AMC 10 · 2012 · #24

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationsperfect-squares caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

$a$ , $b$ , $c$ 가 $a\ge$ $b\ge$ $c$ 를 만족하는 양의 정수이고
$a^2-b^2-c^2+ab=2011$ 이고
$a^2+3b^2+3c^2-3ab-2ac-2bc=-1997$ 이라고 하자.

$a$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

249

(B)

250

(C)

251

(D)

252

(E)

253

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 $a \ge b \ge c$ 가 지저분한 두 식 $a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011$ 과 $a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 3ab - 2ac - 2bc = -1997$ 을 만족한다. $a$ 의 값을 구하라.

주어진 것: $a$, $b$, $c$ 는 양의 정수이다; $a \ge b \ge c$; 식 (1): $a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011$; 식 (2): $a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 3ab - 2ac - 2bc = -1997$; 선택지: (A) 249, (B) 250, (C) 251, (D) 252, (E) 253

구하는 것: $a$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기, #7 작은 문제로 쪼개기

각 식은 제곱항과 곱항이 뒤엉킨 덩어리다. 핵심은 도구 #15(다르게 정리하기): 두 식을 더한다. 지저분한 곱항들이 서로 맞물려 정리되면서 합은 대칭형 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ 로 줄어드는데, 이것은 정확히 $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ 의 절반이다. 그러면 문제는 세 수 사이의 차이에 관한 이야기로 바뀐다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 차이를 $x = a-b$, $y = b-c$ 로 이름 붙이고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 작은 제곱합의 정수해가 몇 개뿐임을 이용해 차이를 확정하며, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 마무리를 두 경우로 나누어 각각을 식 (1) 에 넣어 확인한다.

실행 — 정답: E

#15 다르게 정리하기 8.EE.C.8 단계 1

두 식을 더한다

식 (1) 과 식 (2) 를 항끼리 더한다.
$a^2$ 항은 $2a^2$, $b^2$ 항은 $-b^2 + 3b^2 = 2b^2$, $c^2$ 항은 $-c^2 + 3c^2 = 2c^2$, $ab$ 항은 $ab - 3ab = -2ab$, 그리고 $-2ac$, $-2bc$ 는 그대로 내려온다.
우변은 $2011 + (-1997) = 14$ 가 된다.
양변을 $2$ 로 나눈다.

$$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 14 \;\Rightarrow\; a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 7$$

💡 같은 미지수에 관한 두 식은 더할 수 있고, 여기서는 지저분한 곱항이 일부 상쇄되어 깔끔한 대칭식이 남는다.

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 2

제곱의 합으로 다시 쓰기

대칭식 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ 는 정확히 $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ 의 절반이다 (세 제곱을 전개하면 $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$ 가 된다).
따라서 양변에 $2$ 를 곱한다.

$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 14$$

💡 세 변수의 대칭 이차식은 차이의 제곱으로 다시 묶이는데, 이는 수들이 서로 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 3

차이에 이름 붙이기

$x = a - b$, $y = b - c$ 라 하자.
$a \ge b \ge c$ 이므로 $x$ 와 $y$ 는 모두 0 이상의 정수이고, 가장 큰 차이는 $a - c = x + y$ 이다.
차이의 제곱식에 대입하면 $x^2 + y^2 + (x+y)^2 = 14$ 이다.
$(x+y)^2$ 를 전개해 정리하면 $2x^2 + 2y^2 + 2xy = 14$ 이고, 양변을 $2$ 로 나눈다.

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

💡 수 자체가 아니라 차이를 다루면 세 미지수가 작은 두 미지수로 줄어든다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 4

차이 확정하기

$x^2 + xy + y^2 = 7$ 을 만족하는 0 이상의 정수 $x, y$ 를 찾는다.
각 변수는 최대 $2$ 이다 (만약 $x \ge 3$ 이면 $x^2 \ge 9 > 7$).
$x = 1, y = 2$ 를 넣으면 $1 + 2 + 4 = 7$, $x = 2, y = 1$ 을 넣으면 $4 + 2 + 1 = 7$.
다른 쌍은 없다 ($x = y$ 이면 $3x^2 = 7$ 로 불가능).
따라서 차이는 순서를 무시하면 $\{x, y\} = \{1, 2\}$ 이고, 어느 경우든 $a - c = x + y = 3$ 이다.

$$(x, y) = (1, 2) \text{ 또는 } (2, 1)$$

💡 작은 수와 같은 제곱합은 정수해가 몇 개뿐이라 그냥 나열해 볼 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 5

각 경우를 $a$ 에 관한 식으로

이제 식 (1): $a^2 + ab - b^2 - c^2 = 2011$ 을 이용한다.
각 경우마다 $b$ 와 $c$ 를 $a$ 로 나타내고 제곱을 전개한다.
경우 A ($x=1, y=2$): $b = a-1$, $c = a-3$ 이면 $a^2 + a(a-1) - (a-1)^2 - (a-3)^2 = 7a - 10$.
경우 B ($x=2, y=1$): $b = a-2$, $c = a-3$ 이면 $a^2 + a(a-2) - (a-2)^2 - (a-3)^2 = 8a - 13$.

$$\text{경우 A: } 7a - 10 = 2011 \qquad \text{경우 B: } 8a - 13 = 2011$$

💡 알아낸 차이를 대입하면 식 (1) 의 이차식이 $a$ 에 관한 하나의 일차식으로 줄어든다.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.2 단계 6

