AMC 10 · 2012 · #19

학년 8 rate-ratio

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

ratesystems-of-equationsunit-conversion convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratesystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

페인트공 폴라와 그녀의 두 조수는 각각 일정하지만 서로 다른 속도로 페인트칠을 한다. 이들은 항상 오전 8시에 시작하며, 세 사람 모두 항상 같은 시간 동안 점심을 먹는다. 월요일에 세 사람은 집의 50%를 칠하고 오후 4시에 일을 끝냈다. 화요일에는 폴라가 없어서 두 조수만 집의 24%만 칠하고 오후 2시 12분에 일을 끝냈다. 수요일에는 폴라가 혼자 일하여 오후 7시 12분까지 일해서 집을 완성했다. 매일의 점심시간은 몇 분이었는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 폴라와 두 조수는 각자 일정하지만 서로 다른 속도로 페인트칠을 하고, 매일 같은 길이의 점심시간을 갖습니다. 월요일에는 셋이 함께 오전 8:00부터 오후 4:00까지 일해 집의 $50\%$를 칠했습니다. 화요일에는 두 조수만 오전 8:00부터 오후 2:12까지 일해 $24\%$를 칠했고, 수요일에는 폴라 혼자 오전 8:00부터 오후 7:12까지 일해 나머지를 끝냈습니다. 매일의 점심시간 길이를 분 단위로 구하세요.

주어진 것: 세 사람의 속도는 모두 일정하고, 점심시간 길이 $L$은 매일 같음; 월요일 (셋 모두, 오전 8:00~오후 4:00): $50\%$ 칠함; 화요일 (두 조수만, 오전 8:00~오후 2:12): $24\%$ 칠함; 수요일 (폴라만, 오전 8:00~오후 7:12): 집을 완성; 분 단위 선택지: (A) $30$, (B) $36$, (C) $42$, (D) $48$, (E) $60$

구하는 것: 점심시간 길이 $L$ (분 단위)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #16 관점 바꾸기, #13 대수로 바꾸기

사흘, 세 개의 미지수 — 폴라의 속도 $p$, 조수들의 합친 속도 $h$, 점심시간 $L$ — 이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 뼈대입니다. 세 속도와 점심시간에 이름을 붙이고, 하루마다 속도 $\times$ 일한 시간 $=$ 칠한 비율 로 식을 하나씩 세웁니다. 도구 #8(단위 살펴보기)이 계산을 정직하게 지킵니다: 속도가 집/시간 단위이므로 모든 시계 구간을 시간으로 바꾸고 점심시간을 빼야 곱할 수 있습니다. 영리한 지름길은 도구 #16(관점 바꾸기)입니다: 화요일 $24\%$에 수요일 $26\%$를 더하면 월요일 $50\%$와 같으니, 화요일과 수요일 식을 더하면 월요일 식이 되어야 합니다 — 그러면 곱 항이 지워지고 깔끔한 속도 비 $h=\tfrac{16}{9}p$가 남습니다. 이어서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 마무리합니다: 대입해 $L$ 하나만 남은 식을 얻습니다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.1 단계 1

시계 구간을 일한 시간으로 바꾸기

폴라의 속도를 $p$, 두 조수의 합친 속도를 $h$ (둘 다 집/시간), 점심시간을 $L$ (시간) 이라 합시다.
각 날의 시계 구간을 시간으로 바꾸면 (12분 $= 0.2$시간), 실제 일한 시간은 구간에서 $L$을 뺀 값입니다.
월요일 오전 8:00~오후 4:00은 $8$시간, 화요일 오전 8:00~오후 2:12는 $6.2$시간, 수요일 오전 8:00~오후 7:12는 $11.2$시간입니다.

$$\text{월 구간}=8,\quad \text{화 구간}=6.2,\quad \text{수 구간}=11.2 \text{ (시간)}$$

💡 속도가 시간당 단위이므로 모든 시간을 시간 단위로 바꿔야 곱할 수 있음.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 2

하루마다 식 하나씩 세우기

매일 (속도) $\times$ (일한 시간) $=$ (칠한 집의 비율).
월요일은 셋이 함께 칠하므로 속도는 $p+h$이고 $0.50$을 칠합니다.
화요일은 조수들만 일해 $0.24$를 칠합니다.
수요일은 폴라만 일하고, 이미 $50\%+24\%=74\%$가 끝났으므로 남은 $0.26$을 칠합니다.

$$(p+h)(8-L)=0.50,\quad h(6.2-L)=0.24,\quad p(11.2-L)=0.26$$

💡 속도가 일정하면 한 일은 속도 곱하기 시계 시간에서 점심시간을 뺀 값일 뿐.

