AMC 10 · 2012 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorarea-regular-hexagonarea-difference complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-regular-hexagonarea-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림의 닫힌 곡선은 각각 길이가 $\frac{2\pi}{3}$ 인 9개의 합동인 원호로 이루어져 있으며, 각 원호에 대응하는 원의 중심은 한 변의 길이가 2인 정육각형의 꼭짓점 중 하나이다. 이 곡선으로 둘러싸인 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\pi+6$

(B)

$2\pi+4\sqrt{3}$

(C)

$3\pi+4$

(D)

$2\pi+3\sqrt{3}+2$

(E)

$\pi+6\sqrt{3}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 닫힌 곡선이 $9$개의 합동인 원호로 이루어져 있고, 각 원호의 길이는 $\frac{2\pi}{3}$이다. 각 원호가 속한 원의 중심은 한 변의 길이가 $2$인 정육각형의 꼭짓점 중 하나이다. 이 곡선이 둘러싸는 넓이를 구하라.

주어진 것: $9$개의 합동인 원호, 각 원호의 길이는 $\frac{2\pi}{3}$; 각 원호의 중심은 한 변의 길이가 $2$인 정육각형의 꼭짓점; 도형은 3겹 대칭을 가진다: 어떤 원호는 바깥으로 볼록하고 어떤 원호는 안으로 오목하다; 선택지: (A) $2\pi+6$, (B) $2\pi+4\sqrt{3}$, (C) $3\pi+4$, (D) $2\pi+3\sqrt{3}+2$, (E) $\pi+6\sqrt{3}$

구하는 것: 닫힌 곡선이 둘러싸는 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기

곡선은 불규칙하지만, 그 조각들은 모두 정육각형 꼭짓점을 중심으로 하는 원호이다. 그래서 계산할 수 있는 조각들로 넓이를 쌓아 올리는 것이 정직한 방법이다(도구 #7). 중심들을 연결한 정육각형을 그려(도구 #1) 기준 넓이로 삼는다. 그다음 구불구불한 경계를 직접 좇는 대신, 곡선을 '정육각형에 바깥쪽 볼록 세 개를 더하고 안쪽 오목 세 개를 뺀 것'으로 다시 바라본다(도구 #16). 더하거나 빼는 조각은 모두 부채꼴이므로, 전체 답은 '정육각형 넓이 + 바깥 부채꼴 − 안쪽 부채꼴'이 된다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 1

원호의 반지름 구하기

각 원호의 길이는 $\frac{2\pi}{3}$이다.
그림을 보면 각 원호는 $120^\circ$를 돌며, 이는 원 전체의 $\frac{1}{3}$이다.
따라서 원 둘레는 $3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$이다.
둘레 $=2\pi r$에서 반지름은 $r=1$이다.

$$2\pi r = 3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi \;\Rightarrow\; r = 1$$

💡 $120^\circ$ 호는 원의 3분의 1이므로, 세 개를 이으면 한 바퀴가 되어 반지름이 $1$로 정해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

중심 정육각형의 넓이

여섯 개의 원호 중심을 연결하면 한 변이 $2$인 정육각형이 된다.
이를 한 변이 $2$인 정삼각형 $6$개로 나눈다.
각 삼각형의 높이는 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$이며(수선을 내리고 피타고라스 정리 사용), 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}$이다.
정육각형 넓이는 $6\sqrt{3}$이다.

$$\text{정육각형} = 6\cdot\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$

💡 정육각형은 중심에서 붙인 정삼각형 여섯 개일 뿐이고, 각 삼각형의 높이는 피타고라스 정리에서 바로 나온다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.6 단계 3

곡선을 정육각형과 견주기

곡선을 정육각형 경계와 비교한다.
3겹 대칭에 의해 세 개의 원호는 정육각형 밖으로 볼록하게 튀어나오고(넓이 추가), 세 개의 원호는 안으로 오목하게 들어간다(넓이 제거).
각 안쪽 오목은 반지름 $1$인 원의 $120^\circ$ 부채꼴이고, 각 바깥쪽 볼록은 반지름 $1$인 원의 $240^\circ$ 부채꼴이다.
따라서 둘러싸인 넓이 $=$ 정육각형 $+$ (바깥 부채꼴) $-$ (안쪽 부채꼴)이다.

$$\text{넓이} = 6\sqrt{3} + (\text{바깥}) - (\text{안쪽})$$

💡 구불구불한 경계를 계산하는 대신, 곡선을 정육각형에 혹을 더하고 홈을 뺀 것으로 본다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

부채꼴 넓이 계산

반지름 $1$인 원의 넓이는 $\pi\cdot 1^2=\pi$이다.
안쪽 오목: $120^\circ$ 부채꼴 세 개, 각각 $\frac{1}{3}\pi$, 합하면 $3\cdot\frac{\pi}{3}=\pi$(원 하나).
바깥쪽 볼록: $240^\circ$ 부채꼴 세 개, 각각 $\frac{240}{360}\pi=\frac{2\pi}{3}$, 합하면 $3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$(원 두 개).

