AMC 10 · 2012 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremisosceles-triangleestimation identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

점 $B$ 는 점 $A$ 의 정동쪽에 있다. 점 $C$ 는 점 $B$ 의 정북쪽에 있다. 점 $A$ 와 점 $C$ 사이의 거리는 $10\sqrt 2$ 이고, $\angle BAC = 45^\circ$ 이다. 점 $D$ 는 점 $C$ 의 정북쪽으로 $20$ 미터 떨어진 곳에 있다. 거리 $AD$ 는 어떤 두 정수 사이에 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$30\ \text{and}\ 31$

(B)

$31\ \text{and}\ 32$

(C)

$32\ \text{and}\ 33$

(D)

$33\ \text{and}\ 34$

(E)

$34\ \text{and}\ 35$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 점 $A$에서 출발해 동쪽으로 가면 $B$, 거기서 북쪽으로 가면 $C$가 나온다. 직선 거리 $AC$는 $10\sqrt{2}$이고 삼각형 $ABC$에서 $A$의 각은 $45^\circ$이다. 점 $D$는 $C$에서 북쪽으로 $20$미터 떨어져 있다($B$, $C$, $D$가 한 북쪽 직선 위에 있다). 거리 $AD$가 어떤 두 정수 사이에 있는지 구하라.

주어진 것: $B$는 $A$의 정동쪽, $C$는 $B$의 정북쪽에 있다; $AC = 10\sqrt{2}$이고 $\angle BAC = 45^\circ$; $D$는 $C$의 정북쪽으로 $20$미터 떨어져 있다; 선택지는 연속한 두 정수 쌍이다: (A) $30$과 $31$, (B) $31$과 $32$, (C) $32$와 $33$, (D) $33$과 $34$, (E) $34$와 $35$

구하는 것: 길이 $AD$, 그리고 그것이 놓이는 연속한 두 정수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

문제가 순전히 방위(동/북)로 되어 있으므로 도구 #1(그림 그리기)로 "동쪽"과 "북쪽"을 그림으로 바꾸면 두 방향이 $B$에서 직각으로 만난다는 사실이 드러난다 — 이 하나의 직각이 모든 것을 푸는 열쇠다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 변 $AB$를 공유하는 두 직각삼각형으로 작업을 나눈다: 작은 삼각형 $ABC$는 동쪽 거리 $AB$를 확정하고, 큰 삼각형 $ABD$는 $AD$를 준다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 경계 정수를 제곱해 $AD$를 올바른 연속 정수 쌍 사이에 가둔다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

방위를 직각으로 그리기

$A$를 원점에 놓자.
"동쪽"은 가로 방향, "북쪽"은 세로 방향이고 이 둘은 서로 수직이다.
$B$는 $A$의 동쪽, $C$는 $B$의 북쪽이므로 경로 $A \to B \to C$는 $B$에서 직각으로 꺾인다.
따라서 삼각형 $ABC$는 $B$에서 직각을 가진다.
$C$에서 북쪽으로 $20$ 더 간 곳에 $D$를 찍으면 $B$, $C$, $D$가 한 세로 직선 위에 놓인다.

$$\angle ABC = 90^\circ,\quad B,\,C,\,D \text{ 는 한 북쪽 직선 위}$$

💡 동쪽과 북쪽은 항상 직각으로 만나므로 방위를 나타내는 말이 직각삼각형을 공짜로 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

동쪽 변 AB 구하기

삼각형 $ABC$에서 직각은 $B$에 있고 $\angle BAC = 45^\circ$이므로 나머지 각도 $45^\circ$이다 — 삼각형은 $AB = BC$인 이등변삼각형이다.
두 같은 다리와 빗변 $AC = 10\sqrt{2}$에 피타고라스 정리를 쓰면 $AB^2 + BC^2 = AC^2$, 즉 $2\,AB^2 = (10\sqrt{2})^2 = 200$이므로 $AB^2 = 100$, $AB = 10$이다.
따라서 $AB = BC = 10$.

$$2\,AB^2 = (10\sqrt{2})^2 = 200 \Rightarrow AB = BC = 10$$

💡 $45^\circ$ 각을 가진 직각삼각형은 두 다리가 같으므로 두 짧은 변의 길이가 서로 일치한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

큰 직각삼각형을 세워 AD 구하기

이제 삼각형 $ABD$를 쓰자.
이 삼각형도 $B$에서 직각을 가진다.
가로 다리는 $AB = 10$이다.
세로 다리는 $BD$인데, $B$, $C$, $D$가 일직선이므로 $BD = BC + CD = 10 + 20 = 30$이다.
피타고라스 정리로 $AD^2 = AB^2 + BD^2 = 10^2 + 30^2 = 100 + 900 = 1000$이므로 $AD = \sqrt{1000}$이다.

$$AD^2 = 10^2 + 30^2 = 1000 \Rightarrow AD = \sqrt{1000}$$

💡 $AB$와 북쪽 선분 전체 $BD$가 한 큰 직각삼각형의 두 다리이므로 피타고라스가 곧장 $AD$에 닿는다.

