AMC 10 · 2012 · #17

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

volume-conecircular-sectorsimilar-figures identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-cone

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

제시는 반지름이 12인 원형 종이 원판을 두 반지름을 따라 잘라 두 개의 부채꼴을 만드는데, 더 작은 부채꼴의 중심각은 120도이다. 그는 각 부채꼴을 원뿔의 옆면으로 삼아 두 개의 원뿔을 만든다. 더 작은 원뿔의 부피와 더 큰 원뿔의 부피의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{8}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{\sqrt{10}}{10}$

(D)

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

(E)

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $12$인 종이 원판을 두 반지름을 따라 잘라 두 부채꼴로 나눈다. 작은 부채꼴의 중심각은 $120^\circ$이고, 큰 부채꼴의 중심각은 $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$이다. 각 부채꼴을 곧은 두 변이 맞닿도록 말아서 원뿔의 옆면(측면)을 만든다. 작은 원뿔의 부피와 큰 원뿔의 부피의 비를 구하여라.

주어진 것: 원판의 반지름은 $12$ (이것이 각 원뿔의 모선(빗변) 길이가 된다); 작은 부채꼴의 중심각: $120^\circ$; 큰 부채꼴의 중심각: $240^\circ$; 각 부채꼴의 호는 그 원뿔의 밑면 원의 둘레가 된다; 선택지: (A) $\frac{1}{8}$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{\sqrt{10}}{10}$, (D) $\frac{\sqrt{5}}{6}$, (E) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

구하는 것: 두 원뿔 부피의 비 $\dfrac{V_{\text{small}}}{V_{\text{large}}}$

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

도구 #17 (공간 상상하기)이 핵심이다. 평평한 부채꼴을 머릿속에서 원뿔로 말아, 각 길이가 무엇이 되는지 보아야 한다. 원판의 반지름 $12$는 원뿔의 모선이 되고, 굽은 호는 밑면 원이 된다. 이 대응만 정확히 잡으면 나머지는 공식 계산이다. 그다음 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 각 원뿔을 세 조각으로 나눈다: 호에서 밑면 반지름, 피타고라스 정리로 높이, 그리고 부피. 도구 #4 (변수 도입하기)로 밑면 반지름을 $r$로 놓고 $2\pi r = \text{호의 길이}$를 푼다.

실행 — 정답: C

#17 공간 상상하기 7.G.B.4 단계 1

부채꼴을 원뿔로 말기

평평한 부채꼴을 곧은 두 반지름 변이 맞붙을 때까지 만다고 상상하자.
호 위의 모든 점은 밑면 원의 둘레에 놓이고, 부채꼴의 뾰족한 꼭짓점은 원뿔의 꼭대기가 된다.
곧은 변(길이 $12$, 원판의 반지름)은 꼭대기에서 밑면 둘레까지 비스듬히 이어지므로 이것이 모선 $\ell = 12$이다.
한편 호는 밑면 원 전체가 되므로, 호의 길이는 밑면 둘레 $2\pi r$와 같다.

💡 원판의 반지름은 비스듬한 모선이 되고, 굽은 호는 밑면 테두리가 된다 — 이 문제 전체가 걸린 단 하나의 대응이다.

#4 변수 도입하기 7.G.B.4 단계 2

각 원뿔의 밑면 반지름

원판 전체의 둘레는 $2\pi(12) = 24\pi$이다.
작은 부채꼴은 원판의 $\tfrac{120}{360} = \tfrac{1}{3}$이므로 호는 $\tfrac{1}{3}(24\pi) = 8\pi$이고, $2\pi r = 8\pi$에서 $r_{\text{small}} = 4$이다.
큰 부채꼴은 원판의 $\tfrac{240}{360} = \tfrac{2}{3}$이므로 호는 $16\pi$이고, $2\pi r = 16\pi$에서 $r_{\text{large}} = 8$이다.

$$r_{\text{small}} = \dfrac{8\pi}{2\pi} = 4, \qquad r_{\text{large}} = \dfrac{16\pi}{2\pi} = 8$$

💡 밑면 원은 그것을 만든 호와 길이가 똑같으므로, 반지름은 $2\pi r = \text{호}$에서 바로 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

피타고라스 정리로 높이 구하기

원뿔에서 밑면 반지름 $r$, 높이 $h$, 모선 $\ell$은 $\ell$을 빗변으로 하는 직각삼각형을 이룬다: $r^2 + h^2 = \ell^2$.
두 원뿔 모두 $\ell = 12$이므로 $h$를 구한다.
작은 원뿔: $h = \sqrt{12^2 - 4^2} = \sqrt{144 - 16} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.
큰 원뿔: $h = \sqrt{12^2 - 8^2} = \sqrt{144 - 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

$$h_{\text{small}} = \sqrt{144 - 16} = 8\sqrt{2}, \qquad h_{\text{large}} = \sqrt{144 - 64} = 4\sqrt{5}$$

💡 반지름, 높이, 모선이 직각삼각형을 이루므로, 모선 $12$가 반지름이 정해지는 순간 높이를 결정한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.C.9 단계 4

