AMC 10 · 2012 · #9

학년 7 probability

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

특별한 육면체 주사위 두 개를 굴린다. 한 주사위는 짝수만 나오고 2, 4, 6이 각각 두 면씩 있다. 다른 주사위는 홀수만 나오고 1, 3, 5가 각각 두 면씩 있다. 두 윗면의 수의 합이 7이 될 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{5}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

각 주사위는 실제 6면을 가지므로 두 굴림은 같은 확률의 면 짝짓기 6 × 6 = 36가지를 만들고, 확률은 (합이 7인 짝짓기의 수)/36이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 짝짓기를 깔끔하게 센다. 목록을 짧게 하려고 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 짝수+홀수가 7이 되는 값 쌍 — 2+5, 4+3, 6+1뿐 — 을 먼저 찾고, 각 값 쌍을 두 면씩 있는 것으로 센다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 빠른 독립 점검을 준다: 짝수 주사위를 먼저 고정하고 홀수 주사위의 몇 면이 합을 완성하는지 묻는다.

1STEP 1

같은 확률의 모든 경우 세기

같은 수가 두 번 적혀 있어도 면은 모두 같은 확률이므로, 두 주사위는 6 × 6 = 36가지 동등한 짝을 만든다.

전체 경우 = 6 × 6 = 36

2STEP 2

7을 만드는 값 쌍 찾기

각 짝수에는 7을 만드는 홀수 짝이 딱 하나: 2+5, 4+3, 6+1. 셋 다 홀수 주사위에 있으므로 값 쌍은 3개다.

2+5=7, 4+3=7, 6+1=7

3STEP 3

값 쌍마다 면의 수 세기

각 값은 두 면씩이라 이기는 쌍마다 2 × 2 = 4가지씩, 모두 더하면 12가지다.

2 × 2 = 4 (각각); 4+4+4 = 12

4STEP 4

확률 만들기

이기는 경우를 전체로 나누면 12/36, 약분하면 1/3 — 선택지 (D)이다.

P(합=7) = 12/36 = 1/3 → (D)

정답

1/3

값 1/3≈ 0.33은 타당하다: 합 7은 비교적 잘 나오는 합이므로, 가장 작은 선택지 1/6보다 훨씬 크고 1/2보다 작은 3분의 1 언저리 값이 어울린다. 구조적 점검도 이를 뒷받침한다: 짝수 주사위의 6면 각각에 대해 7을 완성하는 홀수 값은 정확히 하나(즉 홀수 면 두 개)이므로, 이기는 경우는 홀수 주사위 면의 깔끔한 2/6=1/3이다. 1/6이나 1/4 같은 선택지는 각 값이 두 면에 있음을 잊어야 나온다.

💡핵심 정리

같은 확률의 36가지 면 짝짓기를 세고, 그중 합이 7인 12가지를 찾아 나누면 1/3이 된다.

같은 확률의 모든 경우 세기
7을 만드는 값 쌍 찾기
값 쌍마다 면의 수 세기
확률 만들기

같은 확률의 모든 경우 세기

7을 만드는 값 쌍 찾기

값 쌍마다 면의 수 세기

확률 만들기

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