AMC 10 · 2012 · #6

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationsfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 양수의 곱은 9이다. 이 두 수 중 한 수의 역수는 다른 수의 역수의 4배이다. 두 수의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{10}{3}$

(B)

$\frac{20}{3}$

(C)

(D)

$\frac{15}{2}$

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 양수를 곱하면 9입니다. 한 수의 역수가 다른 수의 역수의 4배입니다. 두 수의 합을 구하세요.

주어진 것: 두 수는 모두 양수입니다.; 두 수의 곱은 9입니다.; 한 수의 역수는 다른 수의 역수의 4배입니다.

구하는 것: 두 수 자체.; 두 수의 합.

이해

문제 재정리: 두 양수를 곱하면 9입니다. 한 수의 역수가 다른 수의 역수의 4배입니다. 두 수의 합을 구하세요.

주어진 것: 두 수는 모두 양수입니다.; 두 수의 곱은 9입니다.; 한 수의 역수는 다른 수의 역수의 4배입니다.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기

두 개의 모르는 수가 곱과 역수 관계라는 두 가지 사실로 묶여 있습니다. 각 수에 문자를 붙이면 두 사실을 각각 식으로 바꿀 수 있고, 그 식들을 합쳐 한 변수만 남는 식으로 만들어 풀 수 있습니다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

두 수에 이름 붙이기

두 양수를 $a$와 $b$라고 하겠습니다.
문자를 붙이면 말로 헤매지 않고 각 사실을 식으로 적을 수 있습니다.

$$a,\ b > 0$$

💡 문자는 아직 모르는 수를 대신하는 자리표시일 뿐입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 2

두 사실을 식으로 바꾸기

"곱이 9이다"는 $ab = 9$가 됩니다.
"한 수의 역수가 다른 수의 역수의 4배이다"는 $\frac{1}{a} = 4\cdot\frac{1}{b}$가 됩니다.

$$ab = 9, \qquad \frac{1}{a} = \frac{4}{b}$$

💡 각 문장이 식 하나에 그대로 대응됩니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

역수 식 정리하기

$\frac{1}{a} = \frac{4}{b}$에서 대각선으로 곱하면 $b = 4a$입니다.
즉 한 수가 다른 수의 4배입니다.

$$\frac{1}{a} = \frac{4}{b} \;\Rightarrow\; b = 4a$$

💡 작은 수일수록 역수가 크므로, 역수가 큰 쪽이 더 작은 수입니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 4

대입해서 a 구하기

$ab = 9$에서 $b$를 $4a$로 바꾸면 $a\cdot 4a = 9$, 즉 $4a^2 = 9$이고 $a^2 = \frac{9}{4}$입니다.
$a$가 양수이므로 $a = \frac{3}{2}$입니다.

$$a\cdot 4a = 9 \;\Rightarrow\; 4a^2 = 9 \;\Rightarrow\; a^2 = \tfrac{9}{4} \;\Rightarrow\; a = \tfrac{3}{2}$$

💡 대입하면 두 미지수가 하나로 줄고, 양의 제곱근을 취하면 제곱이 풀립니다.

#4 변수 도입하기 5.NF.A.1 단계 5

b를 구하고 더하기

그러면 $b = 4a = 4\cdot\frac{3}{2} = 6$입니다.
합은 $\frac{3}{2} + 6 = \frac{3}{2} + \frac{12}{2} = \frac{15}{2}$입니다.
따라서 답은 (D)입니다.

$$b = 6, \qquad a + b = \tfrac{3}{2} + 6 = \tfrac{15}{2}$$

💡 자연수를 이분수로 바꿔 분모를 맞춘 뒤 더합니다.

[1] #4 6.EE.B.6 두 양수를 $a$와 $b$라고 하겠습니다. 문자를 붙이면 말로 헤매지 않고 각 사실을 식으로 적을 수 있습니다.

[2] #13 6.EE.A.2 "곱이 9이다"는 $ab = 9$가 됩니다. "한 수의 역수가 다른 수의 역수의 4배이다"는 $\frac{1}{a} = 4\cdot\frac{1

[3] #13 7.EE.B.4 $\frac{1}{a} = \frac{4}{b}$에서 대각선으로 곱하면 $b = 4a$입니다. 즉 한 수가 다른 수의 4배입니다.

[4] #4 8.EE.A.2 $ab = 9$에서 $b$를 $4a$로 바꾸면 $a\cdot 4a = 9$, 즉 $4a^2 = 9$이고 $a^2 = \frac{9}{4}$입니다

[5] #4 5.NF.A.1 그러면 $b = 4a = 4\cdot\frac{3}{2} = 6$입니다. 합은 $\frac{3}{2} + 6 = \frac{3}{2} + \fr

검토

합리성 확인: $a=\frac{3}{2}$, $b=6$으로 두 사실을 확인합니다. 곱은 $\frac{3}{2}\cdot 6 = 9$ (맞음), 그리고 $\frac{1}{a} = \frac{2}{3}$, $\frac{1}{b} = \frac{1}{6}$이며 실제로 $\frac{2}{3} = 4\cdot\frac{1}{6}$ (맞음). 합 $\frac{15}{2} = 7.5$는 보기 (D)와 일치합니다.

대안 접근: 대수 대신 추측하고 확인하기: 한 수가 다른 수의 4배이면서 곱이 9인 두 수를 찾습니다. $\frac{3}{2}$과 $6$을 넣으면 $\frac{3}{2}\cdot 6 = 9$가 바로 나오고, 그 합은 $\frac{15}{2}$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (모르는 두 수에 문자를 붙여 이름 짓기.)
6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (곱과 역수 사실을 식으로 옮기기.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (역수 식을 대각선으로 곱해 b = 4a로 바꾸기.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions (a^2 = 9/4를 양의 제곱근으로 풀기.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (3/2 + 6을 더해 최종 합 15/2 구하기.)

⭐ 각 문장을 식으로 바꾸고, 한 사실로 문자 하나를 대신 채우면, 두 미지수가 풀 수 있는 하나로 줄어듭니다.