각 원뿔의 부피

$V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$를 쓴다.
작은 원뿔: $V_{\text{small}} = \tfrac{1}{3}\pi(4^2)(8\sqrt{2}) = \tfrac{1}{3}\pi(16)(8\sqrt{2}) = \tfrac{128\sqrt{2}}{3}\pi$.
큰 원뿔: $V_{\text{large}} = \tfrac{1}{3}\pi(8^2)(4\sqrt{5}) = \tfrac{1}{3}\pi(64)(4\sqrt{5}) = \tfrac{256\sqrt{5}}{3}\pi$.

$$V_{\text{small}} = \dfrac{128\sqrt{2}}{3}\pi, \qquad V_{\text{large}} = \dfrac{256\sqrt{5}}{3}\pi$$

💡 반지름과 높이만 손에 넣으면 원뿔 부피 공식이 각 원뿔의 나머지를 처리한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 5

비를 세우고 정리하기

두 부피를 나눈다.
$\tfrac{1}{3}\pi$가 약분된다: $\dfrac{V_{\text{small}}}{V_{\text{large}}} = \dfrac{128\sqrt{2}}{256\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$.
분모와 분자에 $\sqrt{5}$를 곱해 유리화한다: $\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}{2\cdot 5} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$.
이것은 선택지 (C)와 일치한다.

$$\dfrac{V_{\text{small}}}{V_{\text{large}}} = \dfrac{128\sqrt{2}}{256\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 공통인 $\tfrac{1}{3}\pi$를 약분한 뒤 분모의 근호를 없애면 깔끔한 $\frac{\sqrt{10}}{10}$에 이른다.

[1] #17 7.G.B.4 평평한 부채꼴을 곧은 두 반지름 변이 맞붙을 때까지 만다고 상상하자. 호 위의 모든 점은 밑면 원의 둘레에 놓이고, 부채꼴의 뾰족한 꼭짓점은 원

[2] #4 7.G.B.4 원판 전체의 둘레는 $2\pi(12) = 24\pi$이다. 작은 부채꼴은 원판의 $\tfrac{120}{360} = \tfrac{1}{3}$이므

[3] #7 8.G.B.7 원뿔에서 밑면 반지름 $r$, 높이 $h$, 모선 $\ell$은 $\ell$을 빗변으로 하는 직각삼각형을 이룬다: $r^2 + h^2 = \el

[4] #7 8.G.C.9 $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$를 쓴다. 작은 원뿔: $V_{\text{small}} = \tfrac{1}{3}\pi(4^2)

[5] #7 8.EE.A.2 두 부피를 나눈다. $\tfrac{1}{3}\pi$가 약분된다: $\dfrac{V_{\text{small}}}{V_{\text{large}}}

검토

합리성 확인: 작은 원뿔은 큰 원뿔보다 부피가 작아야 하므로 비는 $1$보다 작아야 한다 — 그리고 $\frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316$은 그렇다. 수치로 빠르게 확인해도 일치한다: $V_{\text{small}} \approx \frac{128(1.414)}{3}\pi \approx 60.3\pi$, $V_{\text{large}} \approx \frac{256(2.236)}{3}\pi \approx 190.8\pi$이고 그 비는 $\approx 0.316$ — 정확히 $\frac{\sqrt{10}}{10}$이다. 함정 답 $\frac{1}{8}$과 $\frac{1}{4}$은 부피가 각도 비 $\frac{1}{2}$의 세제곱이나 제곱처럼 커진다고 잘못 가정하여, 높이도 서로 다르다는 사실을 무시한 데서 나온다.

대안 접근: 도구 #7과 일반화된 비 공식. 반지름 $R$인 원판의 $k$ 비율이 원뿔을 이루면 $r = kR$이고 $h = R\sqrt{1 - k^2}$이므로 $V = \tfrac{1}{3}\pi (kR)^2 R\sqrt{1-k^2} = \tfrac{1}{3}\pi R^3 k^2\sqrt{1-k^2}$이다. 여기서 $k_{\text{small}} = \tfrac{1}{3}$, $k_{\text{large}} = \tfrac{2}{3}$이므로 비는 $\dfrac{(1/3)^2\sqrt{1-1/9}}{(2/3)^2\sqrt{1-4/9}} = \dfrac{\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{\sqrt{8}}{3}}{\tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{\sqrt{5}}{3}} = \dfrac{\sqrt{8}}{4\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$이다. 같은 결과다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 활용하기 (각 부채꼴의 호(원판의 둘레 $24\pi$의 일부)를 밑면 둘레 $2\pi r$로 바꾸어 밑면 반지름을 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 미지의 변의 길이 구하기 (밑면 반지름, 높이, 모선이 이루는 직각삼각형 $r^2 + h^2 = 12^2$에서 각 원뿔의 높이를 구하는 데 사용.)
8.G.C.9 원뿔, 원기둥, 구의 부피 공식을 알고 문제 해결에 활용하기 ($V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$로 각 원뿔의 부피를 계산하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근과 세제곱근 기호로 해를 나타내기 (근호가 있는 높이 $\sqrt{128} = 8\sqrt{2}$, $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$를 간단히 하고 최종 비를 $\frac{\sqrt{10}}{10}$으로 유리화하는 데 사용.)

⭐ 종이 부채꼴을 원뿔로 말면 원판의 반지름은 모선이 되고 호는 밑면 원이 된다 — 호에서 밑면 반지름을 되찾고, 피타고라스 정리로 높이를 구하면, 부피의 비는 $\frac{\sqrt{10}}{10}$으로 나온다.