AMC 10 · 2012 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremisosceles-triangleestimation identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

점 B는 점 A의 정동쪽에 있다. 점 C는 점 B의 정북쪽에 있다. 거리 AC는 10√(2)이고, ∠ BAC = 45°이다. 점 D는 점 C의 정북쪽으로 20미터 떨어져 있다. 거리 AD는 어떤 두 정수 사이에 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$30\ \text{and}\ 31$

(B)

$31\ \text{and}\ 32$

(C)

$32\ \text{and}\ 33$

(D)

$33\ \text{and}\ 34$

(E)

$34\ \text{and}\ 35$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제가 순전히 방위(동/북)로 되어 있으므로 도구 #1(그림 그리기)로 "동쪽"과 "북쪽"을 그림으로 바꾸면 두 방향이 B에서 직각으로 만난다는 사실이 드러난다 — 이 하나의 직각이 모든 것을 푸는 열쇠다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 변 AB를 공유하는 두 직각삼각형으로 작업을 나눈다: 작은 삼각형 ABC는 동쪽 거리 AB를 확정하고, 큰 삼각형 ABD는 AD를 준다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 경계 정수를 제곱해 AD를 올바른 연속 정수 쌍 사이에 가둔다.

1STEP 1

방위를 직각으로 그리기

동쪽은 가로, 북쪽은 세로이므로 A → B → C는 B에서 직각으로 꺾이고, B, C, D는 모두 그 세로 직선 위에 있다.

∠ ABC = 90°, B, C, D 는 한 북쪽 직선 위

2STEP 2

동쪽 변 AB 구하기

삼각형 ABC는 B가 직각이고 45°가 있어 두 다리가 같으므로 2 AB² = 200에서 AB = BC = 10이다.

2 AB² = (10√(2))² = 200 → AB = BC = 10

3STEP 3

큰 직각삼각형을 세워 AD 구하기

삼각형 ABD도 B가 직각이고 다리가 AB = 10, BD = 10 + 20 = 30이므로 AD = √(1000)이다.

AD² = 10² + 30² = 1000 → AD = √(1000)

4STEP 4

제곱근을 정수 사이에 가두기

이웃 정수를 제곱하면 961 ＜ 1000 ＜ 1024이므로 √(1000)은 31과 32 사이, 즉 선택지 (B)이다.

31² = 961 ＜ 1000 ＜ 1024 = 32² → 31 ＜ AD ＜ 32 (B)

정답

31 and 32

빠른 점검: AD = √(1000) = 10√(10) ≈ 10 × 3.162 = 31.6으로 실제로 31과 32 사이에 있다. 또한 세로 다리 BD = 30보다 조금 커야 하는데(빗변은 항상 어느 다리보다 길다) 31.6은 30보다 살짝 크므로 일관적이다. 작은 동쪽 다리 AB = 10은 길이를 30에서 약 1.6 정도만 밀어 올리므로, (D) 33–34나 (E) 34–35 같은 쌍은 너무 크다.

💡핵심 정리

동쪽과 북쪽은 직각을 이루므로 45° 삼각형에서 AB = 10이 나오고, 큰 직각삼각형 하나로 AD = √(10²+30²) = √(1000) ≈ 31.6이 되어 31과 32 사이에 놓인다.

방위를 직각으로 그리기
동쪽 변 AB 구하기
큰 직각삼각형을 세워 AD 구하기
제곱근을 정수 사이에 가두기

방위를 직각으로 그리기

동쪽 변 AB 구하기

큰 직각삼각형을 세워 AD 구하기

제곱근을 정수 사이에 가두기

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