AMC 10 · 2012 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryarea-trianglessystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

세 개의 단위 정사각형과 두 쌍의 꼭짓점을 잇는 두 선분이 그림에 나타나 있다. $\triangle ABC$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac16$

(B)

$\frac15$

(C)

$\frac29$

(D)

$\frac13$

(E)

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 단위 정사각형 세 개를 쌓아 L자 모양을 만들었다. 그 위에 선분 두 개를 그었는데, 하나는 왼쪽 위 꼭짓점 $A$에서 가장 먼 오른쪽 아래 꼭짓점까지, 다른 하나는 위쪽 가운데 점 $B$에서 왼쪽 아래 꼭짓점까지 이어진다. 이 두 선분은 점 $C$에서 만난다. $\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 정사각형은 모두 단위 정사각형이므로 각 변의 길이는 $1$이다; $A$는 왼쪽 위 꼭짓점이고 $B$는 위쪽 변에서 $A$의 오른쪽으로 한 칸 떨어진 점이다; 한 선분은 $A$에서 오른쪽으로 $2$, 아래로 $1$인 꼭짓점까지 이어진다; 다른 선분은 $B$에서 왼쪽으로 $1$, 아래로 $2$인 꼭짓점까지 이어진다; $C$는 두 선분이 만나는 점이다

구하는 것: $\triangle ABC$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #1(그림 그리기): 그림이 격자이므로 좌표계를 얹어 모든 꼭짓점을 점으로 읽는다. 도구 #4(변수 도입하기): 좌표가 생기면 각 선분은 직선의 방정식 $y=mx+b$가 되고, 만나는 점 $C$의 좌표를 미지수로 두어 찾는다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 먼저 $C$를 찾고, 그다음 $AB$를 밑변으로 삼아 넓이를 구하는 두 단계로 나눈다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.NS.C.6 단계 1

그림을 격자 위에 놓기

$A$를 원점에 두고 단위 정사각형 한 칸을 격자 한 칸으로 잡는다.
오른쪽을 $+x$, 아래를 $-y$로 두면 $A=(0,0)$, $B=(1,0)$이다.
첫 번째 선분은 $A$에서 오른쪽 $2$, 아래 $1$인 점 $(2,-1)$로 간다.
두 번째 선분은 $B$에서 $A$의 왼쪽 $0$, 아래 $2$인 점 $(0,-2)$로 간다.

$$A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad (2,-1),\quad (0,-2)$$

💡 단위 정사각형 격자는 이미 좌표평면이므로 모든 꼭짓점이 정수 좌표를 가진다.

#4 변수 도입하기 8.EE.B.6 단계 2

각 선분을 직선으로 쓰기

$A=(0,0)$에서 $(2,-1)$로 가는 선분의 기울기는 $\frac{-1-0}{2-0}=-\frac12$이고 원점을 지나므로 직선은 $y=-\frac12x$이다.
$B=(1,0)$에서 $(0,-2)$로 가는 선분의 기울기는 $\frac{-2-0}{0-1}=2$이고 점 $B$를 이용하면 $y-0=2(x-1)$, 즉 $y=2x-2$이다.

$$y=-\tfrac12x \qquad\text{그리고}\qquad y=2x-2$$

💡 두 점이 기울기를 정하고, 기울기와 한 점이 직선의 방정식을 완성한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.8 단계 3

두 선분이 만나는 곳 찾기

$C$에서는 두 방정식이 모두 성립하므로 두 우변을 같게 놓는다: $-\frac12x=2x-2$.
분수를 없애려고 양변에 $2$를 곱하면 $-x=4x-4$이다.
그러면 $4=5x$이므로 $x=\frac45$이고, 다시 대입하면 $y=-\frac12\cdot\frac45=-\frac25$이다.
따라서 $C=\left(\frac45,-\frac25\right)$이다.

$$-\tfrac12x=2x-2 \;\Rightarrow\; x=\tfrac45,\; y=-\tfrac25 \;\Rightarrow\; C=\left(\tfrac45,-\tfrac25\right)$$

