AMC 10 · 2012 · #10

학년 7 algebra

sequences-arithmeticoptimization extremal-constructionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원을 12개의 부채꼴로 나누는데, 각 중심각은 정수(도)이고 등차수열을 이룹니다. 가장 작은 부채꼴의 각이 될 수 있는 최소값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

가장 작은 첫 각의 최소값을 묻고 있으므로 이것은 최소/최대 문제입니다. 첫 각과 공차에 이름을 붙이고 '각들이 원을 채운다'는 조건을 하나의 식으로 바꾼 뒤, 공차를 허용되는 최대값까지 밀어 첫 각을 최대한 작게 만듭니다.

1STEP 1

가장 작은 각을 a, 이웃한 각의 일정한 차이를 d라 하면 12개의 각은 a, a+d, ..., a+11d 입니다.

a, a+d, a+2d, …, a+11d

2STEP 2

12개의 각이 원 전체를 채우므로 12a + 66d = 360, 정리하면 2a + 11d = 60 입니다.

12a + 66d = 360 → 2a + 11d = 60

3STEP 3

a에 대해 풀면 a = (60 - 11d)/2이고, 60은 짝수이고 11은 홀수이므로 d가 짝수일 때만 a가 정수입니다.

a = (60 - 11d)/2 → d 는 짝수

4STEP 4

d가 클수록 a는 작아지지만 a는 양수여야 하므로 d는 최대 5, 그중 가장 큰 짝수는 d = 4입니다.

60 - 11d ＞ 0 → d ≤ 5, d 짝수 → d = 4

5STEP 5

d = 4이면 a = (60 - 44)/2 = 8도이고, 8, 12, ..., 52의 합이 360이므로 답은 (C).

a = (60 - 44)/2 = 8, 8+12+…+52 = 360

정답

각 8, 12, 16, ..., 52는 모두 양의 정수이고 간격이 일정하며 합이 정확히 360이므로 올바른 배치입니다. 다음 짝수 간격인 d = 6을 시도하면 한 항이 66도나 늘어나 이미 a ＞ 0을 깨뜨리므로 8보다 작아질 수 없고, 답 (C)가 유지됩니다.

💡핵심 정리

정해진 전체 합을 일정한 간격으로 나눌 때, 간격을 허용되는 만큼 크게 하면 가장 작은 조각이 가장 작아집니다.