AMC 10 · 2012 · #10

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

divisor-countprime-factorizationfactors systematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

방정식 $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}?$ 를 만족하는 양의 정수 순서쌍 $(M,N)$ 은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 비례식 $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$ 을 만족하는 양의 정수 순서쌍 $(M,N)$ 이 몇 개인지 세는 문제입니다. 순서쌍이므로 $(M,N)$ 과 $(N,M)$ 은 서로 같지 않은 한 다른 것으로 셉니다.

주어진 것: 식 $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$; $M$ 과 $N$ 은 둘 다 양의 정수; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$

구하는 것: 식을 만족하는 순서쌍 $(M,N)$ 의 개수

이해

주어진 것: 식 $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$; $M$ 과 $N$ 은 둘 다 양의 정수; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

비례식 안에는 더 간단한 식이 숨어 있으므로, 먼저 도구 #4(변수 도입하기)로 $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$ 을 교차곱하여 $MN=36$ 으로 바꿉니다. 문제가 "곱해서 $36$ 이 되는 양의 정수 순서쌍이 몇 개인가"로 바뀌면, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $36$ 의 약수를 순서대로 훑어 하나도 빠뜨리거나 겹치지 않게 셉니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 순서 없는 쌍으로 잘못 세어 $5$ 가 나오는 함정을 막아 줍니다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 7.RP.A.2 단계 1

비례식을 교차곱하기

두 분수가 같으면 교차곱할 수 있습니다: $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$ 은 $M\cdot N = 6\cdot 6$, 즉 $MN=36$ 을 뜻합니다.
이제 질문은 "곱해서 $36$ 이 되는 양의 정수 순서쌍이 몇 개인가"가 됩니다.

$$\frac{M}{6}=\frac{6}{N}\;\Rightarrow\; MN=6\times 6=36$$

💡 같은 비율은 항상 교차곱이 같으므로, 분수식이 깔끔한 곱셈식으로 바뀝니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.6 단계 2

36의 약수 쌍으로 보기

$36$ 을 나누는 각 양의 정수 $M$ 에 대해 짝 $N=\frac{36}{M}$ 은 자동으로 정해지며 항상 양의 정수입니다.
따라서 모든 순서쌍 $(M,N)$ 은 $36$ 의 약수 $M$ 하나와 정확히 하나씩 대응합니다: 약수를 세면 곧 쌍의 개수입니다.

$N=\dfrac{36}{M}$, $M \mid 36$ 일 때만 성립

💡 $M$ 을 정하면 $N$ 이 하나로 정해지므로, 쌍과 약수가 일대일로 맞아떨어집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

36의 약수를 순서대로 나열하기

$36$ 의 약수를 작은 것부터 나열하면 $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ 으로 $9$ 개입니다.
이는 순서쌍 $(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1)$ 의 $9$ 개를 줍니다.
순서가 중요하므로 $(1,36)$ 과 $(36,1)$ 은 둘 다 세고, $(6,6)$ 만 자기 자신과 짝을 이룹니다.
따라서 순서쌍은 $9$ 개이고 답은 (D)입니다.

$$1,2,3,4,6,9,12,18,36 \;\Rightarrow\; 9 \text{ 개} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 약수를 순서대로 나열하면 모든 약수 쌍을 정확히 한 번씩 빠짐없이 잡습니다.

[1] #4 7.RP.A.2 두 분수가 같으면 교차곱할 수 있습니다: $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$ 은 $M\cdot N = 6\cdot 6$, 즉 $MN=

[2] #2 6.EE.B.6 $36$ 을 나누는 각 양의 정수 $M$ 에 대해 짝 $N=\frac{36}{M}$ 은 자동으로 정해지며 항상 양의 정수입니다. 따라서 모든 순

[3] #2 4.OA.B.4 $36$ 의 약수를 작은 것부터 나열하면 $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ 으로 $9$ 개입니다. 이는 순서쌍 $(1,36),(2,18)

검토

합리성 확인: 순서쌍의 개수는 $36$ 의 약수의 개수와 같습니다. 소인수분해로 $36=2^2\cdot 3^2$ 이므로 약수 개수는 $(2+1)(2+1)=9$ 로, 손으로 나열한 결과와 일치합니다. 만약 순서 없는 쌍으로 잘못 세면 $5$ 가 나오는데(뒤집힌 네 쌍과 $(6,6)$), 이는 선택지에도 없으므로 순서를 고려한 셈이 맞고 $9$ 가 옳다는 것을 확인해 줍니다.

대안 접근: 나열을 건너뛰고 약수 개수 공식을 바로 쓸 수도 있습니다: $36=2^2\cdot 3^2$ 에서 각 지수에 $1$ 을 더해 곱하면 $(2+1)(2+1)=9$. 각 약수 $M$ 이 순서쌍 하나를 주므로 답은 $9$, 즉 (D)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.RP.A.2 Recognize and represent proportional relationships between quantities (비례식 $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$ 을 교차곱하여 식 $MN=36$ 으로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems ($M$ 과 $N$ 을 하나의 식으로 묶인 미지수로 다루어, $M$ 을 정하면 $N=\frac{36}{M}$ 이 정해지도록 하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($36$ 의 모든 약수를 나열하여 순서 있는 약수 쌍의 개수를 세는 데 사용.)

⭐ 비례식을 교차곱해 $MN=36$ 을 만든 다음 $36$ 의 약수를 세면 된다 — 약수 하나가 순서쌍 하나다.