AMC 10 · 2012 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

equilateral-trianglearea-trianglesthirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: equilateral-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 $2\sqrt 3$ 인 정사각형 안에 두 개의 정삼각형이 들어 있다. 이 삼각형들의 밑변은 정사각형의 마주 보는 두 변이고, 두 삼각형의 교집합은 마름모이다. 이 마름모의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{2}$

(B)

$\sqrt 3$

(C)

$2\sqrt 2 - 1$

(D)

$8\sqrt 3 - 12$

(E)

$\frac{4\sqrt 3}{3}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $2\sqrt{3}$인 정사각형이 있습니다. 그 안에 정삼각형 두 개가 들어 있는데, 하나는 밑변이 정사각형의 아래쪽 변에, 다른 하나는 밑변이 위쪽 변에 놓여 있습니다. 두 삼각형이 겹치는 부분은 마름모가 됩니다. 이 마름모의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 정사각형의 한 변의 길이는 $2\sqrt{3}$입니다.; 두 삼각형은 정삼각형이므로 세 변의 길이가 모두 같고 모든 각이 $60^\circ$입니다.; 한 삼각형의 밑변은 정사각형의 아래쪽 변이고, 다른 삼각형의 밑변은 위쪽 변입니다.; 두 삼각형이 겹치는 부분은 마름모입니다.

구하는 것: 겹치는 부분으로 생기는 마름모의 넓이.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #17 공간 상상하기

모든 도형이 위치로 정해지므로, 좌표를 붙인 그림을 그리면 모든 점을 정확히 알 수 있습니다. 정사각형과 두 삼각형에 좌표를 주면 마름모는 겹치는 부분일 뿐이고, 네 꼭짓점은 계산으로 구할 수 있습니다. 삼각형의 높이 구하기, 꼭짓점 구하기, 두 대각선으로 넓이 구하기의 작은 단계로 나눕니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

정사각형을 좌표에 놓기

정사각형의 네 꼭짓점을 $(0,0)$, $(2\sqrt{3},0)$, $(2\sqrt{3},2\sqrt{3})$, $(0,2\sqrt{3})$에 둡니다.
아래쪽 삼각형은 밑변이 아래 변에 있고 위로 향하며, 위쪽 삼각형은 밑변이 위 변에 있고 아래로 향합니다.
두 밑변의 길이는 모두 $2\sqrt{3}$입니다.

\text{정사각형 한 변} = 2\sqrt{3}

💡 좌표를 쓰면 그림이 계산할 수 있는 정확한 수로 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

각 삼각형의 높이 구하기

한 변이 $s$인 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}s$입니다.
이는 삼각형을 반으로 나눠 직각삼각형을 만들고 피타고라스 정리 $h^2 + (\tfrac{s}{2})^2 = s^2$를 쓴 결과입니다.
$s = 2\sqrt{3}$이면 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{3} = 3$입니다.
따라서 아래쪽 삼각형의 꼭짓점은 $(\sqrt{3},3)$, 위쪽 삼각형의 꼭짓점은 $(\sqrt{3},2\sqrt{3}-3)$입니다.

$$h = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{3} = 3$$

💡 정삼각형을 가운데로 자르면 직각삼각형이 되고, 피타고라스 정리로 높이를 구할 수 있습니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 3

양옆 꼭짓점 찾기

아래쪽 삼각형의 왼쪽 변은 $(0,0)$에서 꼭짓점 $(\sqrt{3},3)$까지 이어져 직선 $y=\sqrt{3}\,x$가 됩니다.
위쪽 삼각형의 왼쪽 변은 $(0,2\sqrt{3})$에서 그 꼭짓점까지 이어져 $y=-\sqrt{3}\,x+2\sqrt{3}$이 됩니다.
두 식을 연립하면 $\sqrt{3}x=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$에서 $x=1$이므로, 마름모의 왼쪽 꼭짓점은 $(1,\sqrt{3})$입니다.
대칭에 의해 오른쪽 꼭짓점은 $(2\sqrt{3}-1,\sqrt{3})$입니다.

$$\sqrt{3}x = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3} \;\Rightarrow\; x = 1$$

💡 두 변은 직선 식이 같아지는 곳에서 만나므로, 연립해서 풀면 꼭짓점이 나옵니다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.8 단계 4

