경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2000 · #5
학년 3 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
8 년이라는 창문은 칸 8 개짜리 띠로 그리기 좋고, 3 년 임기는 칸 3 개를 색칠한 블록입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 문장을 시간 띠 그림으로 바꾸면 상황이 한눈에 보입니다. 최댓값을 찾을 때는 도구 #6(추측하고 확인하기)을 써서 3 명, 4 명, 5 명을 차례로 시도해 봅니다. 그림은 또 한 가지 단서를 알려 줍니다 — 임기는 창문 양 끝 바깥으로 비어져 나가도 되므로, 첫 교장과 마지막 교장은 창문 안에서 1 년만 근무해도 됩니다.
8년을 칸으로 그리기
8 년 창문을 칸 8 개로 그리고, 3 년 임기는 양끝으로 삐져나가도 되는 칸 3 개 블록으로 봅니다.
8 년을 띠 그림으로 그려 두면 3 년 블록을 이리저리 밀어 보며 어떻게 들어맞는지 바로 보입니다 — 3학년 "시간 구간을 표현하기" 그대로입니다.
3.MD.A.1Draw A Diagram교장 4명 맞춰 보기
4 명 시도: A는 1 년차 끝, B는 2-4, C는 5-7, D는 8 년차 시작. 1 + 3 + 3 + 1 = 8로 딱 맞아 4 명 가능.
1 + 3 + 3 + 1 = 8. 첫 교장과 마지막 교장이 창문에 1 년씩만 내놓으면 가운데에 3 년 임기 두 개가 꽉 들어갑니다.
3.OA.D.8Guess And Check교장 5명 확인하기
5 명 시도: 양끝 임기는 1 년씩, 가운데 3 명은 3 년씩 — 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 11 년으로 8 년을 넘어 5 명 불가.
더 쪼개려 해도 소용없습니다. 가운데 교장이 한 명만 있어도 그 교장의 3 년 전체가 창문 안에 있어야 하니, 가운데 세 명만으로도 이미 9 ＞ 8 년이 필요합니다.
서로 다른 다섯 명의 교장이 모두 8년 구간 안에 닿는 3년 임기를 가질 수는 없다.
▸ 왜?
다섯 명의 교장을 시간 순서로 세워 보자. 양 끝의 두 명은 대부분 구간 밖으로 걸쳐 구간에는 각각 1년씩만 내주면 되지만, 가운데 세 명은 양쪽에서 이웃이 구간 안으로 밀고 들어오므로 각자의 3년 임기 전체가 구간 안에 갇힌다. 그래서 구간은 적어도 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 11년을 담아야 하는데, 실제로는 8년뿐이다.
▸ 왜?
가운데에 갇힌 세 임기는 각각 3년짜리 한 덩어리이므로, 합치면 3 + 3 + 3 = 9년 — 3이 든 같은 묶음 3개다.
▸ 왜?
가운데 9년과 양 끝의 2년은 겹침도 빈틈도 없는 구간의 서로 다른 조각들이라 합쳐서 11년이라는 하나의 요구가 되고, 그 조각들의 합은 결코 구간 전체 길이인 8년을 넘을 수 없다.
가능한 최댓값 고르기
4 명은 만들고 5 명은 배제했으니 최댓값은 4, 정답은 (C).
그림으로 확인됩니다: 양끝 교장이 1 년씩만 내놓으면 4 명이 8 년을 정확히 채웁니다.
3.OA.D.8Draw A Diagram8 년을 띠로 그리고 3 년 블록을 끼워 넣으세요. 첫과 마지막 임기가 창문 바깥으로 살짝 삐져나갈 수 있다는 점을 살리면, 8년 안에 교장 4 명이 들어갑니다.
- 8년을 칸으로 그리기
- 교장 4명 맞춰 보기
- 교장 5명 확인하기
- 가능한 최댓값 고르기
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