AMC 10 · 2012 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

permutations-basic casework ↑ 선수 지식: permutations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

디저트 요리사가 일요일부터 시작하여 일주일의 매일 디저트를 준비한다. 매일의 디저트는 케이크, 파이, 아이스크림, 푸딩 중 하나이다. 같은 디저트를 이틀 연속으로 낼 수는 없다. 생일 때문에 금요일에는 반드시 케이크가 있어야 한다. 일주일 동안 가능한 서로 다른 디저트 메뉴는 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

729

(B)

972

(C)

1024

(D)

2187

(E)

2304

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 디저트 요리사가 일요일부터 토요일까지 일주일 동안 매일 디저트를 하나씩 정한다. 매일의 디저트는 케이크, 파이, 아이스크림, 푸딩 중 하나이고, 같은 디저트를 이틀 연속으로 낼 수는 없다. 생일 때문에 금요일에는 반드시 케이크를 내야 한다. 가능한 일주일 디저트 메뉴가 몇 가지인지 센다.

주어진 것: 일주일은 일, 월, 화, 수, 목, 금, 토 — $7$일이다; 매일의 디저트는 케이크, 파이, 아이스크림, 푸딩 $4$가지 중 하나이다; 같은 디저트를 이틀 연속으로 낼 수 없다; 금요일 디저트는 반드시 케이크이다; 선택지: (A) $729$, (B) $972$, (C) $1024$, (D) $2187$, (E) $2304$

구하는 것: 모든 규칙을 만족하는 $7$일 디저트 메뉴가 몇 가지인지

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기

"몇 가지인가"를 묻는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 센다. 아무렇게나 짐작하지 말고 영리한 순서로 디저트를 정한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "일주일 전체를 세기"라는 어려운 문제를 "하루를 세기" 일곱 개로 나누어 서로 곱하게 해 준다. 도구 #5(패턴 찾기)는 금요일을 뺀 모든 날이 똑같이 $3$가지 선택을 가진다는 규칙을 알아채, 곱을 하나의 $3$의 거듭제곱으로 정리하고 금요일에도 배수를 주는 함정을 막아 준다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 1

금요일을 기준 삼아 바깥으로 세기

금요일은 케이크로 정해져 있으니 거기서 시작해, 항상 이미 정한 날 옆으로 한 칸씩 옮겨 가며 나머지 날을 정한다 — 예를 들어 목요일, 그다음 수요일, 화요일, 월요일, 일요일, 그리고 따로 토요일.
이렇게 하면 각 날은 이미 정해진 이웃 하나와만 달라야 하므로, 그 하나를 뺀 어떤 디저트든 될 수 있어 $4-1=3$가지 선택을 가진다.

$$4-1=3\text{ (금요일이 아닌 각 날의 선택 수)}$$

💡 이웃 하나가 정해지면 디저트 하나만 못 쓰게 되어 셋이 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 2

서로 독립인 날의 수를 곱하기

금요일을 뺀 날은 $6$일(일, 월, 화, 수, 목, 토)이고, 이미 정해진 이웃만 알면 각 날은 서로 독립으로 $3$가지 선택을 가진다.
금요일 자체는 고정이라 $1$을 기여한다.
곱의 법칙에 따라 전체 메뉴 수는 각 날의 선택 수를 모두 곱한 값이다.

$$\underbrace{3\times3\times3\times3\times3\times3}_{6\text{일}}\times 1 = 3^{6}$$

💡 독립인 선택은 곱으로 합쳐지고, 똑같은 $3$이 여섯 번이면 $3^6$으로 묶인다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.B.5 단계 3

$3$의 거듭제곱 계산하기

$3^6$을 차례로 곱해 구한다: $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$.
이는 선택지 (A)와 일치한다.
$729$는 선택지들 사이에 자연스럽게 놓이고 깔끔한 $3$의 거듭제곱 꼴이 개수를 확인해 주므로 정답은 (A)이다.

$$3^{6}=729\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 $3$을 여섯 번 곱하면 $729$, 선택지 중 가장 작은 값이다.

[1] #2 3.OA.A.1 금요일은 케이크로 정해져 있으니 거기서 시작해, 항상 이미 정한 날 옆으로 한 칸씩 옮겨 가며 나머지 날을 정한다 — 예를 들어 목요일, 그다음

[2] #7 6.EE.A.1 금요일을 뺀 날은 $6$일(일, 월, 화, 수, 목, 토)이고, 이미 정해진 이웃만 알면 각 날은 서로 독립으로 $3$가지 선택을 가진다. 금요

[3] #5 5.NBT.B.5 $3^6$을 차례로 곱해 구한다: $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$. 이는 선택지 (A)

검토

합리성 확인: 가장 큰 함정을 확인하자. 금요일이 고정임을 잊고 $7$일 모두에 $3$가지를 주면 $3^7=2187$이 되는데, 이는 정확히 오답 (D)이다. 금요일을 고정하면 $3$ 한 개가 빠져 $2187$이 $3^6=729$로 줄어드니 (A)가 맞고 (D)는 의도된 실수이다. 또 이틀 연속 금지 규칙을 무시한 $4^{7}$은 어떤 선택지보다도 훨씬 커서, 제약이 실제로 경우를 걸러 냄을 확인해 준다.

대안 접근: 생일 규칙 없이 유효한 일주일을 먼저 센다: 일요일은 $4$가지, 이후 각 날은 전날과 다르기만 하면 되어 $3$가지이므로 $4\times 3^{6}$가지이다. 대칭성에 의해 케이크가 금요일에 올 확률은 네 디저트 중 어느 것과도 같으므로, 이 중 정확히 $\tfrac{1}{4}$이 금요일에 케이크이다: $\frac{4\times 3^{6}}{4}=3^{6}=729$, 선택지 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.OA.A.1 자연수의 곱을 같은 크기의 묶음으로 해석하기 (금요일이 아닌 각 날을, 쓸 수 있는 디저트 $3$가지(네 가지에서 금지된 이웃 하나를 뺀)의 한 묶음으로 읽기.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식 쓰고 계산하기 (곱의 법칙으로 서로 독립인 $3$ 여섯 개를 $3^6$이라는 식으로 묶기.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수를 능숙하게 곱하기 ($3^6$을 단계별로 $729$까지 계산해 선택지와 맞추기.)

⭐ 고정된 날을 먼저 정하면 나머지 날은 각각 $3$가지뿐이니 곱하면 된다: $3^6=729$.