AMC 10 · 2012 · #7

학년 4 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

ratio-proportionfraction-arithmetic easier-related-problem ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

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문제

구슬이 담긴 주머니에서 구슬의 $\frac{3}{5}$ 은 파란색이고 나머지는 빨간색이다. 빨간 구슬의 수를 두 배로 늘리고 파란 구슬의 수는 그대로 둔다면, 전체 구슬 중 빨간 구슬의 비율은 얼마가 되는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{5}$

(B)

$\frac{3}{7}$

(C)

$\frac{4}{7}$

(D)

$\frac{3}{5}$

(E)

$\frac{4}{5}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 구슬 주머니의 $\frac{3}{5}$은 파란 구슬이고 나머지는 빨간 구슬이다. 파란 구슬 수는 그대로 두고 빨간 구슬 수만 두 배로 늘린다. 그 후 전체 구슬 중 빨간 구슬이 차지하는 분수를 구하라.

주어진 것: 구슬의 $\frac{3}{5}$은 파란 구슬이다; 나머지 구슬은 빨간 구슬이다; 빨간 구슬 수는 두 배가 되고, 파란 구슬 수는 변하지 않는다; 선택지: (A) $\frac{2}{5}$, (B) $\frac{3}{7}$, (C) $\frac{4}{7}$, (D) $\frac{3}{5}$, (E) $\frac{4}{5}$

구하는 것: 빨간 구슬을 두 배로 늘린 뒤, 전체 구슬 중 빨간 구슬이 차지하는 분수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

분수만 주어지고 실제 개수는 없으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 이를 구체적인 총 $5$개 구슬로 바꾸어 분수를 셀 수 있는 물건으로 만든다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 처음 빨간 구슬 몫을 '파란색이 아닌 전부'로 구한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 원래 빨강·파랑 몫에 지나지 않는 함정 (A) $\frac{2}{5}$와 (D) $\frac{3}{5}$를 막아 준다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 4.NF.B.3 단계 1

처음 빨간 구슬 분수 구하기

색은 파랑과 빨강뿐이므로, 빨강은 파랑을 뺀 나머지 전부다.
주머니 전체를 $1 = \frac{5}{5}$로 보고 파란 몫을 빼자: $\frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
그래서 처음에 구슬의 $\frac{2}{5}$이 빨강이다.

$$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$$

💡 주머니 전체를 채우는 두 색의 몫은 더하면 하나의 전체가 되어야 한다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.NF.A.1 단계 2

다루기 쉬운 총 5개로 정하기

실제 개수가 없고 두 배로 늘려도 비율은 그대로이므로, 오분의 몇이 딱 정수가 되는 가장 쉬운 총합인 $5$개를 고른다.
그러면 $5$의 $\frac{3}{5}$은 파랑 $3$개, $\frac{2}{5}$은 빨강 $2$개다.
이제 분수를 다루는 대신 구슬을 세는 문제가 된다.

$$5 \text{개 구슬} \;\Rightarrow\; \text{파랑 } 3, \; \text{빨강 } 2$$

💡 오분의 하나가 구슬 한 개가 되도록 총합을 고르면, 분수가 손으로 셀 수 있는 물건이 된다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.C.7 단계 3

빨간 구슬 두 배로 늘리기

빨강을 두 배로 늘리면 $2 \times 2 = 4$개의 빨간 구슬이 된다.
파랑은 건드리지 않으므로 여전히 $3$개다.
이제 주머니에는 모두 $4 + 3 = 7$개의 구슬이 들어 있다.

$$2 \times 2 = 4 \text{ 빨강}, \quad 3 \text{ 파랑}, \quad 4 + 3 = 7 \text{ 전체}$$

💡 빨강 무더기만 두 배로 늘리면 전체는 늘린 빨강 수만큼만 커지고 파랑은 그대로다.

#3 가능성 지우기 3.NF.A.1 단계 4

새로운 빨간 구슬 분수 쓰기

빨강 분수는 빨강을 새 전체로 나눈 것이다: $\frac{4}{7}$.
함정을 확인하자: $\frac{2}{5}$ (A)는 두 배로 늘리기 전의 옛 빨강 몫이고, $\frac{3}{5}$ (D)는 파랑 몫이라 둘 다 새 빨강 몫이 아니다.
값 $\frac{4}{7}$은 선택지 (C)와 일치한다.

$$\frac{4}{4+3} = \frac{4}{7} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 무리의 분수는 원하는 부분을 새로운 전체 위에 올려 쓴 것일 뿐이다.

[1] #16 4.NF.B.3 색은 파랑과 빨강뿐이므로, 빨강은 파랑을 뺀 나머지 전부다. 주머니 전체를 $1 = \frac{5}{5}$로 보고 파란 몫을 빼자: $\frac

[2] #9 3.NF.A.1 실제 개수가 없고 두 배로 늘려도 비율은 그대로이므로, 오분의 몇이 딱 정수가 되는 가장 쉬운 총합인 $5$개를 고른다. 그러면 $5$의 $\f

[3] #9 3.OA.C.7 빨강을 두 배로 늘리면 $2 \times 2 = 4$개의 빨간 구슬이 된다. 파랑은 건드리지 않으므로 여전히 $3$개다. 이제 주머니에는 모두

[4] #3 3.NF.A.1 빨강 분수는 빨강을 새 전체로 나눈 것이다: $\frac{4}{7}$. 함정을 확인하자: $\frac{2}{5}$ (A)는 두 배로 늘리기 전의

검토

합리성 확인: 방향을 확인하자: 빨강을 두 배로 늘리면 빨강 몫이 옛 $\frac{2}{5} = 0.4$보다 커져야 하지만 파랑이 사라지지는 않으므로, 빨강은 $0.4$와 $1$ 사이에 있어야 한다. $\frac{4}{7} \approx 0.57$이 그 사이에 있고, 파랑은 $\frac{3}{7} \approx 0.43$이며 $\frac{4}{7} + \frac{3}{7} = 1$로 맞아떨어진다. 이는 (A) $\frac{2}{5}$(변화 없음)와 (E) $\frac{4}{5}$(너무 큼)를 배제하고 (C)를 확인해 준다.

대안 접근: 고정된 개수 대신 도구 #4(변수 도입하기)를 쓴다. 주머니에 $5n$개의 구슬이 있다고 하면 $3n$개가 파랑, $2n$개가 빨강이다. 빨강을 두 배로 늘리면 빨강 $4n$개, 파랑은 여전히 $3n$개로 전체는 $7n$개다. 빨강 분수는 $\frac{4n}{7n} = \frac{4}{7}$이고 $n$이 약분되어, 실제 구슬 수는 애초에 상관없었음을 보여 준다. 선택지 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NF.B.3 Understand a fraction with numerator greater than one as sum of unit fractions (하나의 전체에서 파란 몫을 빼기, $\frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$, 하여 처음 빨간 구슬 분수를 구하기.)
3.NF.A.1 Understand a fraction as quantity formed by parts of a whole ($5$개 구슬의 $\frac{3}{5}$과 $\frac{2}{5}$을 각각 $3$과 $2$로 읽고, 마지막 빨강 몫을 부분 대 전체로 쓰기.)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (빨간 구슬 수를 두 배로, $2 \times 2 = 4$, 늘리고 새 주머니를 합산하기, $4 + 3 = 7$.)

⭐ 분수만 주어질 때는 그 분수가 딱 정수가 되는 작은 총합을 고르고 — 여기서는 $5$개 구슬 — 무슨 일이 일어나는지 세어 본 뒤, 새 분수를 읽어라: $\frac{4}{7}$.