AMC 10 · 2012 · #2

학년 3 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

area-rectanglesspatial-visualization physical-representation ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

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문제

한 변의 길이가 8인 정사각형을 반으로 잘라 서로 합동인 두 개의 직사각형을 만들었다. 이 직사각형 하나의 가로세로 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\ \text{by}\ 4$

(B)

$\ 2\ \text{by}\ 6$

(C)

$\ 2\ \text{by}\ 8$

(D)

$4\ \text{by}\ 4$

(E)

$4\ \text{by}\ 8$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $8$인 정사각형($8$ 곱하기 $8$)을 곧게 잘라 합동인 직사각형 두 개로 나눈다. 그중 한 직사각형의 가로와 세로 길이를 구하라.

주어진 것: 처음 도형은 한 변의 길이가 $8$인 정사각형이다; 이것을 반으로 잘라 합동인 직사각형 두 개로 만든다; 선택지: (A) $2$ by $4$, (B) $2$ by $6$, (C) $2$ by $8$, (D) $4$ by $4$, (E) $4$ by $8$

구하는 것: 잘라서 생긴 직사각형 한 개의 두 변의 길이(가로와 세로)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 도형을 자르는 상황이므로, 도구 #1(그림 그리기)로 상황을 눈에 보이게 만든다: $8$ 곱하기 $8$ 정사각형과 자르는 선 하나를 그린다. 도구 #17(공간 상상하기)로 어느 변이 짧아지고 어느 변이 그대로인지 추적한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 두 변을 모두 반으로 줄여서 나오는 함정 선택지 (D) $4$ by $4$를 막아 준다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 1

정사각형과 자르는 선 그리기

모든 변이 $8$인 정사각형을 그린다.
반으로 자른다는 것은 한가운데를 지나는 곧은 선 하나로 잘라 똑같은 직사각형 두 개로 나눈다는 뜻이다.
이 선은 한 쌍의 변과 평행하게 지나가므로, 모든 방향으로 줄이는 것이 아니라 정사각형을 가로질러 자른다.

$$8 \times 8 \text{ 정사각형, 곧은 선 하나로 2등분}$$

💡 곧은 선 하나는 도형을 한 방향으로만 짧게 만들 수 있고, 두 방향 모두는 아니다.

#17 공간 상상하기 3.OA.C.7 단계 2

한 변만 반으로, 나머지 변은 그대로

자르는 선은 한 쌍의 변의 한가운데에 닿아, 길이 $8$인 변을 똑같은 두 조각으로 나눈다: $8 \div 2 = 4$.
자르는 선을 따라 놓인 변은 건드리지 않으므로 여전히 $8$이다.
그래서 각 직사각형의 한 변은 $4$, 다른 한 변은 $8$이다.

$$8 \div 2 = 4, \qquad 8 \text{ 은 그대로 } 8$$

💡 반으로 자르면 한 변의 길이는 $2$로 나뉘고, 그와 가로지르는 변의 길이는 그대로 따라간다.

#3 가능성 지우기 2.G.A.3 단계 3

길이를 읽고 선택지와 맞추기

직사각형 하나는 $4$ by $8$이다.
함정을 확인하자: $4$ by $4$ (D)는 두 변을 모두 반으로 줄여야 나오고, $2$ by $8$ (C)는 한 변을 넷으로 나눠야 나오는데, 곧은 선 하나로 반을 자르는 것으로는 둘 다 생기지 않는다.
길이 $4$ by $8$은 선택지 (E)와 일치한다.

$$4 \text{ by } 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 정사각형의 똑같은 두 조각은 합치면 원래 정사각형이 되어야 하며, $4 \times 8$을 두 번 하면 $8 \times 8$ 넓이로 되돌아온다.

[1] #1 3.G.A.2 모든 변이 $8$인 정사각형을 그린다. 반으로 자른다는 것은 한가운데를 지나는 곧은 선 하나로 잘라 똑같은 직사각형 두 개로 나눈다는 뜻이다.

[2] #17 3.OA.C.7 자르는 선은 한 쌍의 변의 한가운데에 닿아, 길이 $8$인 변을 똑같은 두 조각으로 나눈다: $8 \div 2 = 4$. 자르는 선을 따라 놓인

[3] #3 2.G.A.3 직사각형 하나는 $4$ by $8$이다. 함정을 확인하자: $4$ by $4$ (D)는 두 변을 모두 반으로 줄여야 나오고, $2$ by $8$

검토

합리성 확인: 넓이로 확인하자: 정사각형 전체는 $8 \times 8 = 64$이므로, 각 조각의 넓이는 $32$여야 한다. $4$ by $8$ 직사각형의 넓이는 $4 \times 8 = 32$ — 정확히 절반이라 들어맞는다. 함정 $4$ by $4$의 넓이는 $16$(사분의 일로 너무 작음), $2$ by $8$의 넓이도 $16$이므로, 절반 넓이를 주는 것은 $4$ by $8$뿐이며 (E)를 확인해 준다.

대안 접근: 그림 없이 넓이만으로 추론하자: 각 조각의 넓이는 $64 \div 2 = 32$여야 하고, 자르지 않은 변인 길이 $8$의 한 변을 정사각형과 그대로 공유해야 한다. 그러면 다른 변은 $32 \div 8 = 4$이므로 $4$ by $8$, 선택지 (E)가 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.G.A.2 Partition shapes into equal parts with equal areas (정사각형을 반으로 자르면 곧은 선 하나로 넓이가 같은 직사각형 두 개가 생긴다는 점을 이해하기.)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (잘린 변을 반으로 나누기 $8 \div 2 = 4$, 그리고 $4 \times 8 = 32$ 같은 넓이 확인하기.)
2.G.A.3 Partition circles and rectangles into two, three, or four equal shares (합동인 두 조각이 원래 정사각형으로 다시 합쳐진다는 것을 알아, 함정 길이를 배제하기.)

⭐ 곧은 선으로 반을 자르면 한 변만 절반으로 줄어든다 — 여기서는 $8$이 $4$가 되고 다른 변은 $8$ 그대로여서, 조각은 $4$ by $8$이다.