#16 관점 바꾸기 8.EE.C.8 단계 3

화요일과 수요일 더하기

관점을 바꿉니다: 화요일 $0.24$에 수요일 $0.26$을 더하면 $0.50$, 바로 월요일의 양입니다.
그래서 화요일 식과 수요일 식의 합이 월요일 식과 같습니다.
양변을 전개하면 $-pL$과 $-hL$ 항이 지워지고 두 속도 사이의 간단한 관계만 남습니다.

$$h(6.2-L)+p(11.2-L)=(p+h)(8-L)\;\Rightarrow\; 6.2h+11.2p=8h+8p\;\Rightarrow\; 3.2p=1.8h\;\Rightarrow\; h=\tfrac{16}{9}p$$

💡 비율이 딱 맞아떨어지니 두 날을 합치면 나머지 한 날이 되고, 그래서 미지의 곱들이 지워짐.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

점심시간 풀기

수요일 식을 $p$에 대해 풀고, $h=\tfrac{16}{9}p$를 써서 화요일 식도 $p$에 대해 풉니다.
두 식을 같다고 놓으면 $p$가 사라지고 $L$ 하나만 남은 식이 됩니다.
교차 곱하면 일차방정식이 됩니다.

$$\dfrac{0.26}{11.2-L}=\dfrac{0.135}{6.2-L}\;\Rightarrow\; 0.26(6.2-L)=0.135(11.2-L)\;\Rightarrow\; 0.1=0.125\,L\;\Rightarrow\; L=0.8$$

💡 같은 속도를 나타내는 두 식은 서로 같아야 하고, 그 일치가 남은 미지수를 정해줌.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.1 단계 5

다시 분으로 바꾸기

점심시간은 $L=0.8$시간입니다.
$60$을 곱해 분으로 바꿉니다.

$$0.8 \times 60 = 48 \text{ 분} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 선택지가 분 단위이므로 시간 값을 다시 분으로 바꿔야 답 문자를 읽을 수 있음.

[1] #8 4.MD.A.1 폴라의 속도를 $p$, 두 조수의 합친 속도를 $h$ (둘 다 집/시간), 점심시간을 $L$ (시간) 이라 합시다. 각 날의 시계 구간을 시간으

[2] #4 6.RP.A.3 매일 (속도) $\times$ (일한 시간) $=$ (칠한 집의 비율). 월요일은 셋이 함께 칠하므로 속도는 $p+h$이고 $0.50$을 칠합니

[3] #16 8.EE.C.8 관점을 바꿉니다: 화요일 $0.24$에 수요일 $0.26$을 더하면 $0.50$, 바로 월요일의 양입니다. 그래서 화요일 식과 수요일 식의 합이

[4] #13 8.EE.C.7 수요일 식을 $p$에 대해 풀고, $h=\tfrac{16}{9}p$를 써서 화요일 식도 $p$에 대해 풉니다. 두 식을 같다고 놓으면 $p$가

[5] #8 4.MD.A.1 점심시간은 $L=0.8$시간입니다. $60$을 곱해 분으로 바꿉니다.

검토

합리성 확인: $L=0.8$을 다시 대입: 폴라의 속도 $p=0.26/(11.2-0.8)=0.26/10.4=0.025$, 조수들의 속도 $h=0.24/(6.2-0.8)=0.24/5.4=0.0444$이고 이는 $\tfrac{16}{9}(0.025)=0.0444$와 일치합니다. 월요일 확인: $(0.025+0.0444)(8-0.8)=0.0694\times7.2=0.50$으로 주어진 $50\%$와 정확히 맞습니다. 세 식이 모두 성립하므로 $L=0.8$시간 $=48$분이 일관됩니다. 오답 식별: $L=48$은 예상대로 선택지 $30$과 $60$ 사이의 점심시간 길이이며, (A) $30$이나 (E) $60$은 월요일 확인을 깨뜨립니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 답이 주어진 다섯 분 값 중 하나이므로 각각을 시험합니다. 후보 $L$에 대해 수요일 식으로 $p$를, 화요일 식으로 $h$를 구한 뒤 월요일의 $(p+h)(8-L)=0.50$이 성립하는지 확인합니다. $L=48$분 $=0.8$시간만 성립하여, 대수적 소거 없이도 같은 답을 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.MD.A.1 같은 측정 체계 안에서 측정 단위 변환하기 (각 날의 시계 구간과 최종 답을 시간과 분 사이로 변환, 예를 들어 12분 = 0.2시간, 0.8시간 = 48분.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 문제 해결하기 (각 날 칠한 비율을 속도 곱하기 일한 시간으로 나타내 세 식을 세움.)
8.EE.C.8 연립일차방정식을 분석하고 풀기 (화요일과 수요일 식을 더해 월요일 식과 맞춰 연립식을 속도 관계 $h=\tfrac{16}{9}p$로 줄임.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 (두 속도 식을 교차 곱해 $0.1=0.125L$을 얻고 $L=0.8$시간을 구함.)

⭐ 하루마다 속도 곱하기 일한 시간으로 식을 세우고, 화요일 $24\%$에 수요일 $26\%$를 더하면 월요일 $50\%$가 다시 만들어짐을 알아채면, 식이 한 줄로 줄어들어 점심시간이 $48$분임이 나옵니다.