두 대각선 재기

마름모의 세로 대각선은 두 꼭짓점 $(\sqrt{3},3)$과 $(\sqrt{3},2\sqrt{3}-3)$을 잇고, 길이는 $3-(2\sqrt{3}-3)=6-2\sqrt{3}$입니다.
가로 대각선은 양옆 꼭짓점 $(1,\sqrt{3})$과 $(2\sqrt{3}-1,\sqrt{3})$을 잇고, 길이는 $(2\sqrt{3}-1)-1=2\sqrt{3}-2$입니다.

$$d_1 = 6-2\sqrt{3}, \qquad d_2 = 2\sqrt{3}-2$$

💡 $x$(또는 $y$) 값이 같은 두 점은 나머지 좌표의 차이만큼 떨어져 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 5

넓이로 합치기

마름모의 넓이는 두 대각선의 곱의 절반, 즉 $\frac{1}{2}d_1 d_2$입니다.
따라서 넓이는 $\frac{1}{2}(6-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}-2)$입니다.
전개하면 $(6-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}-2)=12\sqrt{3}-12-12+4\sqrt{3}=16\sqrt{3}-24$이고, 그 절반은 $8\sqrt{3}-12$입니다.
정답은 $(D)$입니다.

$$\tfrac{1}{2}(6-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}-2) = \tfrac{1}{2}(16\sqrt{3}-24) = 8\sqrt{3}-12$$

💡 두 대각선은 마름모를 네 개의 직각삼각형으로 나누고, 그 곱의 절반이 전체 넓이가 됩니다.

[1] #1 6.G.A.3 정사각형의 네 꼭짓점을 $(0,0)$, $(2\sqrt{3},0)$, $(2\sqrt{3},2\sqrt{3})$, $(0,2\sqrt{3})$에

[2] #7 8.G.B.7 한 변이 $s$인 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}s$입니다. 이는 삼각형을 반으로 나눠 직각삼각형을 만들고 피타고라스 정리

[3] #4 8.EE.C.8 아래쪽 삼각형의 왼쪽 변은 $(0,0)$에서 꼭짓점 $(\sqrt{3},3)$까지 이어져 직선 $y=\sqrt{3}\,x$가 됩니다. 위쪽 삼각

[4] #4 8.G.B.8 마름모의 세로 대각선은 두 꼭짓점 $(\sqrt{3},3)$과 $(\sqrt{3},2\sqrt{3}-3)$을 잇고, 길이는 $3-(2\sqrt{

[5] #7 7.G.B.6 마름모의 넓이는 두 대각선의 곱의 절반, 즉 $\frac{1}{2}d_1 d_2$입니다. 따라서 넓이는 $\frac{1}{2}(6-2\sqrt{

검토

합리성 확인: 수로 보면 $8\sqrt{3}-12 \approx 1.86$입니다. 정사각형 전체 넓이는 $(2\sqrt{3})^2 = 12$이고, 겹치는 마름모는 가운데의 얇은 조각이므로 넓이가 $2$보다 작은 것은 자연스럽습니다. 대각선 $6-2\sqrt{3}\approx 2.54$와 $2\sqrt{3}-2\approx 1.46$은 모두 양수이고 정사각형 안에 들어가므로 꼭짓점이 올바르게 놓였음을 확인할 수 있습니다.

대안 접근: 좌표 대신 $30$-$60$-$90$ 삼각형을 직접 씁니다. 각 삼각형의 높이는 $3$이지만 정사각형 높이는 $2\sqrt{3}\approx 3.46$뿐이므로, 두 높이가 겹치는 양은 $3+3-2\sqrt{3}=6-2\sqrt{3}$이고 이것이 세로 대각선입니다. 마름모는 네 개의 $30$-$60$-$90$ 삼각형으로 이루어지므로, 이 대각선으로 한 삼각형의 변을 구하면 같은 넓이 $8\sqrt{3}-12$를 얻습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (정사각형과 두 삼각형을 좌표평면에 놓기.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (각 정삼각형의 높이 3 구하기.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (두 변의 직선 식을 연립하여 마름모의 양옆 꼭짓점 찾기.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (꼭짓점 좌표로부터 두 대각선의 길이 재기.)
7.G.B.6 Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (대각선 곱의 절반 공식으로 마름모 넓이 구하기.)

⭐ 도형을 좌표에 놓고 겹치는 부분의 네 꼭짓점을 찾으면, 마름모의 넓이는 두 대각선을 곱해 절반한 값입니다.