AMC 10 · 2012 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometrysimilar-trianglesarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 $ABCD$ 에서 $AB=6$ , $AD=30$ 이고, $G$ 는 $\overline{AD}$ 의 중점이다. 선분 $AB$ 를 $B$ 너머로 2만큼 연장하여 점 $E$ 를 잡고, $F$ 는 $\overline{ED}$ 와 $\overline{BC}$ 의 교점이다. 사각형 $BFDG$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{133}{2}$

(B)

(C)

$\frac{135}{2}$

(D)

(E)

$\frac{137}{2}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$에서 $AB=6$, $AD=30$이다. 점 $G$는 변 $AD$의 중점이다. 변 $AB$를 $B$ 너머로 2만큼 연장한 점을 $E$라 하고, 선분 $ED$가 변 $BC$와 만나는 점을 $F$라 한다. 사각형 $BFDG$의 넓이를 구하여라.

주어진 것: $ABCD$는 $AB=6$, $AD=30$인 직사각형이다.; $G$는 $\overline{AD}$의 중점이다.; $E$는 반직선 $AB$ 위에서 $B$로부터 2만큼 떨어진 점이므로 $BE=2$이다.; $F$는 $\overline{ED}$와 $\overline{BC}$의 교점이다.

구하는 것: 사각형 $BFDG$의 넓이.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

직사각형, 연장된 변, 가로지르는 선이 섞여 있으므로, 모든 점에 분명한 좌표를 주는 좌표평면 위에 올려놓는 것이 가장 깔끔하다. 그러면 문제는 두 개의 작은 문제로 나뉜다. 먼저 변 $BC$ 위의 $F$를 찾고, 그다음 $BFDG$의 넓이를 구한다. 점을 좌표로 놓고 보면 $BFDG$는 사다리꼴이 되어, 넓이를 공식 하나로 구할 수 있다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

직사각형을 좌표평면에 놓기

$A$를 원점에 두고 $B$를 오른쪽에, $D$를 위쪽에 놓는다.
그러면 $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(6,30)$, $D=(0,30)$이다.
$\overline{AD}$의 중점 $G$는 $(0,15)$이다.
$AB$를 $B$ 너머로 2만큼 연장하면 $E=(8,0)$이 된다.
변 $BC$는 수직선 $x=6$이다.

$$A=(0,0),\; B=(6,0),\; C=(6,30),\; D=(0,30),\; G=(0,15),\; E=(8,0)$$

💡 모든 꼭짓점에 $(x,y)$ 주소를 주면 그림이 계산할 수 있는 수로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 2

닮은 삼각형으로 F 찾기

삼각형 $EBF$와 $EAD$를 보자.
둘은 $E$에서의 각을 공유하고, $BF$(선 $x=6$의 일부)는 $AD$(선 $x=0$)와 평행하므로 두 삼각형은 닮음이다.
크기의 비는 $EB:EA = 2:8 = 1:4$이다.
$AD=30$이므로 대응하는 변 $BF$는 그 4분의 1인 $BF=\tfrac{30}{4}=\tfrac{15}{2}$이다.
따라서 $F=(6,\tfrac{15}{2})$이다.

$$\frac{BF}{AD}=\frac{EB}{EA}=\frac{2}{8}=\frac14 \;\Rightarrow\; BF=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$$

💡 각 하나를 공유하고 밑변이 평행한 두 삼각형은 크기만 다른 닮은꼴이라 변이 같은 비율로 줄어든다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 3

BFDG를 사다리꼴로 보기

꼭짓점은 $B=(6,0)$, $F=(6,\tfrac{15}{2})$, $D=(0,30)$, $G=(0,15)$이다.
변 $BF$는 수직선 $x=6$ 위에, 변 $GD$는 수직선 $x=0$ 위에 있으므로 $BF$와 $GD$는 평행하다.
따라서 $BFDG$는 사다리꼴이다.
두 평행변은 $BF=\tfrac{15}{2}$와 $GD=30-15=15$이고, 두 수직선 사이의 거리는 $6$이다.

BF=\tfrac{15}{2},\quad GD=15,\quad \text{높이}=6

💡 사각형의 두 변이 평행하면 그 도형은 사다리꼴이고, 넓이는 공식 하나로 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

사다리꼴 넓이 공식 적용하기

사다리꼴의 넓이는 두 평행변의 평균에 높이를 곱한 것이다.
여기서는 $\tfrac12(BF+GD)\cdot 6 = \tfrac12\left(\tfrac{15}{2}+15\right)\cdot 6 = \tfrac12\cdot\tfrac{45}{2}\cdot 6 = \tfrac{135}{2}$이다.
따라서 $BFDG$의 넓이는 $\tfrac{135}{2}$이고, 답은 (C)이다.

\text{넓이}=\tfrac12(BF+GD)\cdot h=\tfrac12\left(\tfrac{15}{2}+15\right)\cdot 6=\tfrac{135}{2}

💡 두 평행변을 평균 내면 비스듬한 사다리꼴이 넓이가 같은 직사각형으로 바뀌어 재기 쉬워진다.

[1] #1 6.G.A.3 $A$를 원점에 두고 $B$를 오른쪽에, $D$를 위쪽에 놓는다. 그러면 $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(6,30)$, $D=(0

[2] #7 8.G.A.5 삼각형 $EBF$와 $EAD$를 보자. 둘은 $E$에서의 각을 공유하고, $BF$(선 $x=6$의 일부)는 $AD$(선 $x=0$)와 평행하므로

[3] #1 6.G.A.1 꼭짓점은 $B=(6,0)$, $F=(6,\tfrac{15}{2})$, $D=(0,30)$, $G=(0,15)$이다. 변 $BF$는 수직선 $x=

[4] #7 6.G.A.1 사다리꼴의 넓이는 두 평행변의 평균에 높이를 곱한 것이다. 여기서는 $\tfrac12(BF+GD)\cdot 6 = \tfrac12\left(\t

검토

합리성 확인: 직사각형 전체 넓이는 $6\times 30=180$이다. 사다리꼴 넓이 $\tfrac{135}{2}=67.5$는 그 3분의 1을 조금 넘는데, 한쪽은 높이 전체를 다른 쪽은 일부를 차지하는 영역치고 타당한 값이다. $B(6,0),F(6,7.5),D(0,30),G(0,15)$에 신발끈 공식을 적용해도 $\tfrac12|135|=\tfrac{135}{2}$가 나와 답을 확인해 준다.

대안 접근: 사다리꼴 공식 대신, 네 꼭짓점 $B$, $F$, $D$, $G$의 좌표를 바로 신발끈 공식에 넣으면 $\tfrac{135}{2}$가 곧바로 나온다. 또는 직선 $ED$를 $y=-\tfrac{15}{4}(x-8)$로 쓰고 $x=6$을 대입하여 $y=\tfrac{15}{2}$로 $F$를 구할 수도 있다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (직사각형, 중점 $G$, 연장점 $E$를 좌표평면에 올려 모든 꼭짓점에 좌표를 부여함.)
8.G.A.5 Use informal arguments to establish the angle-angle criterion for similarity of triangles (삼각형 $EBF$와 $EAD$가 닮음임을 이용해 $BF=\tfrac{15}{2}$를 구함.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing ($BFDG$를 사다리꼴로 파악하고 사다리꼴 공식으로 넓이를 계산함.)

⭐ 도형을 좌표평면에 올리고, 닮은 삼각형으로 빠진 꼭짓점을 찾으면, 그 영역은 공식 하나로 잴 수 있는 사다리꼴이 된다.