AMC 10 · 2012 · #9

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

probability-basicsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

육면체 주사위 한 쌍에 숫자를 표시하되, 한 주사위에는 짝수만(2, 4, 6이 각각 두 면씩), 다른 주사위에는 홀수만(1, 3, 5가 각각 두 면씩) 나타나도록 하였다. 이 주사위 한 쌍을 던진다. 두 주사위의 윗면에 나온 숫자의 합이 7일 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{5}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 특별한 육면체 주사위 두 개를 굴린다. 한 주사위는 짝수만 나오고 2, 4, 6이 각각 두 면씩 있다. 다른 주사위는 홀수만 나오고 1, 3, 5가 각각 두 면씩 있다. 두 윗면의 수의 합이 7이 될 확률을 구하라.

주어진 것: 짝수 주사위의 6면은 2, 2, 4, 4, 6, 6이다; 홀수 주사위의 6면은 1, 1, 3, 3, 5, 5이다; 두 주사위를 함께 굴려 윗면의 합을 본다; 선택지: (A) 1/6, (B) 1/5, (C) 1/4, (D) 1/3, (E) 1/2

구하는 것: 두 윗면의 합이 7이 될 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기

각 주사위는 실제 6면을 가지므로 두 굴림은 같은 확률의 면 짝짓기 $6\times 6 = 36$가지를 만들고, 확률은 (합이 7인 짝짓기의 수)$/36$이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 짝짓기를 깔끔하게 센다. 목록을 짧게 하려고 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 짝수+홀수가 7이 되는 값 쌍 — $2+5$, $4+3$, $6+1$뿐 — 을 먼저 찾고, 각 값 쌍을 두 면씩 있는 것으로 센다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 빠른 독립 점검을 준다: 짝수 주사위를 먼저 고정하고 홀수 주사위의 몇 면이 합을 완성하는지 묻는다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 1

같은 확률의 모든 경우 세기

각 주사위는 6면이고, 어떤 수는 두 번 적혀 있어도 면 자체는 모두 윗면이 될 확률이 같다.
두 주사위를 독립적으로 굴리면 같은 확률의 면 짝짓기 $6 \times 6 = 36$가지가 나온다.
모든 짝짓기의 확률이 같으므로, 합이 7일 확률은 합이 7인 짝짓기의 수를 36으로 나눈 값이다.
나머지 할 일은 그 이기는 경우를 세는 것이다.

$$\text{전체 경우} = 6 \times 6 = 36$$

💡 모든 면이 같은 확률이면 확률은 세기 문제다: 좋은 짝짓기를 전체 36가지 짝짓기로 나눈다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

7을 만드는 값 쌍 찾기

첫 주사위는 짝수 2, 4, 6만, 둘째 주사위는 홀수 1, 3, 5만 보여준다.
각 짝수 값을 7에 도달하는 데 필요한 홀수 값과 짝지어 보자: $2$는 $5$가, $4$는 $3$이, $6$은 $1$이 필요하다.
이 짝들은 모두 실제로 홀수 주사위에 있으므로, 합이 7인 값 쌍은 정확히 세 개다: $(2,5)$, $(4,3)$, $(6,1)$.

$$2+5=7,\quad 4+3=7,\quad 6+1=7$$

💡 각 짝수는 7을 완성하는 홀수 짝이 정확히 하나뿐이라, 이기는 쌍을 쉽게 나열할 수 있다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

값 쌍마다 면의 수 세기

이제 두 면씩 있음을 이용한다.
값 $2$는 짝수 주사위의 두 면에 있고 $5$는 홀수 주사위의 두 면에 있으므로, 쌍 $(2,5)$는 $2 \times 2 = 4$가지 면 짝짓기로 나온다.
$(4,3)$과 $(6,1)$도 마찬가지로 각각 $4$가지다.
세 값 쌍을 더하면 합이 7인 면 짝짓기는 $4 + 4 + 4 = 12$가지다.

$$2\times 2 = 4 \text{(각각)};\quad 4+4+4 = 12$$

💡 각 주사위의 맞는 두 면이 곱해지므로, 이기는 값 쌍마다 네 번씩 세어진다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.NS.A.3 단계 4

확률 만들기

이기는 12가지 짝짓기를 전체 36가지로 나눈다: $\tfrac{12}{36}$.
두 수 모두 12로 나누어지므로 $\tfrac{1}{3}$로 약분된다.
이는 선택지 (D)와 일치하므로 답은 (D)이다.

$$P(\text{합}=7) = \dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 이기는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눠 간단한 분수로 줄인다.

[1] #2 7.SP.C.7 각 주사위는 6면이고, 어떤 수는 두 번 적혀 있어도 면 자체는 모두 윗면이 될 확률이 같다. 두 주사위를 독립적으로 굴리면 같은 확률의 면 짝

[2] #7 7.SP.C.8 첫 주사위는 짝수 2, 4, 6만, 둘째 주사위는 홀수 1, 3, 5만 보여준다. 각 짝수 값을 7에 도달하는 데 필요한 홀수 값과 짝지어 보자

[3] #2 7.SP.C.8 이제 두 면씩 있음을 이용한다. 값 $2$는 짝수 주사위의 두 면에 있고 $5$는 홀수 주사위의 두 면에 있으므로, 쌍 $(2,5)$는 $2 \

[4] #2 7.NS.A.3 이기는 12가지 짝짓기를 전체 36가지로 나눈다: $\tfrac{12}{36}$. 두 수 모두 12로 나누어지므로 $\tfrac{1}{3}$로

검토

합리성 확인: 값 $\tfrac{1}{3}\approx 0.33$은 타당하다: 합 7은 비교적 잘 나오는 합이므로, 가장 작은 선택지 $\tfrac{1}{6}$보다 훨씬 크고 $\tfrac{1}{2}$보다 작은 3분의 1 언저리 값이 어울린다. 구조적 점검도 이를 뒷받침한다: 짝수 주사위의 6면 각각에 대해 7을 완성하는 홀수 값은 정확히 하나(즉 홀수 면 두 개)이므로, 이기는 경우는 홀수 주사위 면의 깔끔한 $\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$이다. $\tfrac{1}{6}$이나 $\tfrac{1}{4}$ 같은 선택지는 각 값이 두 면에 있음을 잊어야 나온다.

대안 접근: 짝수 주사위를 먼저 고정한다(도구 #16, 관점 바꾸기). 그것이 2, 4, 6 무엇을 보이든 7을 만드는 홀수는 정확히 하나이고, 그 수는 홀수 주사위의 6면 중 2면에 있다. 그래서 홀수 주사위가 합을 완성할 확률은 짝수 주사위가 무엇이든 $\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$이고, 36가지를 모두 세지 않고도 바로 $\tfrac{1}{3}$을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (36가지 면 짝짓기를 모두 같은 확률로 보아, 확률을 합이 7인 짝짓기의 수를 36으로 나눈 값으로 두는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (합이 7인 값 쌍을 나열하고 두 면씩 있는 것을 세어 이기는 짝짓기 12가지에 이르는 데 사용.)
7.NS.A.3 Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers (12/36을 최종 확률 1/3로 약분하는 데 사용.)

⭐ 같은 확률의 36가지 면 짝짓기를 세고, 그중 합이 7인 12가지를 찾아 나누면 1/3이 된다.