AMC 10 · 2012 · #6

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationsfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 양수를 곱하면 9입니다. 한 수의 역수가 다른 수의 역수의 4배입니다. 두 수의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{10}{3}$

(B)

$\frac{20}{3}$

(C)

(D)

$\frac{15}{2}$

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 개의 모르는 수가 곱과 역수 관계라는 두 가지 사실로 묶여 있습니다. 각 수에 문자를 붙이면 두 사실을 각각 식으로 바꿀 수 있고, 그 식들을 합쳐 한 변수만 남는 식으로 만들어 풀 수 있습니다.

1STEP 1

두 수에 이름 붙이기

두 양수를 a, b라고 두면 각 사실을 말 대신 식으로 적을 수 있습니다.

a, b ＞ 0

2STEP 2

두 사실을 식으로 바꾸기

"곱이 9"는 ab = 9, "역수가 4배"는 1/a = 4·(1/b)가 됩니다.

ab = 9, 1/a = 4/b

3STEP 3

역수 식 정리하기

1/a = 4/b를 대각선으로 곱하면 b = 4a, 즉 한 수가 다른 수의 4배입니다.

1/a = 4/b → b = 4a

4STEP 4

대입해서 a 구하기

ab = 9에 대입하면 4a² = 9, a² = 9/4이고 a가 양수이므로 a = 3/2입니다.

a · 4a = 9 → 4a² = 9 → a² = 9/4 → a = 3/2

5STEP 5

b를 구하고 더하기

그러면 b = 4a = 6이고, 합은 3/2 + 12/2 = 15/2, 보기 (D)입니다.

b = 6, a + b = 3/2 + 6 = 15/2

정답

15/2

a=3/2, b=6으로 두 사실을 확인합니다. 곱은 3/2 · 6 = 9 (맞음), 그리고 1/a = 2/3, 1/b = 1/6이며 실제로 2/3 = 4·1/6 (맞음). 합 15/2 = 7.5는 보기 (D)와 일치합니다.

💡핵심 정리

각 문장을 식으로 바꾸고, 한 사실로 문자 하나를 대신 채우면, 두 미지수가 풀 수 있는 하나로 줄어듭니다.

두 수에 이름 붙이기
두 사실을 식으로 바꾸기
역수 식 정리하기
대입해서 a 구하기
b를 구하고 더하기

두 수에 이름 붙이기

두 사실을 식으로 바꾸기

역수 식 정리하기

대입해서 a 구하기

b를 구하고 더하기

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