AMC 10 · 2012 · #10

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

divisor-countprime-factorizationfactors systematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

비례식

\frac{M}{6}=\frac{6}{N}

이 성립해야 하고, 여기서 M 과 N 은 모두 양의 정수입니다. 순서를 따지므로 (M,N)과 (N,M)은 두 값이 같은 경우가 아니라면 서로 다른 것으로 셉니다. 이 비례식을 만족하는 순서쌍 (M,N)의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

비례식 안에는 더 간단한 식이 숨어 있으므로, 먼저 도구 #4(변수 도입하기)로 M/6=6/N을 교차곱하여 MN=36으로 바꿉니다. 문제가 "곱해서 36이 되는 양의 정수 순서쌍이 몇 개인가"로 바뀌면, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 36의 약수를 순서대로 훑어 하나도 빠뜨리거나 겹치지 않게 셉니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 순서 없는 쌍으로 잘못 세어 5가 나오는 함정을 막아 줍니다.

1STEP 1

비례식을 교차곱하기

두 분수가 같으니 교차곱하면 $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$ 은 MN=36 이 됩니다.

M/6=6/N → MN=6 × 6=36

2STEP 2

36의 약수 쌍으로 보기

36의 약수 M 마다 짝 N= $\frac{36}{M}$ 이 정해지므로, 순서쌍과 약수가 일대일로 대응합니다.

N=36/M, M ∣ 36 일 때만 성립

3STEP 3

36의 약수를 순서대로 나열하기

약수 1,2,3,4,6,9,12,18,36이 순서쌍 9 개를 주고, (6,6)만 자기 자신과 짝입니다 — 답은 (D).

1,2,3,4,6,9,12,18,36 → 9 개 → (D)

정답

순서쌍의 개수는 36의 약수의 개수와 같습니다. 소인수분해로 36=2² · 3² 이므로 약수 개수는 (2+1)(2+1)=9 로, 손으로 나열한 결과와 일치합니다. 만약 순서 없는 쌍으로 잘못 세면 5가 나오는데(뒤집힌 네 쌍과 (6,6)), 이는 선택지에도 없으므로 순서를 고려한 셈이 맞고 9가 옳다는 것을 확인해 줍니다.

💡핵심 정리

비례식을 교차곱해 MN=36을 만든 다음 36의 약수를 세면 된다 — 약수 하나가 순서쌍 하나다.

비례식을 교차곱하기
36의 약수 쌍으로 보기
36의 약수를 순서대로 나열하기

비례식을 교차곱하기

36의 약수 쌍으로 보기

36의 약수를 순서대로 나열하기

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