#3 가능성 지우기 8.NS.A.2 단계 4

제곱근을 정수 사이에 가두기

$AD = \sqrt{1000}$은 정수가 아니므로 후보 정수들을 제곱해 감싸자.
$31^2 = 961$이고 $32^2 = 1024$이다.
$961 < 1000 < 1024$이므로 제곱근을 취하면 $31 < \sqrt{1000} < 32$이다.
따라서 $AD$는 $31$과 $32$ 사이에 있고 이는 선택지 (B)이다.

$$31^2 = 961 < 1000 < 1024 = 32^2 \Rightarrow 31 < AD < 32\ \textbf{(B)}$$

💡 제곱근을 정수 사이에 놓으려면 그 정수들을 제곱해 어느 쌍이 안쪽 값을 사이에 끼는지 보면 된다.

[1] #1 4.G.A.1 $A$를 원점에 놓자. "동쪽"은 가로 방향, "북쪽"은 세로 방향이고 이 둘은 서로 수직이다. $B$는 $A$의 동쪽, $C$는 $B$의 북쪽

[2] #7 8.G.B.7 삼각형 $ABC$에서 직각은 $B$에 있고 $\angle BAC = 45^\circ$이므로 나머지 각도 $45^\circ$이다 — 삼각형은 $A

[3] #7 8.G.B.7 이제 삼각형 $ABD$를 쓰자. 이 삼각형도 $B$에서 직각을 가진다. 가로 다리는 $AB = 10$이다. 세로 다리는 $BD$인데, $B$,

[4] #3 8.NS.A.2 $AD = \sqrt{1000}$은 정수가 아니므로 후보 정수들을 제곱해 감싸자. $31^2 = 961$이고 $32^2 = 1024$이다. $9

검토

합리성 확인: 빠른 점검: $AD = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10} \approx 10 \times 3.162 = 31.6$으로 실제로 $31$과 $32$ 사이에 있다. 또한 세로 다리 $BD = 30$보다 조금 커야 하는데(빗변은 항상 어느 다리보다 길다) $31.6$은 $30$보다 살짝 크므로 일관적이다. 작은 동쪽 다리 $AB = 10$은 길이를 $30$에서 약 $1.6$ 정도만 밀어 올리므로, (D) $33$–$34$나 (E) $34$–$35$ 같은 쌍은 너무 크다.

대안 접근: 이등변 추론 없이 좌표로 풀 수도 있다: $A=(0,0)$, $AB=10$을 알면 $B=(10,0)$이다(또는 $45^\circ$에서 $AC=10\sqrt2$이면 $A$에서 $C$로 가는 동쪽 성분과 북쪽 성분이 모두 $10$임에 주목). 그러면 $C=(10,10)$, $D=(10,30)$이고 거리 공식으로 $AD=\sqrt{10^2+30^2}=\sqrt{1000}$ — 같은 결과다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 Draw points, lines, line segments, rays, angles, and identify in figures (방위인 동쪽과 북쪽을 서로 수직인 직선으로 바꿔 $B$에서의 직각을 만드는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles ($45$-$45$-$90$ 삼각형에서 다리 $AB = BC = 10$을 구하고 $AD^2 = 10^2 + 30^2 = 1000$을 계산하는 데 사용.)
8.NS.A.2 Use rational approximations of irrational numbers to compare their size ($31$과 $32$를 제곱해 $\sqrt{1000}$을 가두고 구간 $31 < AD < 32$를 읽어 내는 데 사용.)

⭐ 동쪽과 북쪽은 직각을 이루므로 $45^\circ$ 삼각형에서 $AB = 10$이 나오고, 큰 직각삼각형 하나로 $AD = \sqrt{10^2+30^2} = \sqrt{1000} \approx 31.6$이 되어 $31$과 $32$ 사이에 놓인다.