AMC 10 · 2012 · #10

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

sequences-arithmeticoptimization extremal-constructionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

메리는 원을 12개의 부채꼴로 나눈다. 이 부채꼴들의 중심각은 도 단위로 측정했을 때 모두 정수이고, 등차수열을 이룬다. 가장 작은 부채꼴 중심각의 크기로 가능한 최솟값은 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원을 12개의 부채꼴로 나누는데, 각 중심각은 정수(도)이고 등차수열을 이룹니다. 가장 작은 부채꼴의 각이 될 수 있는 최소값을 구하세요.

주어진 것: 원 하나를 채우는 부채꼴이 12개입니다.; 12개의 중심각은 등차수열을 이룹니다(이웃한 각의 차가 일정합니다).; 모든 각은 양의 정수(도)입니다.; 12개의 각을 모두 더하면 360도입니다.

구하는 것: 가장 작은 부채꼴 각이 될 수 있는 최소값.

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

가장 작은 첫 각의 최소값을 묻고 있으므로 이것은 최소/최대 문제입니다. 첫 각과 공차에 이름을 붙이고 '각들이 원을 채운다'는 조건을 하나의 식으로 바꾼 뒤, 공차를 허용되는 최대값까지 밀어 첫 각을 최대한 작게 만듭니다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

두 미지수에 이름 붙이기

가장 작은 각을 a, 이웃한 각 사이의 일정한 차이를 d라고 합시다.
그러면 12개의 각은 a, a+d, a+2d, ..., a+11d 입니다.
a와 d는 모두 정수입니다.

$$a,\ a+d,\ a+2d,\ \dots,\ a+11d$$

💡 등차수열은 시작값과 간격만 정하면 전부 결정되므로, 두 글자로 12개의 각을 모두 나타낼 수 있습니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 2

합을 360으로 두기

부채꼴이 원 전체를 채우므로 12개의 각의 합은 360입니다.
항을 더하면 12a에 (0+1+2+...+11)d를 더한 것이 되고, 0+1+...+11 = 66 입니다.
따라서 12a + 66d = 360.
각 항을 6으로 나누면 더 간단한 식 2a + 11d = 60 이 됩니다.

$$12a + 66d = 360 \ \Rightarrow\ 2a + 11d = 60$$

💡 같은 종류의 항을 모으면 흩어진 12개의 각이 시작값과 간격 사이의 식 하나로 정리됩니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.5 단계 3

시작값을 정수로 만들기

a에 대해 풀면 2a = 60 - 11d, 즉 a = (60 - 11d)/2 입니다.
a가 정수가 되려면 60 - 11d가 짝수여야 합니다.
60은 짝수이므로 11d가 짝수여야 하고, 11은 홀수이므로 이는 d가 짝수일 때만 성립합니다.

a = \dfrac{60 - 11d}{2}\quad\Rightarrow\quad d\ \text{는 짝수}

💡 홀수에 d를 곱한 값이 짝수가 되는 것은 d가 짝수일 때뿐이므로, d의 홀짝이 a의 정수 여부를 결정합니다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.5 단계 4

간격을 극단까지 밀기

a를 최대한 작게 하려면 d를 최대한 크게 해야 합니다.
그런데 a는 양수여야 하므로 60 - 11d > 0, 즉 d는 약 5.45보다 작아 최대 5입니다.
이 중 허용되는 가장 큰 짝수는 d = 4 입니다.

60 - 11d > 0 \ \Rightarrow\ d \le 5,\quad d\ \text{짝수}\ \Rightarrow\ d = 4

💡 정해진 합을 12개의 각이 나눠 가지므로, 간격이 클수록 첫 각이 낮아지고 허용되는 가장 큰 간격이 가장 작은 첫 각을 줍니다.

#14 극단의 원리 4.MD.C.7 단계 5

계산하고 확인하기

d = 4일 때 a = (60 - 44)/2 = 8 입니다.
각들은 8, 12, 16, ..., 52로 이어지고, 그 합은 12 x (8 + 52)/2 = 360이 되어 실제로 올바른 원을 이룹니다.
따라서 가장 작은 부채꼴 각의 최소값은 8도이며, 답은 (C)입니다.

$$a = \dfrac{60 - 44}{2} = 8,\quad 8+12+\dots+52 = 360$$

💡 극단의 간격을 다시 넣어 각들의 합이 여전히 완전한 원(360도)이 됨을 확인하면 그 최소값이 실제로 도달 가능함이 증명됩니다.

[1] #4 6.EE.B.6 가장 작은 각을 a, 이웃한 각 사이의 일정한 차이를 d라고 합시다. 그러면 12개의 각은 a, a+d, a+2d, ..., a+11d 입니다.

[2] #13 7.EE.A.1 부채꼴이 원 전체를 채우므로 12개의 각의 합은 360입니다. 항을 더하면 12a에 (0+1+2+...+11)d를 더한 것이 되고, 0+1+..

[3] #4 6.EE.B.5 a에 대해 풀면 2a = 60 - 11d, 즉 a = (60 - 11d)/2 입니다. a가 정수가 되려면 60 - 11d가 짝수여야 합니다. 6

[4] #14 6.EE.B.5 a를 최대한 작게 하려면 d를 최대한 크게 해야 합니다. 그런데 a는 양수여야 하므로 60 - 11d > 0, 즉 d는 약 5.45보다 작아 최

[5] #14 4.MD.C.7 d = 4일 때 a = (60 - 44)/2 = 8 입니다. 각들은 8, 12, 16, ..., 52로 이어지고, 그 합은 12 x (8 + 5

검토

합리성 확인: 각 8, 12, 16, ..., 52는 모두 양의 정수이고 간격이 일정하며 합이 정확히 360이므로 올바른 배치입니다. 다음 짝수 간격인 d = 6을 시도하면 한 항이 66도나 늘어나 이미 a > 0을 깨뜨리므로 8보다 작아질 수 없고, 답 (C)가 유지됩니다.

대안 접근: 가장 작은 항 대신 평균을 기준으로 볼 수도 있습니다. 12개의 각의 평균은 360/12 = 30이고, 12개 항에서 평균은 6번째와 7번째 항 사이에 있으므로 6번째 항은 30 - d/2, 가장 작은 항은 30 - 11d/2 입니다. 양수 조건에서 짝수 d를 최대로 하면 다시 d = 4, 최소값 30 - 22 = 8이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 식 세우기 (가장 작은 각 a와 공차 d에 이름을 붙이고, 그것으로 12개의 각을 모두 표현하기.)
7.EE.A.1 연산의 성질을 적용해 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개하기 (12개 항을 더해 12a + 66d를 만들고 식을 2a + 11d = 60으로 정리하기.)
6.EE.B.5 방정식을 참이 되게 하는 값을 찾는 과정으로 이해하기 (a에 대해 풀고, a가 정수가 되도록 강제하며, a를 최소로 만드는 d를 탐색하기.)
4.MD.C.7 각의 크기가 덧셈으로 결합됨을 이해하고 덧셈 문제 풀기 (부채꼴 각들이 원 전체 360도를 이룬다는 사실을 사용하고, 최종 각들의 합이 360임을 확인하기.)

⭐ 정해진 전체 합을 일정한 간격으로 나눌 때, 간격을 허용되는 만큼 크게 하면 가장 작은 조각이 가장 작아집니다.