AMC 10 · 2012 · #12

학년 4 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Calendar Day Lookup

modular-arithmeticpattern-recognition work-backwardscasework ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 해가 윤년이라는 것은, 그 해의 연도가 400으로 나누어떨어지거나(예: 2000년), 또는 4로는 나누어떨어지지만 100으로는 나누어떨어지지 않는 경우(예: 2012년)이며, 오직 그러한 경우에 한한다. 소설가 찰스 디킨스 탄생 200주년이 화요일이었던 2012년 2월 7일에 기념되었다. 디킨스가 태어난 날은 무슨 요일인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Friday

(B)

Saturday

(C)

Sunday

(D)

Monday

(E)

Tuesday

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 2012년 2월 7일(화요일)은 소설가 찰스 디킨스가 태어난 지 200주년이 되는 날이다. 윤년 규칙(400으로 나누어떨어지거나, 4로는 나누어떨어지지만 100으로는 나누어떨어지지 않으면 윤년)을 이용해 디킨스가 태어난 요일을 구하라.

주어진 것: 2012년 2월 7일은 화요일이었다.; 이 날짜는 정확히 탄생 200주년이 되는 날이다.; 윤년 규칙: 400의 배수이거나, 4의 배수이면서 100의 배수는 아닌 해.; 평년은 365일, 윤년은 366일이다.

구하는 것: 찰스 디킨스가 태어난 요일.

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

끝 상태(2012년 2월 7일 화요일)가 주어졌고 200년 전의 시작 상태를 찾아야 하므로 거꾸로 풀기가 정확히 들어맞는다. 핵심 원리는 같은 날짜가 해마다 요일을 얼마나 밀어내는지에 대한 주간 패턴이며, 그 200년 중 윤년이 몇 번인지 세는 것은 깔끔한 작은 문제이다. 게다가 답은 다섯 요일 중 하나이다.

실행 — 정답: A

#11 거꾸로 풀기 4.OA.A.3 단계 1

태어난 해 확정하기

기념일은 사건이 일어난 후 지난 온전한 햇수를 센다.
200주년이 2012년 2월 7일이므로, 탄생은 같은 월·일로 200년 전인 1812년 2월 7일에 일어났다.

$$2012 - 200 = 1812$$

💡 200번의 기념일을 거슬러 올라간다는 것은 2월 7일은 그대로 둔 채 연도에서 200을 빼는 것이다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 2

날짜가 해마다 요일을 미는 방식

한 주는 7일이다.
평년은 365일이고 365 = 52 x 7 + 1이므로, 같은 날짜가 이듬해에는 요일이 1칸 뒤로 밀린다.
윤년은 366일이고 366 = 52 x 7 + 2이므로, 윤년은 날짜를 요일 2칸 뒤로 민다.
온전한 주를 넘어선 나머지 날수만이 요일을 움직인다.

$$365 = 52 \times 7 + 1, \qquad 366 = 52 \times 7 + 2$$

💡 온전한 주는 같은 요일로 되돌아오므로, 7로 나눈 나머지만 요일을 옮긴다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

지나온 윤년 세기

1812년 2월 7일에서 2012년 2월 7일까지 앞으로 나아가면 1812년부터 2011년까지의 해를 지난다.
4의 배수인 해를 세면 1812년부터 2008년까지 (2008 - 1812) / 4 + 1 = 50개이다.
이제 규칙을 적용한다.
1900년은 100의 배수이지만 400의 배수가 아니므로 윤년이 아니어서 빼야 하고, 2000년은 400의 배수이므로 남는다.
그러면 윤년은 49개, 평년은 200 - 49 = 151개가 된다.

\frac{2008 - 1812}{4} + 1 = 50, \qquad 50 - 1 = 49 \text{ (윤년)}, \qquad 200 - 49 = 151 \text{ (평년)}

💡 윤일만이 추가로 요일을 밀며, 100의 배수 규칙이 조용히 1900년을 제거한다.

#11 거꾸로 풀기 4.OA.A.3 단계 4

이동량을 더하고 거꾸로 세기

평년은 요일을 1칸, 윤년은 2칸 밀므로 200년 동안의 총 앞쪽 이동량은 151 x 1 + 49 x 2 = 249칸이다.
249 = 7 x 35 + 4이므로 7로 나눈 나머지는 4이고, 따라서 2012년 2월 7일은 1812년 2월 7일보다 요일이 4칸 뒤에 있다.
이를 되돌리려면 화요일에서 4일 거꾸로 센다: 화요일, 월요일, 일요일, 토요일, 금요일.
디킨스는 금요일에 태어났으며, 답은 (A)이다.

151 \times 1 + 49 \times 2 = 249, \qquad 249 = 7 \times 35 + 4, \qquad \text{화요일} - 4 = \text{금요일}

💡 생일은 2012년의 화요일보다 요일이 4칸 앞이므로, 4일을 거꾸로 세면 그 날에 도달한다.

[1] #11 4.OA.A.3 기념일은 사건이 일어난 후 지난 온전한 햇수를 센다. 200주년이 2012년 2월 7일이므로, 탄생은 같은 월·일로 200년 전인 1812년 2

[2] #5 4.NBT.B.6 한 주는 7일이다. 평년은 365일이고 365 = 52 x 7 + 1이므로, 같은 날짜가 이듬해에는 요일이 1칸 뒤로 밀린다. 윤년은 366일이

[3] #7 4.OA.B.4 1812년 2월 7일에서 2012년 2월 7일까지 앞으로 나아가면 1812년부터 2011년까지의 해를 지난다. 4의 배수인 해를 세면 1812년

[4] #11 4.OA.A.3 평년은 요일을 1칸, 윤년은 2칸 밀므로 200년 동안의 총 앞쪽 이동량은 151 x 1 + 49 x 2 = 249칸이다. 249 = 7 x 3

검토

합리성 확인: 총 이동량 249는 250에 가깝고, 250 = 7 x 35 + 5라면 5가 나오지만, 정확히 세면 나머지가 4이고 이는 화요일에서 4칸 뺀 금요일과 일치한다. 빠른 점검: 200년은 매년 약 28주가 조금 넘게 순환하며, 남는 4일은 작고 그럴듯하다. 금요일은 보기 중 하나이므로 답이 일관된다.

대안 접근: 평년과 윤년을 따로 세는 대신, 모든 해가 요일을 최소 1칸 밀므로 기본 이동량이 200이고, 49번의 윤년이 각각 1칸씩 더한다는 점을 이용하면 200 + 49 = 249가 된다. 더 적은 계산으로 같은 나머지 4에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (태어난 해를 찾고 요일을 알맞은 칸수만큼 거꾸로 세는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (날수를 7로 나누어 날짜가 요일을 몇 칸 미는지 구하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (4의 배수를 세고 배수 기반의 윤년 규칙을 적용하는 데 사용.)

⭐ 먼 과거의 요일을 찾으려면, 날짜가 해마다 며칠씩 밀리는지 세고, 7로 나눈 나머지만 남긴 뒤, 그만큼 요일을 거꾸로 세면 된다.