AMC 10 · 2012 · #24

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationsperfect-squares caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

양의 정수 a ≥ b ≥ c 가 지저분한 두 식 a² - b² - c² + ab = 2011 과 a² + 3b² + 3c² - 3ab - 2ac - 2bc = -1997 을 만족한다. a 의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

249

(B)

250

(C)

251

(D)

252

(E)

253

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

각 식은 제곱항과 곱항이 뒤엉킨 덩어리다. 핵심은 도구 #15(다르게 정리하기): 두 식을 더한다. 지저분한 곱항들이 서로 맞물려 정리되면서 합은 대칭형 a² + b² + c² - ab - bc - ca 로 줄어드는데, 이것은 정확히 (a-b)² + (b-c)² + (c-a)²의 절반이다. 그러면 문제는 세 수 사이의 차이에 관한 이야기로 바뀐다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 차이를 x = a-b, y = b-c 로 이름 붙이고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 작은 제곱합의 정수해가 몇 개뿐임을 이용해 차이를 확정하며, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 마무리를 두 경우로 나누어 각각을 식 (1)에 넣어 확인한다.

1STEP 1

두 식을 더한다

두 식을 항끼리 더하면 곱항이 일부 상쇄되고 우변은 14 가 된다. 양변을 2로 나눈다.

2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 14 → a² + b² + c² - ab - ac - bc = 7

2STEP 2

제곱의 합으로 다시 쓰기

이 대칭식은 (a-b)² + (b-c)² + (c-a)²의 정확히 절반이므로 양변에 2를 곱한다.

(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² = 14

3STEP 3

차이에 이름 붙이기

x = a - b, y = b - c 는 0 이상의 정수이고 a - c = x + y 이다. 대입해 정리하면 x² + xy + y² = 7.

x² + xy + y² = 7

4STEP 4

차이 확정하기

각 차이는 2 이하이고, x² + xy + y² = 7을 만족하는 쌍은 순서만 다른 1과 2 뿐이므로 a - c = 3이다.

(x, y) = (1, 2) 또는 (2, 1)

5STEP 5

각 경우를 a 에 관한 식으로

각 경우를 식 (1)에 넣으면 (a-1, a-3)은 7a - 10 = 2011, (a-2, a-3)은 8a - 13 = 2011이 된다.

경우 A: 7a - 10 = 2011 경우 B: 8a - 13 = 2011

6STEP 6

경우 A 버리기

경우 A 는 7a = 2021 인데 2021은 7로 나누어떨어지지 않으므로 a 가 정수일 수 없어 버린다.

7a = 2021, 2021 ÷ 7 = 288 나머지 5 → 정수 a 없음

7STEP 7

경우 B 풀기

경우 B 는 8a = 2024 이므로 a = 253, b = 251, c = 250이고 원래 두 식이 모두 성립한다.

8a = 2024 → a = 253 → (E)

정답

253

a = 253, b = 251, c = 250을 두 조건에 다시 넣으면 식 (1)은 64009 - 63001 - 62500 + 63503 = 2011, 식 (2)는 64009 + 189003 + 187500 - 190509 - 126500 - 125500 = -1997로 정확히 맞는다. 또한 253 ≥ 251 ≥ 250으로 a ≥ b ≥ c 를 지킨다. 차이 (a-b, b-c) = (2, 1)은 제곱합에서 찾은 {1,2} 해와 일치한다. 답은 선택지 (E) 인 253 이다.

💡핵심 정리

두 식이 모두 지저분해 보이면 먼저 더해 보라. 여기서는 그 덩어리가 차이의 제곱합으로 줄어들고, 세 수가 1, 2, 3 만큼만 떨어져 있음을 알고 나면 나누어떨어짐을 한 번만 확인해서 a = 253 이 남는다.

두 식을 더한다
제곱의 합으로 다시 쓰기
차이에 이름 붙이기
차이 확정하기
각 경우를 a 에 관한 식으로
경우 A 버리기
경우 B 풀기