AMC 10 · 2012 · #17

학년 7 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

difference-of-cubesgcddivisibility-rules convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$a$ 와 $b$ 가 $a>b>0$ 이고 $\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \dfrac{73}{3}$ 을 만족하는 서로소인 양의 정수라고 하자. $a-b$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 a와 b는 1보다 큰 공약수를 갖지 않으며 a가 b보다 크다. (a의 세제곱 빼기 b의 세제곱)을 (a 빼기 b)의 세제곱으로 나눈 값이 73/3이다. a 빼기 b의 값을 구하여라.

주어진 것: a와 b는 a > b > 0인 양의 정수이다.; a와 b는 서로소이다 (최대공약수가 1이다).; (a^3 - b^3) / (a - b)^3 = 73/3.

구하는 것: 차 a - b의 값이며, 1, 2, 3, 4, 5 중 하나이다.

이해

주어진 것: a와 b는 a > b > 0인 양의 정수이다.; a와 b는 서로소이다 (최대공약수가 1이다).; (a^3 - b^3) / (a - b)^3 = 73/3.

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기

답은 다섯 개의 정수 중 하나이므로, 가장 빠른 길은 지저분한 분수를 a - b에 대한 깔끔한 나누어떨어짐 조건으로 바꾼 뒤 그 조건에 맞지 않는 보기를 모두 지우는 것이다. 세제곱의 차를 인수분해하면 비가 줄어들고, 짧은 대수 과정을 거치면 9ab = 70(a - b)^2가 된다. 이 한 식이 a - b가 3의 배수여야 함을 알려 주고, 그 조건을 만족하는 보기는 하나뿐이다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 1

세제곱의 차를 인수분해하기

분자는 세제곱의 차이다: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).
분모는 (a - b)^3이다.
분자와 분모에서 (a - b)를 하나씩 약분한다.
그러면 전체 분수는 (a^2 + ab + b^2)를 (a - b)^2로 나눈 것이 된다.

$$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)^3}=\dfrac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}$$

💡 분자를 인수분해하면 공통인 (a - b)가 드러나 약분되고, 세제곱 분수가 제곱 분수로 줄어든다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 2

정수 부분 떼어내기

분자를 a^2 + ab + b^2 = (a - b)^2 + 3ab로 다시 쓴다.
(a - b)^2로 나누면 분수는 1 더하기 3ab를 (a - b)^2로 나눈 것으로 갈라진다.
이를 73/3과 같다고 놓는다.

$$a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab\ \Rightarrow\ 1+\dfrac{3ab}{(a-b)^2}=\dfrac{73}{3}$$

💡 이미 들어 있는 1을 떼어내면 확정해야 할 깔끔한 분수 하나만 남는다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

분수 없애기

양변에서 1을 뺀다: 73/3 빼기 1은 70/3이므로 3ab를 (a - b)^2로 나눈 것이 70/3과 같다.
교차 곱셈으로 모든 분수를 없앤다.
왼쪽의 3이 오른쪽의 3과 약분되어 9ab = 70(a - b)^2가 남는다.

$$\dfrac{3ab}{(a-b)^2}=\dfrac{70}{3}\ \Rightarrow\ 9ab=70(a-b)^2$$

💡 분수를 없애면 비의 조건이 깔끔한 정수 등식 하나로 바뀐다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 4

a - b가 3의 배수임을 강제하기

왼쪽 9ab는 9로 나누어떨어진다.
따라서 오른쪽 70(a - b)^2도 9로 나누어떨어져야 한다.
그런데 70은 9와 공약수가 없으므로, 그 나누어떨어짐은 모두 (a - b)^2에서 나와야 한다.
9가 (a - b)^2를 나누면 3은 (a - b)를 나눈다.
그러므로 a - b는 3의 배수이다.

$$9\mid 70(a-b)^2,\ \gcd(70,9)=1\ \Rightarrow\ 9\mid (a-b)^2\ \Rightarrow\ 3\mid (a-b)$$

💡 한쪽의 9라는 인수는 다른 쪽에서도 맞춰져야 하는데, 70이 그것을 대지 못하므로 a - b가 3을 지녀야 한다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 5

지우고 남은 것 확인하기

보기 1, 2, 3, 4, 5 중 3의 배수는 3뿐이므로 나머지는 모두 탈락한다.
실제로 되는지 확인한다: a - b = 3이면 9ab = 70 곱하기 9에서 ab = 70이고, a - b = 3과 ab = 70에서 a = 10, b = 7이 나온다.
둘은 서로소이고 219/9 = 73/3을 준다.
따라서 a - b = 3, 답은 (C)이다.

$$a-b=3:\ 9ab=70\cdot 9\Rightarrow ab=70,\ a=10,\ b=7,\ \gcd(10,7)=1$$

💡 될 수 있는 보기가 하나만 남으면, 빠른 구성으로 그것이 정말 되는지 확인한다.

[1] #7 6.EE.A.3 분자는 세제곱의 차이다: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). 분모는 (a - b)^3이다. 분자와 분모에서 (a

[2] #4 7.EE.B.4 분자를 a^2 + ab + b^2 = (a - b)^2 + 3ab로 다시 쓴다. (a - b)^2로 나누면 분수는 1 더하기 3ab를 (a -

[3] #13 7.EE.B.4 양변에서 1을 뺀다: 73/3 빼기 1은 70/3이므로 3ab를 (a - b)^2로 나눈 것이 70/3과 같다. 교차 곱셈으로 모든 분수를 없앤

[4] #3 6.NS.B.4 왼쪽 9ab는 9로 나누어떨어진다. 따라서 오른쪽 70(a - b)^2도 9로 나누어떨어져야 한다. 그런데 70은 9와 공약수가 없으므로, 그

[5] #3 6.NS.B.4 보기 1, 2, 3, 4, 5 중 3의 배수는 3뿐이므로 나머지는 모두 탈락한다. 실제로 되는지 확인한다: a - b = 3이면 9ab = 70

검토

합리성 확인: a = 10, b = 7을 다시 넣어 보면 a^3 - b^3 = 1000 - 343 = 657이고 (a - b)^3 = 27이므로 비는 657/27 = 73/3으로 요구와 정확히 일치한다. 또한 a = 10, b = 7은 서로소이고 a > b > 0이므로 모든 조건이 성립하여 a - b = 3이 확인된다.

대안 접근: 지우기 없이 곧바로 풀 수도 있다: 9ab = 70(a - b)^2에서 s = a + b, d = a - b로 두면 ab = (s^2 - d^2)/4이다. 대입하면 9(s^2 - d^2) = 280 d^2이 되어 9 s^2 = 289 d^2, 즉 3s = 17d이다. gcd(a, b) = 1이므로 가장 작은 해는 d = 3, s = 17이고 다시 a = 10, b = 7을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용하여 동치인 식 만들기 (a^3 - b^3을 (a - b)(a^2 + ab + b^2)로 인수분해하고 약분하여 비를 (a^2 + ab + b^2)/(a - b)^2로 줄이기.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 식과 부등식 세우기 (비를 1 + 3ab/(a - b)^2 = 73/3으로 다시 쓰고 분수를 없애 9ab = 70(a - b)^2에 이르기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (70과 9가 공약수를 갖지 않음을 이용해 9가 (a - b)^2를 나누므로 3이 a - b를 나눔을 이끌고, a = 10, b = 7이 서로소임을 확인하기.)

⭐ 세제곱의 차를 인수분해하고 분수를 하나의 식으로 졸여낸 뒤, 나누어떨어짐 규칙으로 딱 맞는 답 하나만 남기고 모두 지우세요.