$$\text{안쪽}=3\cdot\tfrac{\pi}{3}=\pi,\qquad \text{바깥}=3\cdot\tfrac{2\pi}{3}=2\pi$$

💡 각 부채꼴은 $\pi r^2$의 단순한 비율이고, 그 비율이 맞아떨어져 안쪽 셋은 원 하나, 바깥 셋은 원 둘을 이룬다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 5

모두 더하기

조각들을 합친다: 정육각형 $6\sqrt{3}$에서 안쪽 오목 $\pi$를 빼고, 바깥쪽 볼록 $2\pi$를 더한다.
$\pi$ 항은 $-\pi+2\pi=\pi$가 되어 $6\sqrt{3}+\pi$가 남는다.

$$6\sqrt{3} - \pi + 2\pi = \pi + 6\sqrt{3}\;\Rightarrow\; \textbf{(E)}\ \pi+6\sqrt{3}$$

💡 볼록이 오목을 정확히 원 하나만큼 이겨서, 정육각형 위에 $+\pi$ 하나만 남는다.

[1] #7 7.G.B.4 각 원호의 길이는 $\frac{2\pi}{3}$이다. 그림을 보면 각 원호는 $120^\circ$를 돌며, 이는 원 전체의 $\frac{1}{3

[2] #7 8.G.B.7 여섯 개의 원호 중심을 연결하면 한 변이 $2$인 정육각형이 된다. 이를 한 변이 $2$인 정삼각형 $6$개로 나눈다. 각 삼각형의 높이는 $\

[3] #16 7.G.B.6 곡선을 정육각형 경계와 비교한다. 3겹 대칭에 의해 세 개의 원호는 정육각형 밖으로 볼록하게 튀어나오고(넓이 추가), 세 개의 원호는 안으로 오

[4] #7 7.G.B.4 반지름 $1$인 원의 넓이는 $\pi\cdot 1^2=\pi$이다. 안쪽 오목: $120^\circ$ 부채꼴 세 개, 각각 $\frac{1}{3

[5] #7 7.G.B.6 조각들을 합친다: 정육각형 $6\sqrt{3}$에서 안쪽 오목 $\pi$를 빼고, 바깥쪽 볼록 $2\pi$를 더한다. $\pi$ 항은 $-\pi

검토

합리성 확인: 이 구성이 쓰는 원호 개수를 세어 보자: 안쪽 $120^\circ$ 호 세 개($3$개)와 바깥쪽 $240^\circ$ 볼록 세 개(각각 $120^\circ$ 호 두 개로 이루어짐, $6$개)를 합하면 $3+6=9$개로, 길이가 각각 $\frac{2\pi}{3}$인 원호 $9$개라는 조건과 정확히 맞는다. 넓이 $\pi+6\sqrt{3}\approx 3.14+10.39=13.53$은 정육각형의 $6\sqrt{3}\approx 10.39$보다 조금 크며, 이는 바깥 볼록이 안쪽 오목을 이기는 도형과 들어맞는다. 선택지 중 (E)만이 정육각형의 $6\sqrt{3}$에 홀로 남은 $\pi$를 지녀, 원 하나만큼 남는 우리 결과와 일치한다.

대안 접근: 변하는 부분만 추적하는 지름길. 모든 원호는 반지름 $1$인 원의 조각이므로, 답은 $6\sqrt{3}$(고정된 정육각형)에 원 넓이 $\pi$의 정수 배가 더해진 꼴이다. 곧은 변의 정육각형이 이미 $\sqrt{3}$ 부분을 주므로, 답은 반드시 $(\text{정수})\pi+6\sqrt{3}$ 형태여야 한다. 이 형태를 가진 선택지는 (E)뿐이므로, 그 정수가 $1$임을 계산하기 전에도 (E)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 이를 문제 해결에 활용한다 (호의 길이 $\frac{2\pi}{3}$를 반지름 $r=1$로 바꾸고, 각 부채꼴을 원 넓이 $\pi r^2$의 비율로 계산하기.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 미지의 변의 길이를 구한다 (한 변이 $2$인 정삼각형의 높이 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$를 구해 정육각형 넓이 $6\sqrt{3}$ 얻기.)
7.G.B.6 삼각형, 사각형, 다각형으로 이루어진 이차원 도형의 넓이를 구하는 문제를 해결한다 (둘러싸인 넓이를 정육각형 $+$ 바깥 부채꼴 $-$ 안쪽 부채꼴로 조립해 $\pi+6\sqrt{3}$에 이르기.)

⭐ 원호 중심들을 지나는 정육각형을 그리고($6\sqrt{3}$), 곡선을 그 정육각형에 바깥 볼록 세 개를 더하고($2\pi$) 안쪽 오목 세 개를 뺀 것($\pi$)으로 보라. 볼록이 원 하나만큼 이겨서 $\textbf{(E)}\ \pi+6\sqrt{3}$이 된다.