AMC 10 · 2012 · #18

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
circular-sectorarea-regular-hexagonarea-difference complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-regular-hexagonarea-circles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
닫힌 곡선이 9개의 합동인 원호로 이루어져 있고, 각 원호의 길이는 2π/3이다. 각 원호가 속한 원의 중심은 한 변의 길이가 2인 정육각형의 꼭짓점 중 하나이다. 그림처럼 어떤 원호는 바깥으로 볼록하고 어떤 원호는 안으로 오목하다. 이 곡선이 둘러싸는 넓이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$2\pi+6$
(B)
$2\pi+4\sqrt{3}$
(C)
$3\pi+4$
(D)
$2\pi+3\sqrt{3}+2$
(E)
$\pi+6\sqrt{3}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

곡선은 불규칙하지만, 그 조각들은 모두 정육각형 꼭짓점을 중심으로 하는 원호이다. 그래서 계산할 수 있는 조각들로 넓이를 쌓아 올리는 것이 정직한 방법이다(도구 #7). 중심들을 연결한 정육각형을 그려(도구 #1) 기준 넓이로 삼는다. 그다음 구불구불한 경계를 직접 좇는 대신, 곡선을 '정육각형에 바깥쪽 볼록 세 개를 더하고 안쪽 오목 세 개를 뺀 것'으로 다시 바라본다(도구 #16). 더하거나 빼는 조각은 모두 부채꼴이므로, 전체 답은 '정육각형 넓이 + 바깥 부채꼴 − 안쪽 부채꼴'이 된다.

1STEP 1

원호의 반지름 구하기

각 원호는 120°, 즉 원의 1/3을 돌므로 둘레는 3·2π/3=2π이고 반지름은 r=1이다.

2π r = 3·2π/3=2π → r = 1
2STEP 2

중심 정육각형의 넓이

여섯 중심을 이으면 한 변 2인 정육각형이고, 높이 √(3)인 정삼각형 6개이므로 넓이는 6√(3)이다.

정육각형 = 6·√(3) = 6√(3)
3STEP 3

곡선을 정육각형과 견주기

곡선을 그 정육각형에 바깥쪽 240° 부채꼴 셋을 더하고 안쪽 120° 부채꼴 셋을 뺀 것으로 본다.

넓이 = 6√(3) + (바깥) - (안쪽)
4STEP 4

부채꼴 넓이 계산

반지름 1인 원의 넓이는 π이므로 안쪽 부채꼴 셋은 π(원 하나), 바깥쪽 셋은 2π이다.

안쪽=3·π/3=π, 바깥=3·2π/3=2π
5STEP 5

모두 더하기

조각을 합치면 6√(3) - π + 2π이고, π 항이 원 하나만큼 남아 π+6√(3)이다.

6√(3) - π + 2π = π + 6√(3) → (E) π+6√(3)
정답
π+6√(3)
이 구성이 쓰는 원호 개수를 세어 보자: 안쪽 120° 호 세 개(3개)와 바깥쪽 240° 볼록 세 개(각각 120° 호 두 개로 이루어짐, 6개)를 합하면 3+6=9개로, 길이가 각각 2π/3인 원호 9개라는 조건과 정확히 맞는다. 넓이 π+6√(3)≈ 3.14+10.39=13.53은 정육각형의 6√(3)≈ 10.39보다 조금 크며, 이는 바깥 볼록이 안쪽 오목을 이기는 도형과 들어맞는다. 선택지 중 (E)만이 정육각형의 6√(3)에 홀로 남은 π를 지녀, 원 하나만큼 남는 우리 결과와 일치한다.
💡핵심 정리

원호 중심들을 지나는 정육각형을 그리고(6√(3)), 곡선을 그 정육각형에 바깥 볼록 세 개를 더하고(2π) 안쪽 오목 세 개를 뺀 것(π)으로 보라. 볼록이 원 하나만큼 이겨서 (E) π+6√(3)이 된다.

  • 원호의 반지름 구하기
  • 중심 정육각형의 넓이
  • 곡선을 정육각형과 견주기
  • 부채꼴 넓이 계산
  • 모두 더하기

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