AMC 10 · 2012 · #21

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

coordinate-geometryarea-rectanglespythagorean-theorem physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

3차원 공간에 네 점 A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,2,0), D=(0,0,3)이 있다. E, F, G, H는 각각 선분 BD, AB, AC, DC의 중점이다. 사각형 EFGH의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{2}$

(B)

$\frac{2\sqrt{5}}{3}$

(C)

$\frac{3\sqrt{5}}{4}$

(D)

$\sqrt{3}$

(E)

$\frac{2\sqrt{7}}{3}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

모든 점을 좌표 위에 올려 놓는다. 네 중점의 좌표가 정해지면 EFGH의 모양은 더 이상 수수께끼가 아니다. 그러면 문제를 작은 단계로 나눌 수 있다: 꼭짓점 찾기, 변 확인하기, 변 길이 재기. 여기에 공간 감각을 더하면 어느 두 변이 직각으로 만나는지 보인다.

1STEP 1

네 중점 찾기

두 끝점을 좌표별로 평균 내면 E=(1/2,0,3/2), F=(1/2,0,0), G=(0,1,0), H=(0,1,3/2)이다.

E=((1+0)/2,(0+0)/2,(0+3)/2)=(1/2,0,3/2), F=(1/2,0,0), G=(0,1,0), H=(0,1,3/2)

2STEP 2

마주 보는 변 확인하기

이동량이 EF=(0,0,-3/2), FG=(-1/2,1,0)이고 마주 보는 변끼리 같으니 평행사변형이다.

EF=F-E=(0,0,-3/2), GH=H-G=(0,0,3/2); FG=G-F=(-1/2,1,0), HE=E-H=(1/2,-1,0)

3STEP 3

직각 찾기

EF는 z축을 따라 서 있고 FG는 xy평면에 누워 있어 직각으로 만나니 이 평행사변형은 직사각형이다.

EF · FG = (0)(-1/2)+(0)(1)+(-3/2)(0)=0

4STEP 4

두 변 길이 재기

이동량에 3차원 거리 공식을 쓰면 |EF|=3/2, |FG|=√(1/4+1)=√5/2이다.

|EF|=√(0²+0²+(3/2)²)=3/2, |FG|=√((1/2)²+1²+0²)=√(5/4)=√5/2

5STEP 5

넓이 구하기

직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이므로 3/2 · √5/2 = 3√5/4, 즉 보기 (C)이다.

넓이=|EF|·|FG|=3/2·√5/2=3√5/4

정답

3√(5)/4

수치로 보면 3√5/4≈ 1.68로, 길이 1.5와 약 1.12인 두 변에 잘 어울린다. 직각 확인(EF · FG=0)과 마주 보는 변이 같다는 사실이 모두 진짜 직사각형임을 뒷받침하므로 가로 곱하기 세로가 올바른 넓이 규칙이다. 따라서 답 (C)가 성립한다.

💡핵심 정리

모든 점에 좌표를 주고 평균을 내어 중점을 찾으면, 숨어 있던 도형이 그냥 재기만 하면 되는 평범한 직사각형으로 드러난다.

네 중점 찾기
마주 보는 변 확인하기
직각 찾기
두 변 길이 재기
넓이 구하기

네 중점 찾기

마주 보는 변 확인하기

직각 찾기

두 변 길이 재기

넓이 구하기

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