AMC 10 · 2012 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryarea-trianglessystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

단위 정사각형 세 개를 L자 모양으로 붙였다. 위쪽에 두 개를 나란히 놓고, 그 왼쪽 정사각형 바로 아래에 한 개를 놓은 모양이다. A는 도형의 왼쪽 위 꼭짓점이고, B는 위쪽 변을 따라 오른쪽으로 한 칸 떨어진 꼭짓점이다. 한 선분은 A에서 위쪽 줄의 오른쪽 아래 꼭짓점까지 긋는다. 다른 선분은 B에서 도형 전체의 왼쪽 아래 꼭짓점까지 긋는다. 두 선분은 점 C에서 만난다. △ ABC의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac16$

(B)

$\frac15$

(C)

$\frac29$

(D)

$\frac13$

(E)

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #1(그림 그리기): 그림이 격자이므로 좌표계를 얹어 모든 꼭짓점을 점으로 읽는다. 도구 #4(변수 도입하기): 좌표가 생기면 각 선분은 직선의 방정식 y=mx+b가 되고, 만나는 점 C의 좌표를 미지수로 두어 찾는다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 먼저 C를 찾고, 그다음 AB를 밑변으로 삼아 넓이를 구하는 두 단계로 나눈다.

1STEP 1

그림을 격자 위에 놓기

A를 원점에 두고 오른쪽을 +x, 아래를 -y로 잡으면 A=(0,0), B=(1,0)이고 두 끝점은 (2,-1), (0,-2)이다.

A=(0,0), B=(1,0), (2,-1), (0,-2)

2STEP 2

각 선분을 직선으로 쓰기

A에서 (2,-1)로는 기울기가 -1/2이고 원점을 지나 y=-1/2x, B에서 (0,-2)로는 기울기가 2라 y=2x-2이다.

y=-1/2x 그리고 y=2x-2

3STEP 3

두 선분이 만나는 곳 찾기

-1/2x=2x-2를 놓고 양변에 2를 곱하면 -x=4x-4, 즉 x=4/5, y=-2/5이므로 C=(4/5,-2/5)이다.

-1/2x=2x-2 → x=4/5, y=-2/5 → C=(4/5,-2/5)

4STEP 4

꼭짓점 위치를 넓이로 바꾸기

밑변 AB는 y=0 위에 수평으로 놓이고 길이가 1, 높이는 |-2/5|=2/5이므로 넓이는 1/2·1·2/5=1/5, 보기 (B)이다.

넓이=1/2 · 1·2/5=1/5 → (B)

정답

1/5

L자 모양 전체 넓이는 3인데 △ ABC는 위쪽에 낀 얇은 조각이므로 넓이가 1보다 훨씬 작으리라 예상된다 — 1/5이 여기에 들어맞는다. A=(0,0), B=(1,0), C=(4/5,-2/5)로 신발끈 공식을 빠르게 확인하면 1/2|0(0-(-2/5))+1((-2/5)-0)+4/5(0-0)|=1/2·2/5=1/5로 일치한다.

💡핵심 정리

그림을 격자 위에 얹고, 비스듬한 선분 각각을 직선의 방정식으로 바꾼 뒤, 두 직선을 함께 풀어 만나는 곳을 찾고, 수평인 변 AB를 밑변으로 삼으면 넓이는 1/5, 선택지 (B)가 된다.

그림을 격자 위에 놓기
각 선분을 직선으로 쓰기
두 선분이 만나는 곳 찾기
꼭짓점 위치를 넓이로 바꾸기

그림을 격자 위에 놓기

각 선분을 직선으로 쓰기

두 선분이 만나는 곳 찾기

꼭짓점 위치를 넓이로 바꾸기

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