐빈다. 6월 10일에 해변은 붐비지 '않았다'. 그날 날씨에 대한 다섯 문장 중 반드시 참이어야 하는 것을 고르세요.

주어진 것: 규칙: (기온 $80^{\circ}\text{F}$ 이상) 그리고 (맑음) $\Rightarrow$ 붐빔; 6월 10일에 해변은 붐비지 않았음; 다섯 후보 결론: (A) $80^{\circ}$ 보다 시원함 그리고 맑지 않음; (B) $80^{\circ}$ 보다 시원함 또는 맑지 않음; (C) $80^{\circ}$ 이상이면 맑았음; (D) $80^{\circ}$ 보다 시원하면 맑았음; (E) $80^{\circ}$ 보다 시원하면 맑지 않았음

구하는 것: 규칙과 '붐비지 않았다'는 사실로부터 반드시 참이 되도록 강제되는 단 하나의 문장

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #3 가능성 지우기

규칙은 조건이 '덥고 그리고 맑음'이라는 복합 조건인 한 방향 조건문입니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 '붐비지 않았다'는 사실을 규칙이 반드시 동반하는 유일한 문장 — 대우 — 으로 바꿉니다: 붐비지 않음 $\Rightarrow$ (덥고 맑음)이 아님. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심 작업을 합니다: '덥고 맑음'의 부정은 '시원하고 그리고 흐림'이 아니라 '시원하거나 또는 흐림'입니다 — AND를 부정하면 OR로 바뀝니다(드모르간). 이 '또는' 문장을 손에 쥐면 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지를 시험합니다; 올바른 부정만 살아남고 AND 함정과 역·이 함정은 떨어져 나갑니다.

실행 — 정답: B

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.8 단계 1

규칙을 기호로 쓰기

기온 표현을 부등식으로 바꿉니다: "$80^{\circ}\text{F}$ 이상"은 $T \ge 80$ 을 뜻합니다.
규칙의 방아쇠는 복합 조건이라 두 부분이 동시에 필요합니다: $(T \ge 80)$ 그리고 (맑음).
그래서 규칙은 $\big[(T \ge 80)\text{ 그리고 맑음}\big] \Rightarrow \text{붐빔}$ 입니다.
이는 한 방향으로만 작동하며, 붐빔이 오직 이 방식으로만 생긴다고는 결코 말하지 않습니다.

$$\big[(T \ge 80)\ \text{그리고}\ \text{맑음}\big] \Rightarrow \text{붐빔}$$

💡 "$80$ 이상"은 $T \ge 80$ 으로 쓸 수 있는 경계이고, AND 조건은 모든 부분이 참일 때만 작동합니다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.5 단계 2

거꾸로: 대우 만들기

모든 한 방향 조건문은 반드시 함께 참이 되는 짝을 하나 지닙니다 — 화살표를 뒤집고 양쪽을 부정한 대우입니다.
우리는 해변이 붐비지 않았다는 것, 즉 부정된 결론을 알고 있습니다.
규칙을 뒤집으면: 붐비지 않음 $\Rightarrow$ (덥고 맑음)이 아님.
이것이 붐빔이 없다는 것을 알았을 때 규칙이 강제하는 유일한 새 사실입니다.

$$\neg\,\text{붐빔} \;\Rightarrow\; \neg\big[(T \ge 80)\ \text{그리고}\ \text{맑음}\big]$$

💡 어떤 조건이 항상 어떤 일을 일으킨다면, 그 일이 안 일어났다는 건 조건이 다 채워지지 않았다는 증거입니다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.B.5 단계 3

AND를 부정하면 OR가 된다

이제 '덥고 맑음이 아님'을 풀어봅니다.
두 부분짜리 AND 조건을 깨려면 한 부분만 어긋나면 되므로, 그 부정은 두 부분짜리 OR입니다: (덥지 않음) 또는 (맑지 않음).
$T \ge 80$ 의 부정은 $T < 80$, 즉 $80^{\circ}\text{F}$ 보다 시원함입니다.
그래서 '덥고 맑음이 아님'은 이렇게 읽힙니다: $80^{\circ}\text{F}$ 보다 시원함 또는 맑지 않음.
연결어는 AND가 아니라 OR여야 합니다 — 시원하면서도 맑을 수 있고, 더우면서도 흐릴 수 있으니까요.

$$\neg\big[(T \ge 80)\ \text{그리고}\ \text{맑음}\big] \;=\; (T < 80)\ \text{또는}\ (\text{맑지 않음})$$

