AMC 10 · 2012 · #17

학년 7 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

difference-of-cubesgcddivisibility-rules convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

a와 b는 서로소인 양의 정수이고 a가 b보다 크다. 이때

\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \frac{73}{3}

이 성립한다. a - b의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

답은 다섯 개의 정수 중 하나이므로, 가장 빠른 길은 지저분한 분수를 a - b에 대한 깔끔한 나누어떨어짐 조건으로 바꾼 뒤 그 조건에 맞지 않는 보기를 모두 지우는 것이다. 세제곱의 차를 인수분해하면 비가 줄어들고, 짧은 대수 과정을 거치면 9ab = 70(a - b)²가 된다. 이 한 식이 a - b가 3의 배수여야 함을 알려 주고, 그 조건을 만족하는 보기는 하나뿐이다.

1STEP 1

세제곱의 차를 인수분해하기

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 로 인수분해해 $(a-b)$ 하나를 약분하면 $\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}$ 만 남는다.

(a³-b³)/((a-b)³)=(a-b)(a²+ab+b²)/((a-b)³)=(a²+ab+b²)/((a-b)²)

2STEP 2

정수 부분 떼어내기

$a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab$ 이므로 분수는 $1+\frac{3ab}{(a-b)^2}=\frac{73}{3}$ 로 갈라진다.

a²+ab+b²=(a-b)²+3ab → 1+3ab/((a-b)²)=73/3

3STEP 3

분수 없애기

양변에서 1을 빼면 $\frac{3ab}{(a-b)^2}=\frac{70}{3}$ 이고, 교차 곱셈으로 $9ab=70(a-b)^2$ 가 된다.

3ab/((a-b)²)=70/3 → 9ab=70(a-b)²

4STEP 4

a - b가 3의 배수임을 강제하기

왼쪽은 9로 나누어떨어지고 $\gcd(70,9)=1$ 이므로 9가 $(a-b)^2$ 를, 곧 3이 $a-b$ 를 나눈다.

9 ∣ 70(a-b)², gcd(70,9)=1 → 9 ∣ (a-b)² → 3 ∣ (a-b)

5STEP 5

지우고 남은 것 확인하기

보기 중 3의 배수는 3뿐이고 실제로 $ab=70$ , 즉 $a=10$ , $b=7$ 이 $\frac{657}{27}=\frac{73}{3}$ 을 준다.

a-b=3: 9ab=70 · 9→ ab=70, a=10, b=7, gcd(10,7)=1

정답

a = 10, b = 7을 다시 넣어 보면 a³ - b³ = 1000 - 343 = 657이고 (a - b)³ = 27이므로 비는 657/27 = 73/3으로 요구와 정확히 일치한다. 또한 a = 10, b = 7은 서로소이고 a ＞ b ＞ 0이므로 모든 조건이 성립하여 a - b = 3이 확인된다.

💡핵심 정리

세제곱의 차를 인수분해하고 분수를 하나의 식으로 졸여낸 뒤, 나누어떨어짐 규칙으로 딱 맞는 답 하나만 남기고 모두 지우세요.

세제곱의 차를 인수분해하기
정수 부분 떼어내기
분수 없애기
a - b가 3의 배수임을 강제하기
지우고 남은 것 확인하기

세제곱의 차를 인수분해하기

정수 부분 떼어내기

분수 없애기

a - b가 3의 배수임을 강제하기

지우고 남은 것 확인하기

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