경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2004 · #2
학년 3 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
재배열할 숫자가 네 개뿐이고, 맨 앞자리는 2 또는 4만 가능합니다. 가능한 수의 개수가 매우 적으니 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 깔끔합니다. 순서 규칙을 정한 뒤 그 규칙대로 모두 적고 세면 끝 — 공식 없이 목록 자체가 증명이 됩니다.
정렬 기준 정하기
먼저 순서를 정합니다. 천의 자리는 2 또는 4 뿐(0 불가)이라, 2로 시작하는 수를 먼저, 그다음 4로 시작하는 수를 적습니다.
나열 전에 규칙을 정해두면 빠뜨리거나 중복하지 않습니다 — 도구 #2의 핵심입니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List2로 시작하는 수 적기
맨 앞에 2를 두면 남은 {0, 0, 4}로 정확히 세 개, 2004, 2040, 2400 이 나옵니다.
맨 앞자리를 고정하면 "두 개의 0 사이에 4 한 개를 어디에 둘 것인가" 라는 단순한 문제가 됩니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List4로 시작하는 수 적기
맨 앞에 4를 두면 남은 {0, 0, 2}로 세 개 더, 4002, 4020, 4200 이 나옵니다.
구조는 앞 경우와 똑같고 천의 자리만 바뀐 형태입니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List합쳐서 개수 세기
두 목록은 겹치지 않으니 더합니다: 3 + 3 = 6 개입니다.
합의 법칙: 겹치지 않는 두 목록의 전체 개수는 각 개수의 합입니다.
유효한 네 자리 수 전체의 개수는 2로 시작하는 수의 개수와 4로 시작하는 수의 개수를 더한 것과 같다.
▸ 왜?
2로 시작하는 수들과 4로 시작하는 수들을 합치면 유효한 수를 하나도 빠짐없이 덮고, 어떤 수도 두 무리에 동시에 들지 않으므로, 두 무리의 개수를 더하면 전체 개수가 된다.
▸ 왜?
유효한 네 자리 수는 0으로 시작할 수 없고 쓸 수 있는 숫자는 2, 0, 0, 4뿐이므로 첫 자리는 2 아니면 4여야 한다 — 이렇게 모든 유효한 수가 두 무리 중 정확히 하나에 들어간다.
▸ 왜?
맨 앞자리가 0이면 천의 자리를 하나도 세지 않는 셈이라 사실은 더 짧은 수가 되어 네 자리 수가 아니다 — 그래서 첫 자리는 결코 0이 아니다.
▸ 왜?
어떤 모임을 겹치지 않고 빠짐없이 여러 무리로 나누면, 각 무리의 크기를 더해 전체 모임의 크기가 된다.
답이 작은 수라면 그냥 규칙을 정해 모두 적으세요. 여기서는 맨 앞이 2 아니면 4이고, 각 경우마다 3 개씩이라 총 6 개입니다.
- 정렬 기준 정하기
- 2로 시작하는 수 적기
- 4로 시작하는 수 적기
- 합쳐서 개수 세기
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