AMC 8 · 2019 · #20

학년 6 algebra

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

perfect-squaressystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: perfect-squaresexponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

방정식 (x² - 5)² = 16 을 만족하는 서로 다른 실수 x 가 몇 개인지 구하는 문제입니다. 답은 0, 1, 2, 4, 8 중 하나여야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

(무언가)² = 16 의 꼴이 보이면, 그 "무언가" 는 제곱해서 16 이 되는 단 두 실수 — +4 와 -4 — 중 하나여야 합니다. 어려워 보이는 4차 방정식이 "x² - 5 = 4 는 언제?", "x² - 5 = -4 는 언제?" 라는 친근한 두 질문으로 쪼개집니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 작은 정수 x = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 를 차례로 대입해 안쪽 식이 9 또는 1 이 되는 값을 찾고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 빠뜨림 없이 정리하며, 도구 #3(가능성 지우기) 로 개수가 정확히 선택지 (D) 와 맞는지 확인합니다.

1STEP 1

바깥 제곱을 풉니다: (x² - 5)² = 16 은 안쪽 x² - 5 가 +4 또는 -4 일 때만 성립합니다.

(x² - 5)² = 16 ⟺ x² - 5 = 4 또는 x² - 5 = -4

2STEP 2

각 갈래의 양변에 5 를 더하면 x² = 9 와 x² = 1 이 됩니다.

경우 1: x² = 9. 경우 2: x² = 1.

3STEP 3

작은 정수와 그 음수를 대입해 x² = 9 를 찾으면 x = 3 과 x = -3 입니다.

0² = 0, (± 1)² = 1, (± 2)² = 4, (± 3)² = 9. 만족: x = 3 과 x = -3.

4STEP 4

x² = 1 도 같은 방식으로 찾으면 x = 1 과 x = -1 입니다.

위 표에서 (± 1)² = 1. 만족: x = 1 과 x = -1.

5STEP 5

|x| ≥ 4 이거나 정수 사이에는 해가 없으므로 완전한 목록은 {-3, -1, 1, 3} 입니다.

모든 실수 해: {-3, -1, 1, 3}. 개수 = 4 → (D).

정답

네 해를 직접 대입해 검산해 보면 ((± 3)² - 5)² = (9-5)² = 16 ✓ 이고 ((± 1)² - 5)² = (1-5)² = (-4)² = 16 ✓ 입니다. 네 값은 모두 서로 다른 실수이므로 개수는 정확히 4 개. 선택지 (E) 8 은 서로 다른 x 값이 8개여야 하는데 우리가 찾은 것은 4개뿐이고, |x| ＞ 3 에서는 (x²-5)² 가 계속 커지기만 하므로 더 나올 수 없습니다. (D) 와 일관됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 거듭제곱과 "+a 와 -a 의 제곱이 같다" 는 규칙만 알면 풀 수 있어요!

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