AMC 10 · 2012 · #14

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area
equilateral-trianglearea-trianglesthirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: equilateral-triangle
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
한 변의 길이가 2√(3)인 정사각형이 있습니다. 그 안에 정삼각형 두 개가 들어 있는데, 하나는 밑변이 정사각형의 아래쪽 변에, 다른 하나는 밑변이 위쪽 변에 놓여 있습니다. 두 삼각형이 겹치는 부분은 마름모가 됩니다. 이 마름모의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{3}{2}$
(B)
$\sqrt 3$
(C)
$2\sqrt 2 - 1$
(D)
$8\sqrt 3 - 12$
(E)
$\frac{4\sqrt 3}{3}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

모든 도형이 위치로 정해지므로, 좌표를 붙인 그림을 그리면 모든 점을 정확히 알 수 있습니다. 정사각형과 두 삼각형에 좌표를 주면 마름모는 겹치는 부분일 뿐이고, 네 꼭짓점은 계산으로 구할 수 있습니다. 삼각형의 높이 구하기, 꼭짓점 구하기, 두 대각선으로 넓이 구하기의 작은 단계로 나눕니다.

1STEP 1

정사각형을 좌표에 놓기

정사각형을 (0,0)부터 (2√(3),2√(3))까지 놓습니다. 아래 삼각형은 위로, 위 삼각형은 아래로 향하고 밑변은 모두 2√(3)입니다.

정사각형 한 변 = 2√(3)
2STEP 2

각 삼각형의 높이 구하기

반으로 자르면 높이는 √(3)/2 곱하기 s이므로 높이는 3. 꼭대기는 (√(3),3)과 (√(3),2√(3)-3)입니다.

h = √(3)/2 · 2√(3) = 3
3STEP 3

양옆 꼭짓점 찾기

왼쪽 두 변 y=√(3)x와 y=-√(3)x+2√(3)은 (1,√(3))에서 만나고, 대칭으로 오른쪽은 (2√(3)-1,√(3))입니다.

√(3)x = -√(3)x + 2√(3) → x = 1
4STEP 4

두 대각선 재기

같은 좌표를 빼면 세로 대각선은 6-2√(3), 가로 대각선은 2√(3)-2입니다.

d₁ = 6-2√(3), d₂ = 2√(3)-2
5STEP 5

넓이로 합치기

대각선 곱의 절반이므로 1/2(6-2√(3))(2√(3)-2) = 1/2(16√(3)-24) = 8√(3)-12, 곧 (D)입니다.

1/2(6-2√(3))(2√(3)-2) = 1/2(16√(3)-24) = 8√(3)-12
정답
8√3 - 12
수로 보면 8√(3)-12 ≈ 1.86입니다. 정사각형 전체 넓이는 (2√(3))² = 12이고, 겹치는 마름모는 가운데의 얇은 조각이므로 넓이가 2보다 작은 것은 자연스럽습니다. 대각선 6-2√(3)≈ 2.54와 2√(3)-2≈ 1.46은 모두 양수이고 정사각형 안에 들어가므로 꼭짓점이 올바르게 놓였음을 확인할 수 있습니다.
💡핵심 정리

도형을 좌표에 놓고 겹치는 부분의 네 꼭짓점을 찾으면, 마름모의 넓이는 두 대각선을 곱해 절반한 값입니다.

  • 정사각형을 좌표에 놓기
  • 각 삼각형의 높이 구하기
  • 양옆 꼭짓점 찾기
  • 두 대각선 재기
  • 넓이로 합치기

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