AMC 10 · 2012 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometrysimilar-trianglesarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 ABCD에서 AB=6, AD=30이다. 점 G는 변 AD의 중점이다. 변 AB를 B 너머로 2만큼 연장한 점을 E라 하고, 선분 ED가 변 BC와 만나는 점을 F라 한다. 사각형 BFDG의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{133}{2}$

(B)

(C)

$\frac{135}{2}$

(D)

(E)

$\frac{137}{2}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

직사각형, 연장된 변, 가로지르는 선이 섞여 있으므로, 모든 점에 분명한 좌표를 주는 좌표평면 위에 올려놓는 것이 가장 깔끔하다. 그러면 문제는 두 개의 작은 문제로 나뉜다. 먼저 변 BC 위의 F를 찾고, 그다음 BFDG의 넓이를 구한다. 점을 좌표로 놓고 보면 BFDG는 사다리꼴이 되어, 넓이를 공식 하나로 구할 수 있다.

1STEP 1

직사각형을 좌표평면에 놓기

A를 원점에 두면 A=(0,0), B=(6,0), C=(6,30), D=(0,30), AD의 중점 G=(0,15), E=(8,0)이다.

A=(0,0), B=(6,0), C=(6,30), D=(0,30), G=(0,15), E=(8,0)

2STEP 2

닮은 삼각형으로 F 찾기

EBF와 EAD는 각 E를 공유하고 밑변이 평행하니 닮음, $\frac{EB}{EA}=\frac{2}{8}$ 이므로 BF= $\frac{15}{2}$ .

BF/AD=EB/EA=2/8=1/4 → BF=30/4=15/2

3STEP 3

BFDG를 사다리꼴로 보기

BF와 GD는 수직선 x=6, x=0 위에 있어 BFDG는 평행변이 $\frac{15}{2}$ 와 GD=15, 높이가 6인 사다리꼴이다.

BF=15/2, GD=15, 높이=6

4STEP 4

사다리꼴 넓이 공식 적용하기

두 평행변을 평균 내어 높이를 곱하면 $\frac{1}{2}(\frac{15}{2}+15)\cdot 6=$ $\frac{135}{2}$ , 곧 (C)이다.

넓이=1/2(BF+GD) · h=1/2(15/2+15) · 6=135/2

정답

135/2

직사각형 전체 넓이는 6 × 30=180이다. 사다리꼴 넓이 135/2=67.5는 그 3분의 1을 조금 넘는데, 한쪽은 높이 전체를 다른 쪽은 일부를 차지하는 영역치고 타당한 값이다. B(6,0),F(6,7.5),D(0,30),G(0,15)에 신발끈 공식을 적용해도 1/2|135|=135/2가 나와 답을 확인해 준다.

💡핵심 정리

도형을 좌표평면에 올리고, 닮은 삼각형으로 빠진 꼭짓점을 찾으면, 그 영역은 공식 하나로 잴 수 있는 사다리꼴이 된다.

직사각형을 좌표평면에 놓기
닮은 삼각형으로 F 찾기
BFDG를 사다리꼴로 보기
사다리꼴 넓이 공식 적용하기

직사각형을 좌표평면에 놓기

닮은 삼각형으로 F 찾기

BFDG를 사다리꼴로 보기

사다리꼴 넓이 공식 적용하기

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