AMC 10 · 2012 · #19

학년 8 rate-ratio
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
ratesystems-of-equationsunit-conversion convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratesystems-of-equations
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
폴라와 두 조수는 각자 일정하지만 서로 다른 속도로 페인트칠을 하고, 매일 같은 길이의 점심시간을 갖습니다. 월요일에는 셋이 함께 오전 8:00부터 오후 4:00까지 일해 집의 50%를 칠했습니다. 화요일에는 두 조수만 오전 8:00부터 오후 2:12까지 일해 24%를 칠했고, 수요일에는 폴라 혼자 오전 8:00부터 오후 7:12까지 일해 나머지를 끝냈습니다. 매일의 점심시간 길이를 분 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
30
(B)
36
(C)
42
(D)
48
(E)
60

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

사흘, 세 개의 미지수 — 폴라의 속도 p, 조수들의 합친 속도 h, 점심시간 L — 이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 뼈대입니다. 세 속도와 점심시간에 이름을 붙이고, 하루마다 속도 × 일한 시간 = 칠한 비율 로 식을 하나씩 세웁니다. 도구 #8(단위 살펴보기)이 계산을 정직하게 지킵니다: 속도가 집/시간 단위이므로 모든 시계 구간을 시간으로 바꾸고 점심시간을 빼야 곱할 수 있습니다. 영리한 지름길은 도구 #16(관점 바꾸기)입니다: 화요일 24%에 수요일 26%를 더하면 월요일 50%와 같으니, 화요일과 수요일 식을 더하면 월요일 식이 되어야 합니다 — 그러면 곱 항이 지워지고 깔끔한 속도 비 h=16/9p가 남습니다. 이어서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 마무리합니다: 대입해 L 하나만 남은 식을 얻습니다.

1STEP 1

시계 구간을 일한 시간으로 바꾸기

폴라의 속도 p, 두 조수 합친 속도 h, 점심시간 L(시간). 구간은 8, 6.2, 11.2시간이고 일한 시간은 구간에서 L을 뺀 값.

월 구간=8, 화 구간=6.2, 수 구간=11.2 (시간)
2STEP 2

하루마다 식 하나씩 세우기

매일 속도 × 일한 시간 = 칠한 비율. 월 0.50(셋), 화 0.24(조수), 수는 폴라가 남은 0.26.

(p+h)(8-L)=0.50, h(6.2-L)=0.24, p(11.2-L)=0.26
3STEP 3

화요일과 수요일 더하기

화 0.24 + 수 0.26 = 월 0.50이므로 두 식을 더하면 월요일 식이 되고, L 항이 지워져 h와 p의 비가 정해집니다.

h(6.2-L)+p(11.2-L)=(p+h)(8-L) → 6.2h+11.2p=8h+8p → 3.2p=1.8h → h=16/9p
4STEP 4

점심시간 풀기

수요일 식과 (비를 쓴) 화요일 식에서 p를 각각 구해 같다고 놓고 교차 곱하면 L = 0.8시간.

0.26/(11.2-L)=0.135/(6.2-L) → 0.26(6.2-L)=0.135(11.2-L) → 0.1=0.125 L → L=0.8
5STEP 5

다시 분으로 바꾸기

점심시간은 0.8시간이고 선택지는 분 단위이므로 60을 곱하면 48분.

0.8 × 60 = 48 분 → (D)
정답
48
L=0.8을 다시 대입: 폴라의 속도 p=0.26/(11.2-0.8)=0.26/10.4=0.025, 조수들의 속도 h=0.24/(6.2-0.8)=0.24/5.4=0.0444이고 이는 16/9(0.025)=0.0444와 일치합니다. 월요일 확인: (0.025+0.0444)(8-0.8)=0.0694×7.2=0.50으로 주어진 50%와 정확히 맞습니다. 세 식이 모두 성립하므로 L=0.8시간 =48분이 일관됩니다. 오답 식별: L=48은 예상대로 선택지 30과 60 사이의 점심시간 길이이며, (A) 30이나 (E) 60은 월요일 확인을 깨뜨립니다.
💡핵심 정리

하루마다 속도 곱하기 일한 시간으로 식을 세우고, 화요일 24%에 수요일 26%를 더하면 월요일 50%가 다시 만들어짐을 알아채면, 식이 한 줄로 줄어들어 점심시간이 48분임이 나옵니다.

  • 시계 구간을 일한 시간으로 바꾸기
  • 하루마다 식 하나씩 세우기
  • 화요일과 수요일 더하기
  • 점심시간 풀기
  • 다시 분으로 바꾸기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.