💡 두 직선 위에 동시에 있는 단 하나의 점이 바로 두 방정식을 함께 만족하는 $(x,y)$이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

꼭짓점 위치를 넓이로 바꾸기

$AB$를 밑변으로 삼는다.
$A=(0,0)$과 $B=(1,0)$은 모두 직선 $y=0$ 위에 있으므로 밑변의 길이는 $1$이고 밑변은 수평이다.
그러면 높이는 $C$에서 그 직선까지의 위아래 거리인 $\left|-\frac25\right|=\frac25$이다.
삼각형의 넓이는 $\frac12\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}=\frac12\cdot1\cdot\frac25=\frac15$이다.
따라서 $\triangle ABC$의 넓이는 $\frac15$이고, 이는 선택지 $\textbf{(B)}$이다.

$$\text{넓이}=\tfrac12\cdot 1\cdot\tfrac25=\tfrac15 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 밑변이 수평선 위에 있으면 높이는 나머지 한 점이 그 선에서 위나 아래로 떨어진 거리일 뿐이다.

[1] #1 6.NS.C.6 $A$를 원점에 두고 단위 정사각형 한 칸을 격자 한 칸으로 잡는다. 오른쪽을 $+x$, 아래를 $-y$로 두면 $A=(0,0)$, $B=(1,

[2] #4 8.EE.B.6 $A=(0,0)$에서 $(2,-1)$로 가는 선분의 기울기는 $\frac{-1-0}{2-0}=-\frac12$이고 원점을 지나므로 직선은 $y=

[3] #7 8.EE.C.8 $C$에서는 두 방정식이 모두 성립하므로 두 우변을 같게 놓는다: $-\frac12x=2x-2$. 분수를 없애려고 양변에 $2$를 곱하면 $-x

[4] #7 6.G.A.1 $AB$를 밑변으로 삼는다. $A=(0,0)$과 $B=(1,0)$은 모두 직선 $y=0$ 위에 있으므로 밑변의 길이는 $1$이고 밑변은 수평이다

검토

합리성 확인: L자 모양 전체 넓이는 $3$인데 $\triangle ABC$는 위쪽에 낀 얇은 조각이므로 넓이가 $1$보다 훨씬 작으리라 예상된다 — $\frac15$이 여기에 들어맞는다. $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=\left(\frac45,-\frac25\right)$로 신발끈 공식을 빠르게 확인하면 $\frac12\left|0(0-(-\tfrac25))+1((-\tfrac25)-0)+\tfrac45(0-0)\right|=\frac12\cdot\frac25=\frac15$로 일치한다.

대안 접근: 두 선분이 수직임을 알아채자: 기울기 $-\frac12$과 $2$의 곱이 $-1$이다. 따라서 $\triangle ABC$는 $C$에서 직각이고 넓이는 $\frac12\cdot AC\cdot BC$이다. $AC=\sqrt{(\tfrac45)^2+(\tfrac25)^2}=\frac{2}{\sqrt5}$, $BC=\sqrt{(\tfrac15)^2+(\tfrac25)^2}=\frac{1}{\sqrt5}$이므로 넓이는 $\frac12\cdot\frac{2}{\sqrt5}\cdot\frac{1}{\sqrt5}=\frac15$로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.6 Understand a rational number as a point on the number line (그림에 좌표 격자를 얹어 각 꼭짓점을 점으로 읽는 데 사용.)
8.EE.B.6 Use similar triangles to explain why the slope is the same between any two points (그은 두 선분 각각의 기울기와 $y=mx+b$ 방정식을 구하는 데 사용.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (두 직선의 방정식을 함께 풀어 만나는 점 $C$를 찾는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (밑변 $AB$와 $C$까지의 높이로 삼각형 넓이를 구하는 데 사용.)

⭐ 그림을 격자 위에 얹고, 비스듬한 선분 각각을 직선의 방정식으로 바꾼 뒤, 두 직선을 함께 풀어 만나는 곳을 찾고, 수평인 변 $AB$를 밑변으로 삼으면 넓이는 $\frac15$, 선택지 $\textbf{(B)}$가 된다.