경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2022 · #24

학년 7 geometry-3d

유형 Net Folding / Face Adjacency └ 세부 유형 Net-Edge Matching for Length, Area, or Volume

volume-rectangular-prismpolyhedron-netsspatial-visualization physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespolyhedron-nets

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 몇 개와 직각삼각형 두 개로 이루어진 평면 다각형 ABCDEFGH 는 어떤 삼각기둥의 전개도입니다. 점선을 따라 접으면 직각삼각형 △ GJB 와 △ FIC 가 서로 합동인 두 삼각형 밑면이 되고, 사이의 직사각형들은 옆면이 됩니다. AH = EF = 8, GH = 14 일 때, 만들어지는 삼각기둥의 부피를 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

112

(B)

128

(C)

192

(D)

240

(E)

288

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

"전개도를 접으면 어떤 입체가 되는가" 라는 전형적인 입체 시각화 문제이므로, 우선 도구 #17(공간 상상하기)로 전개도를 머릿속에서 접어 봅니다. 두 직각삼각형 △ GJB, △ FIC 가 위·아래 두 밑면이 되고, 세 직사각형이 옆면이 된다는 그림이 보이면, 도구 #1(그림 그리기)로 각 변에 "기둥의 높이", "밑면의 한 변" 같은 새 이름표를 붙여 정리할 수 있습니다. 마지막으로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "밑면의 넓이는 얼마인가?" 와 "기둥의 높이는 얼마인가?" 두 작은 문제를 따로 풀고, 부피 공식으로 합칩니다. 도구 #13(대수)은 일부러 피합니다 — 일단 접는 모양만 보이면 길이 셈만 남는 기하 문제이기 때문입니다.

1STEP 1

전개도 머릿속으로 접기

전개도를 접으면 두 직각삼각형이 마주 보는 밑면이 되고 세 직사각형이 옆면으로 감겨 삼각기둥이 됩니다.

2STEP 2

각기둥 높이 구하기

접으면 EF 가 FG 에 포개져 두 밑면을 잇는 옆 모서리가 되므로 기둥의 높이는 h = 8 입니다.

h = FG = EF = 8

3STEP 3

밑면 첫 번째 변 구하기

옆면 직사각형 ABJH 에서 AH 와 BJ 는 마주보는 변이므로 밑면의 첫 직각변은 BJ = 8 입니다.

BJ = AH = 8

4STEP 4

밑면 두 번째 변 구하기

아래쪽 변 GH = 14는 옆 모서리 JH = 8과 나머지 직각변으로 나뉘므로 GJ = 6 입니다.

GJ = GH - JH = 14 - 8 = 6

5STEP 5

밑면 넓이 구하기

직각삼각형 GJB 는 직각변이 BJ = 8, GJ = 6 이므로 밑면 넓이는 두 변 곱의 절반인 24 입니다.

밑면의 넓이 = 1/2 × 8 × 6 = 24

6STEP 6

곱해서 부피 구하기

밑면 넓이에 높이를 곱해 부피를 구하면 V = 24 × 8 = 192, 선택지 (C)와 일치합니다.

V = 밑면의 넓이 × h = 24 × 8 = 192 → (C)

정답

192

결과의 크기와 단위를 확인해 봅니다. 밑면은 6-8-10 직각삼각형으로 넓이가 24, 높이가 8 이므로 부피 24 × 8 = 192는 선택지 128과 240의 가운데에 깔끔하게 자리 잡습니다. 만약 실수로 GJ 대신 전체 길이 GH = 14를 밑변으로 썼다면

\frac{1}{2}

× 14 × 8 × 8 = 448이 나와 선택지에 아예 없으므로, 옆 모서리 JH = 8과 밑변 GJ = 6을 제대로 분리했다는 점도 함께 확인됩니다. 부피 단위가 "길이의 세제곱" 이라는 점도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "밑면의 넓이 × 높이 = 기둥의 부피" 와 전개도 접기 감각만 알면 풀 수 있어요!

전개도 머릿속으로 접기
각기둥 높이 구하기
밑면 첫 번째 변 구하기
밑면 두 번째 변 구하기
밑면 넓이 구하기
곱해서 부피 구하기

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