AMC 10 · 2012 · #12
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
끝 상태(2012년 2월 7일 화요일)가 주어졌고 200년 전의 시작 상태를 찾아야 하므로 거꾸로 풀기가 정확히 들어맞는다. 핵심 원리는 같은 날짜가 해마다 요일을 얼마나 밀어내는지에 대한 주간 패턴이며, 그 200년 중 윤년이 몇 번인지 세는 것은 깔끔한 작은 문제이다. 게다가 답은 다섯 요일 중 하나이다.
태어난 해 확정하기
기념일은 지난 온전한 햇수를 세므로, 탄생일은 같은 월·일로 200년 전인 1812년 2월 7일이다.
200번의 기념일을 거슬러 올라간다는 것은 2월 7일은 그대로 둔 채 연도에서 200을 빼는 것이다.
4.OA.A.3Work Backwards날짜가 해마다 요일을 미는 방식
365 = 52 x 7 + 1, 366 = 52 x 7 + 2이므로 평년은 같은 날짜를 1칸, 윤년은 2칸 뒤로 민다.
온전한 주는 같은 요일로 되돌아오므로, 7로 나눈 나머지만 요일을 옮긴다.
온전한 주는 같은 요일로 돌아오게 하므로, 요일을 옮기는 것은 나눈 나머지뿐이다.
▸ 왜?
7일이 지나면 모든 것이 처음 자리로 돌아오므로, 온전한 주는 자취를 남기지 않는다.
▸ 왜?
그 온전한 주를 덜어 낸 뒤에 남는 것이 바로 나머지다.
지나온 윤년 세기
1812~2011년 중 4의 배수는 50개, 1900년을 빼면 윤년 49개와 평년 151개가 남는다.
윤일만이 추가로 요일을 밀며, 100의 배수 규칙이 조용히 1900년을 제거한다.
4.OA.B.4Identify Subproblems이동량을 더하고 거꾸로 세기
총 이동량은 151 x 1 + 49 x 2 = 249, 249 = 7 x 35 + 4이므로 화요일에서 4칸 거꾸로 가면 금요일이다.
생일은 2012년의 화요일보다 요일이 4칸 앞이므로, 4일을 거꾸로 세면 그 날에 도달한다.
4.OA.A.3Work Backwards먼 과거의 요일을 찾으려면, 날짜가 해마다 며칠씩 밀리는지 세고, 7로 나눈 나머지만 남긴 뒤, 그만큼 요일을 거꾸로 세면 된다.
- 태어난 해 확정하기
- 날짜가 해마다 요일을 미는 방식
- 지나온 윤년 세기
- 이동량을 더하고 거꾸로 세기