💡 '둘 다 성립해야 하는' 규칙을 무너뜨리는 데는 한 부분만 깨지면 되므로, '둘 다는 아님'은 '둘 중 하나'로 열립니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 4

다섯 선택지 시험하기

각 문장을 강제된 사실 '$80^{\circ}$ 보다 시원함 또는 맑지 않음'과 비교합니다.
(A)는 AND를 씀 — 너무 강합니다.
시원하지만 맑은 날은 붐비지 않아도 '맑지 않음'을 어기니까요.
(C) 더우면 맑음 — 강제되지 않습니다; 덥고 흐린 날도 붐비지 않을 수 있어요.
(D) 시원하면 맑음, (E) 시원하면 맑지 않음은 규칙이 말한 적 없는 연결을 지어낸 것이라, 시원하고 맑은 날이 (E)를, 시원하고 흐린 날이 (D)를 깹니다.
오직 (B), '$80^{\circ}\text{F}$ 보다 시원함 또는 맑지 않음'만 부정과 정확히 일치하므로, 답은 (B)입니다.

$$\text{(A) AND ✗, (C) ✗, (D) ✗, (E) ✗, (B) OR ✓} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 정확한 드모르간 부정만 보장되고, AND 형태와 덧붙인 조건문 연결들은 전형적인 함정입니다.

[1] #11 6.EE.B.8 기온 표현을 부등식으로 바꿉니다: "$80^{\circ}\text{F}$ 이상"은 $T \ge 80$ 을 뜻합니다. 규칙의 방아쇠는 복합 조건이

[2] #11 6.EE.B.5 모든 한 방향 조건문은 반드시 함께 참이 되는 짝을 하나 지닙니다 — 화살표를 뒤집고 양쪽을 부정한 대우입니다. 우리는 해변이 붐비지 않았다는

[3] #16 6.EE.B.5 이제 '덥고 맑음이 아님'을 풀어봅니다. 두 부분짜리 AND 조건을 깨려면 한 부분만 어긋나면 되므로, 그 부정은 두 부분짜리 OR입니다: (덥

[4] #3 6.EE.B.5 각 문장을 강제된 사실 '$80^{\circ}$ 보다 시원함 또는 맑지 않음'과 비교합니다. (A)는 AND를 씀 — 너무 강합니다. 시원하지만

검토

합리성 확인: 붐비지 않은 구체적인 날들로 시험해 봅니다. 시원하고 맑은 날은 덥고 맑은 게 아니므로 붐비지 않을 수 있습니다 — '$80^{\circ}$ 보다 시원함'으로 (B)를 만족하지만, '맑지 않음'을 요구하는 (A)와 (E)는 깹니다. 덥고 흐린 날도 붐비지 않을 수 있습니다 — '맑지 않음'으로 (B)를 만족하지만 (C)를 깹니다. 시원하고 흐린 날은 (D)를 깹니다. 붐비지 않은 모든 경우에서 (B)의 적어도 한 부분은 성립하는 반면, 다른 선택지는 각각 어떤 경우에서 실패합니다. 이로써 (B)가 확인됩니다.

대안 접근: 형식 논리 대신 순전히 반례로 추론합니다. (A), (C), (D), (E) 각각에 대해 그 문장을 거짓으로 만들면서도 해변을 붐비지 않게 하는 구체적인 날 — 시원하고 맑은 날, 덥고 흐린 날, 또는 시원하고 흐린 날 — 을 떠올립니다. 이들 모두 그런 반례가 있습니다. 오직 (B)만 반례가 없습니다. 해변은 덥고 맑을 때만 붐빌 수 있으므로, 붐비지 않았다는 것은 '시원함' 또는 '맑지 않음' 중 적어도 하나를 강제하기 때문입니다. 반례가 없는 문장이 답입니다: (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.8 x > c 또는 x < c 형태의 부등식을 쓰고 수직선에 나타낸다 ("$80^{\circ}\text{F}$ 이상"을 $T \ge 80$ 으로, 그 부정인 "$80^{\circ}\text{F}$ 보다 시원함"을 $T < 80$ 으로 옮기는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식이나 부등식을 푸는 것을 참이 되는 값을 찾는 과정으로 이해한다 (각 조건문 선택지를 규칙에 비추어 진위 판정 — 대우를 만들고, 드모르간으로 AND 조건을 OR로 부정하고, 붐비지 않은 모든 경우에서 참으로 남는 문장을 확인하는 데 사용.)

⭐ "A 그리고 B" 규칙을 깨는 데는 한 부분만 어긋나면 되므로, "덥고 맑음이 아님"은 시원함 또는 흐림 — AND가 아니라 OR로 이어집니다.