경우 A 버리기

경우 A 는 $7a - 10 = 2011$, 즉 $7a = 2021$ 을 요구한다.
그러나 $2021 = 7 \times 288 + 5$ 로 $7$ 의 배수가 아니므로 $a$ 는 정수가 될 수 없다.
$a$ 는 양의 정수여야 하므로 경우 A 는 불가능하다.

$$7a = 2021, \quad 2021 \div 7 = 288 \text{ 나머지 } 5 \;\Rightarrow\; \text{정수 } a \text{ 없음}$$

💡 정수 미지수는 나눗셈이 딱 떨어질 때만 살아남고, 나머지가 남으면 그 경우는 죽는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 7

경우 B 풀기

경우 B 는 $8a - 13 = 2011$, 즉 $8a = 2024$ 이므로 $a = 253$ 이다.
그러면 $b = 251$, $c = 250$ 으로 $a \ge b \ge c$ 를 만족하고 모두 양의 정수다.
원래 두 식이 성립하는지 빠르게 확인하면 $253^2 - 251^2 - 250^2 + 253 \cdot 251 = 2011$, $253^2 + 3 \cdot 251^2 + 3 \cdot 250^2 - 3 \cdot 253 \cdot 251 - 2 \cdot 253 \cdot 250 - 2 \cdot 251 \cdot 250 = -1997$ 로 둘 다 맞는다.
따라서 $a = 253$, 정답은 (E) 이다.

$$8a = 2024 \;\Rightarrow\; a = 253 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 살아남은 하나의 경우가 깔끔한 일차식을 주고, 그 정수해가 곧 답이다.

[1] #15 8.EE.C.8 식 (1) 과 식 (2) 를 항끼리 더한다. $a^2$ 항은 $2a^2$, $b^2$ 항은 $-b^2 + 3b^2 = 2b^2$, $c^2$ 항

[2] #15 6.EE.A.3 대칭식 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ 는 정확히 $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ 의 절반이다

[3] #4 6.EE.B.6 $x = a - b$, $y = b - c$ 라 하자. $a \ge b \ge c$ 이므로 $x$ 와 $y$ 는 모두 0 이상의 정수이고, 가장

[4] #3 6.EE.B.5 $x^2 + xy + y^2 = 7$ 을 만족하는 0 이상의 정수 $x, y$ 를 찾는다. 각 변수는 최대 $2$ 이다 (만약 $x \ge 3$

[5] #7 6.EE.A.1 이제 식 (1): $a^2 + ab - b^2 - c^2 = 2011$ 을 이용한다. 각 경우마다 $b$ 와 $c$ 를 $a$ 로 나타내고 제곱

[6] #3 7.NS.A.2 경우 A 는 $7a - 10 = 2011$, 즉 $7a = 2021$ 을 요구한다. 그러나 $2021 = 7 \times 288 + 5$ 로 $

[7] #7 8.EE.C.7 경우 B 는 $8a - 13 = 2011$, 즉 $8a = 2024$ 이므로 $a = 253$ 이다. 그러면 $b = 251$, $c = 250

검토

합리성 확인: $a = 253$, $b = 251$, $c = 250$ 을 두 조건에 다시 넣으면 식 (1) 은 $64009 - 63001 - 62500 + 63503 = 2011$, 식 (2) 는 $64009 + 189003 + 187500 - 190509 - 126500 - 125500 = -1997$ 로 정확히 맞는다. 또한 $253 \ge 251 \ge 250$ 으로 $a \ge b \ge c$ 를 지킨다. 차이 $(a-b, b-c) = (2, 1)$ 은 제곱합에서 찾은 $\{1,2\}$ 해와 일치한다. 답은 선택지 (E) 인 $253$ 이다.

대안 접근: 마지막에 경우를 나누지 않고, 두 경우식을 먼저 비교할 수도 있다. $8a - 13$ 과 $7a - 10$ 이 각각 $2011$ 과 같아지려면 나눗셈이 떨어져야 하므로 나누어떨어짐을 바로 확인한다. $2011 + 10 = 2021$ 은 $7$ 로 나누어떨어지지 않고, $2011 + 13 = 2024$ 는 $8$ 로 나누어떨어진다. 이것만으로 경우 B 가 선택되고, $b$ 와 $c$ 를 따로 구하지 않아도 같은 $a = 253$ 이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (주어진 두 식을 항끼리 더해 하나의 더 간단한 식으로 결합하기.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (대칭식 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ 를 $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ 의 절반으로 다시 쓰기.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (차이 변수 $x = a-b$, $y = b-c$ 를 도입해 세 미지수를 둘로 줄이기.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values ($x^2 + xy + y^2 = 7$ 의 0 이상 정수해를 나열하기.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (각 경우를 식 (1) 에 대입할 때 $(a-1)^2$, $(a-2)^2$, $(a-3)^2$ 를 전개하기.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers ($2021$ 이 $7$ 로 나누어떨어지는지 확인해 정수 $a$ 가 없는 경우를 버리기.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($8a - 13 = 2011$ 을 풀어 $a = 253$ 얻기.)

⭐ 두 식이 모두 지저분해 보이면 먼저 더해 보라. 여기서는 그 덩어리가 차이의 제곱합으로 줄어들고, 세 수가 $1$, $2$, $3$ 만큼만 떨어져 있음을 알고 나면 나누어떨어짐을 한 번만 확인해서 $a = 253$ 이 남는다.