AMC 10 · 2012 · #21
학년 8 geometry-3d점 A = (0,0,0), B = (1,0,0), C = (0,2,0), D = (0,0,3)이라고 하자. 점 E, F, G, H는 각각 선분 BD, AB, AC, DC의 중점이다. EFGH의 넓이는 얼마인가?
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 3차원 공간에 네 점 $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,2,0)$, $D=(0,0,3)$이 있다. $E$, $F$, $G$, $H$는 각각 선분 $\overline{BD}$, $\overline{AB}$, $\overline{AC}$, $\overline{DC}$의 중점이다. 사각형 $EFGH$의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 네 꼭짓점 $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,2,0)$, $D=(0,0,3)$.; $E$는 $\overline{BD}$, $F$는 $\overline{AB}$, $G$는 $\overline{AC}$, $H$는 $\overline{DC}$의 중점이다.; 꼭짓점은 $E \to F \to G \to H$ 순서로 이어진다.
구하는 것: 사각형 $EFGH$의 넓이.
이해
문제 재정리: 3차원 공간에 네 점 $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,2,0)$, $D=(0,0,3)$이 있다. $E$, $F$, $G$, $H$는 각각 선분 $\overline{BD}$, $\overline{AB}$, $\overline{AC}$, $\overline{DC}$의 중점이다. 사각형 $EFGH$의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 네 꼭짓점 $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,2,0)$, $D=(0,0,3)$.; $E$는 $\overline{BD}$, $F$는 $\overline{AB}$, $G$는 $\overline{AC}$, $H$는 $\overline{DC}$의 중점이다.; 꼭짓점은 $E \to F \to G \to H$ 순서로 이어진다.
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기
모든 점을 좌표 위에 올려 놓는다. 네 중점의 좌표가 정해지면 $EFGH$의 모양은 더 이상 수수께끼가 아니다. 그러면 문제를 작은 단계로 나눌 수 있다: 꼭짓점 찾기, 변 확인하기, 변 길이 재기. 여기에 공간 감각을 더하면 어느 두 변이 직각으로 만나는지 보인다.
실행 — 정답: C
6.NS.B.3 단계 1 네 중점 찾기
- 중점은 두 끝점을 좌표별로 평균 낸 값이다.
- 평균을 구하면 $E=\left(\tfrac12,0,\tfrac32\right)$, $F=\left(\tfrac12,0,0\right)$, $G=(0,1,0)$, $H=\left(0,1,\tfrac32\right)$이다.
💡 선분의 중점은 두 끝점을 좌표별로 평균 낸 것일 뿐이다.
6.NS.C.8 단계 2 마주 보는 변 확인하기
- 좌표를 빼서 각 변이 얼마나 움직이는지 본다.
- 변 $EF$는 $\left(0,0,-\tfrac32\right)$만큼, 변 $GH$는 $\left(0,0,\tfrac32\right)$만큼 움직인다: 같은 방향, 같은 길이다.
- 변 $FG$는 $\left(-\tfrac12,1,0\right)$만큼, 변 $HE$는 $\left(\tfrac12,-1,0\right)$만큼 움직여 역시 서로 같다.
- 그러므로 마주 보는 두 쌍의 변이 각각 길이가 같고 평행하니 $EFGH$는 평행사변형이다.
💡 두 변이 똑같은 만큼 움직이면 길이가 같고 평행할 수밖에 없다.
4.G.A.1 단계 3 직각 찾기
- 변이 어느 쪽을 향하는지 본다.
- 변 $EF$는 $z$축을 따라 위아래로만 뻗고 $x$나 $y$ 성분이 없다.
- 변 $FG$는 $xy$평면에 완전히 누워 있고 $z$ 성분이 없다.
- 위로 선 변과 바닥에 누운 변은 직각으로 만나므로 이 평행사변형에는 직각이 있다.
- 직각을 가진 평행사변형은 직사각형이다.
💡 곧게 선 변과 바닥에 누운 변은 직각으로 만난다.
