AMC 10 · 2012 · #2

학년 7 geometry-2d

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

area-rectanglesratio-proportionarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 반지름이 5인 원이 직사각형에 내접해 있다. 직사각형의 가로와 세로의 비는 2:1이다. 이 직사각형의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

125

(D)

150

(E)

200

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $5$인 원이 직사각형에 내접해 있고, 직사각형의 가로와 세로의 비는 $2:1$이다. 직사각형의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 원의 반지름은 $5$이다; 원이 직사각형에 내접하므로 네 변에 모두 닿는다; 직사각형의 긴 변은 짧은 변의 $2$배이다 (비 $2:1$); 그림에서 원은 직사각형 안 중앙에 있으며 위아래로 꽉 차 있다

구하는 것: 직사각형의 넓이

이해

문제 재정리: 반지름이 $5$인 원이 직사각형에 내접해 있고, 직사각형의 가로와 세로의 비는 $2:1$이다. 직사각형의 넓이를 구하여라.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

그림이 핵심이다. 도구 #1(그림 그리기)은 "내접"이라는 말을 잴 수 있는 사실로 바꿔 준다. 원이 위 변과 아래 변에 접하므로, 원이 위아래로 차지하는 거리 — 즉 지름 — 이 바로 직사각형의 세로이다. 세로가 정해지면, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계만 남는다. $2:1$ 비로 가로를 구하고, 가로와 세로를 곱해 넓이를 구한다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

원에서 세로를 읽어내기

원이 내접하므로 직사각형의 위 변과 아래 변에 딱 닿는다.
아래에 닿는 점에서 위에 닿는 점까지의 직선 거리는 원의 중심을 지나며, 이것이 바로 원의 지름이다.
따라서 직사각형의 세로는 지름과 같고, 지름은 반지름의 두 배이다: $2 \times 5 = 10$.

$$\text{세로} = \text{지름} = 2 \times 5 = 10$$

💡 두 평행한 벽 사이에 꽉 낀 원은 정확히 지름만큼의 공간을 채우므로, 그 지름이 벽 사이의 간격이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 2

비를 이용해 가로 구하기

가로와 세로의 비가 $2:1$이라는 것은 가로가 세로의 $2$배라는 뜻이다.
세로가 $10$이므로 가로는 $2 \times 10 = 20$이다.
이것은 가로가 세로의 두 배로 그려진 그림과도 일치한다.

$$\text{가로} = 2 \times \text{세로} = 2 \times 10 = 20$$

💡 $2:1$ 비는 앞의 양이 뒤의 양의 두 배라는 뜻이므로, 아는 변을 $2$배로 늘리면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 3

가로와 세로 곱하기

직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이다.
가로가 $20$, 세로가 $10$이므로 넓이는 $20 \times 10 = 200$이다.
이것은 보기 (E)와 일치한다.

$$\text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로} = 20 \times 10 = 200 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 직사각형의 넓이는 안에 든 단위 정사각형의 개수이고, 그것은 언제나 가로 곱하기 세로이다.

[1] #1 7.G.B.4 원이 내접하므로 직사각형의 위 변과 아래 변에 딱 닿는다. 아래에 닿는 점에서 위에 닿는 점까지의 직선 거리는 원의 중심을 지나며, 이것이 바로

[2] #7 6.RP.A.1 가로와 세로의 비가 $2:1$이라는 것은 가로가 세로의 $2$배라는 뜻이다. 세로가 $10$이므로 가로는 $2 \times 10 = 20$이다.

[3] #7 4.MD.A.3 직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이다. 가로가 $20$, 세로가 $10$이므로 넓이는 $20 \times 10 = 200$이다. 이것은 보기

검토

합리성 확인: 두 변을 그림과 맞춰 보자: 세로 $10$은 지름 $2\times 5$와 같고, 가로 $20$은 그 두 배 — 정확히 그림의 $2:1$ 상자이다. 넓이 $200$만이 조건에 맞는다. 헷갈리기 쉬운 오답은 (B) $100$인데, 이는 지름 $10$ 대신 반지름 $5$를 세로로 쓴 결과이다. 하지만 반지름은 원의 절반까지만 닿으므로, 전체 세로는 반드시 지름이어야 한다.

대안 접근: 그림에서 좌표를 그대로 읽어도 된다. 직사각형의 꼭짓점이 $(0,0)$과 $(20,10)$이므로 가로 $20$, 세로 $10$이고 넓이는 $20 \times 10 = 200$이다. 중심 $(10,5)$, 반지름 $5$인 원은 $y=0$에서 $y=10$까지 닿으므로 지름이 세로와 같음을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (반지름과 지름의 관계($\text{지름} = 2 \times \text{반지름}$)를 이용해 내접원이 세로 $10$을 차지함을 파악하는 데 사용.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 언어 사용하기 (가로와 세로의 비 $2:1$을 "가로가 세로의 두 배"로 읽어 가로 $20$을 구하는 데 사용.)
4.MD.A.3 실생활 문제에서 직사각형의 넓이와 둘레 공식 적용하기 (직사각형의 넓이를 가로 곱하기 세로, $20 \times 10 = 200$으로 계산하는 데 사용.)

⭐ 내접원은 딱 지름만큼 가로질러 뻗으므로, 그 지름이 상자의 짧은 변이다 — 그것을 먼저 찾으면 나머지는 비와 넓이 계산일 뿐이다.