경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2019 · #20
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AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
(무언가)² = 16의 꼴이 보이면, 그 "무언가" 는 제곱해서 16이 되는 단 두 실수 — +4와 -4 — 중 하나여야 합니다. 어려워 보이는 4차 방정식이 "x² - 5 = 4는 언제?", "x² - 5 = -4는 언제?" 라는 친근한 두 질문으로 쪼개집니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 작은 정수 x = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4를 차례로 대입해 안쪽 식이 9 또는 1이 되는 값을 찾고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 빠뜨림 없이 정리하며, 도구 #3(가능성 지우기)로 개수가 정확히 선택지 (D)와 맞는지 확인합니다.
바깥 제곱 풀기
바깥 제곱을 풉니다: (x² - 5)² = 16은 안쪽 x² - 5가 +4 또는 -4 일 때만 성립합니다.
제곱해서 16이 되는 수가 4와 -4 뿐이라는 사실은 지수 2의 의미 — 6학년 거듭제곱 개념 그대로입니다.
방정식 (x² - 5)² = 16 을 만족하는 실수 x 는 두 개의 더 간단한 방정식 x² - 5 = 4 와 x² - 5 = -4 를 합친 것을 만족하는 실수와 정확히 같다.
▸ 왜?
어떤 수의 제곱이 16이 되려면 제곱되는 그 값 자체가 제곱해서 16이 되는 실수여야 하고, 그런 수는 4와 그 반대수 -4, 딱 두 개뿐이다.
▸ 왜?
16과 같은 양수는 실수 제곱근이 정확히 두 개 — 양수 하나와 그 음수 — 있으므로, 밑 x² - 5 는 반드시 4 또는 -4 여야 하고 다른 값은 될 수 없다.
▸ 왜?
하나의 방정식을 '=4 인 경우 또는 =-4 인 경우'로 나누어도 모든 해를 그대로 유지하고 없던 해를 만들지 않는데, 전체 해집합이 빈틈도 겹침도 없이 x² - 5 = 4 인 부분과 x² - 5 = -4 인 부분으로 나뉘기 때문이다.
각 경우 정리하기
각 갈래의 양변에 5를 더하면 x² = 9와 x² = 1 이 됩니다.
방정식 하나를 더 쉬운 두 개로 쪼개는 것은 6학년 "p x = q 꼴 방정식 풀이" 와 같은 흐름입니다.
6.EE.B.7Identify Subproblems제곱이 9인 수 찾기
작은 정수와 그 음수를 대입해 x² = 9를 찾으면 x = 3과 x = -3 입니다.
+3과 -3을 수직선 위 서로 다른 두 점으로 보는 것은 6학년 "양수·음수" 개념입니다.
6.NS.C.6Guess And Check제곱이 1인 수 찾기
x² = 1도 같은 방식으로 찾으면 x = 1과 x = -1 입니다.
이미 만든 제곱표를 다시 활용하면, (-1)² = 1이 1² = 1과 똑같다는 점이 자연스럽게 보입니다.
6.NS.C.6Guess And Check해의 개수 세기
|x| ≥ 4 이거나 정수 사이에는 해가 없으므로 완전한 목록은 {-3, -1, 1, 3} 입니다.
방정식을 참으로 만드는 값을 빠짐없이 나열하고 개수를 세는 것은 6학년 "방정식을 만족하는 값 찾기" 개념입니다.
6.EE.B.5Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 거듭제곱과 "+a 와 -a 의 제곱이 같다" 는 규칙만 알면 풀 수 있어요!
- 바깥 제곱 풀기
- 각 경우 정리하기
- 제곱이 9인 수 찾기
- 제곱이 1인 수 찾기
- 해의 개수 세기
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