8.G.B.8 단계 4 두 변 길이 재기
- 변의 이동 벡터에 3차원 거리 공식(세 방향의 차이에 대한 피타고라스)을 쓴다.
- 변 $EF$의 길이는 $\tfrac32$이다.
- 변 $FG$의 길이는 $\sqrt{\tfrac14+1}=\tfrac{\sqrt5}{2}$이다.
💡 3차원에서 직선 거리는 각 방향 차이를 제곱해 더한 뒤 제곱근을 씌운 값이다.
6.G.A.1 단계 5 넓이 구하기
- 직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로다.
- 두 변 길이를 곱하면 $\tfrac32 \cdot \tfrac{\sqrt5}{2}=\tfrac{3\sqrt5}{4}$이다.
- 이는 보기 (C)와 일치한다.
💡 직사각형의 넓이는 가로와 세로를 곱한 것일 뿐이다.
6.NS.B.3 중점은 두 끝점을 좌표별로 평균 낸 값이다. 평균을 구하면 $E=\left(\tfrac12,0,\tfrac32\right)$, $F=\left( 6.NS.C.8 좌표를 빼서 각 변이 얼마나 움직이는지 본다. 변 $EF$는 $\left(0,0,-\tfrac32\right)$만큼, 변 $GH$는 $\left 4.G.A.1 변이 어느 쪽을 향하는지 본다. 변 $EF$는 $z$축을 따라 위아래로만 뻗고 $x$나 $y$ 성분이 없다. 변 $FG$는 $xy$평면에 완전히 8.G.B.8 변의 이동 벡터에 3차원 거리 공식(세 방향의 차이에 대한 피타고라스)을 쓴다. 변 $EF$의 길이는 $\tfrac32$이다. 변 $FG$의 길 6.G.A.1 직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로다. 두 변 길이를 곱하면 $\tfrac32 \cdot \tfrac{\sqrt5}{2}=\tfrac{3\sqr 검토
합리성 확인: 수치로 보면 $\tfrac{3\sqrt5}{4}\approx 1.68$로, 길이 $1.5$와 약 $1.12$인 두 변에 잘 어울린다. 직각 확인($EF\cdot FG=0$)과 마주 보는 변이 같다는 사실이 모두 진짜 직사각형임을 뒷받침하므로 가로 곱하기 세로가 올바른 넓이 규칙이다. 따라서 답 (C)가 성립한다.
대안 접근: 직사각형 논증을 건너뛰고, 이웃한 두 변 벡터의 외적을 써도 된다. 외적의 크기가 곧 평행사변형의 넓이다: $EF\times FG=\left(\tfrac32,\tfrac34,0\right)$이고 $\left|EF\times FG\right|=\sqrt{\tfrac94+\tfrac{9}{16}}=\sqrt{\tfrac{45}{16}}=\tfrac{3\sqrt5}{4}$로 같은 답이 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.NS.B.3여러 자리 소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 능숙하게 하기 (끝점 좌표를 평균 내어 네 중점의 위치를 찾는 데 사용.)6.NS.C.8네 사분면에 점을 찍어 실생활 문제 해결하기 (좌표 이동량을 비교해 마주 보는 변이 같고 평행함을 보이는 데 사용.)4.G.A.1점, 직선, 선분, 반직선, 각을 그리고 도형에서 찾아내기 (직각을 만드는 수직인 변 한 쌍을 찾아내는 데 사용.)8.G.B.8좌표계에서 두 점 사이 거리를 피타고라스 정리로 구하기 (사각형의 두 변 길이를 3차원에서 재는 데 사용.)6.G.A.1삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 분해·합성으로 구하기 (직사각형의 넓이를 가로 곱하기 세로로 계산하는 데 사용.)
⭐ 모든 점에 좌표를 주고 평균을 내어 중점을 찾으면, 숨어 있던 도형이 그냥 재기만 하면 되는 평범한 직사각형으로 드러난다.
⭐ 모든 점에 좌표를 주고 평균을 내어 중점을 찾으면, 숨어 있던 도형이 그냥 재기만 하면 되는 평범한 직사각형으로 드러난다.
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