AMC 10 · 2012 · #20
학년 7 countingprobability답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
승리 조건은 게임의 끝에서 주어지고("1000 미만을 마지막으로 만든 사람"), 문제는 시작값 N을 묻는다 — 전형적인 도구 #11(거꾸로 풀기) 상황이다. 끝에서 거슬러 보면, 베르나르도는 실비아에게 넘긴 수가 너무 커서 실비아의 +50이 1000 이상이 될 때 이긴다. 따라서 그의 승리 수는 950–999 구간에 갇힌다. 도구 #4(변수 도입하기)로 번갈아 두 배·더하기 하는 과정을 N에 대한 식으로 정리하면 베르나르도의 출력은 2N, 4N+100, 8N+300, 16N+700이 된다. 도구 #14(극단의 원리)로 그 구간에 처음 도달하는 가장 작은 N을 찾으면 마지막 출력에서 걸린다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 N=16과 N=15을 실제로 굴려 승자를 확인한다.
승리를 수의 구간으로 바꾸기
베르나르도의 수 B는 1000 미만인데 B + 50이 1000 이상이면 실비아가 막힌다. 즉 950 ≤ B ≤ 999.
베르나르도는 실비아의 +50이 버틸 수 없을 만큼 큰 수를 넘겨서 이기므로, 그의 마지막 수는 1000 바로 아래 50칸 안에 있어야 한다.
5.OA.A.2Work Backwards시작값에 이름 붙이고 동작 따라가기
시작값을 N이라 하고 각 동작을 식으로 쓰면 2N, 2N+50, 4N+100, 4N+150, 8N+300, 8N+350, 16N+700이다.
모르는 시작값을 문자로 두면 한 줄의 대수가 게임의 왔다 갔다 전부를 대신한다.
6.EE.B.6Introduce A Variable베르나르도의 네 수 나열하기
베르나르도의 출력은 2N, 4N+100, 8N+300, 16N+700이고, 마지막이 가장 커서 가장 작은 N에서 구간에 닿는다.
N의 곱하는 수가 가장 큰 출력이 승리 구간에 먼저 올라가므로 가장 작은 시작값을 준다.
6.EE.A.2Introduce A Variable가장 작은 승리 시작값 구하기
950 ≤ 16N+700 ≤ 999에서 250 ≤ 16N ≤ 299, 15.625 ≤ N ≤ 18.6875이므로 최소 정수는 N = 16.
복합 부등식을 풀면 승리 시작값이 정수 몇 개의 짧은 묶음임이 드러나고, 그 묶음의 가장 작은 끝이 답이다.
겹친 부등식을 풀면 이기는 시작 값들이 정수의 짧은 덩어리 하나를 이룸이 드러난다.
▸ 왜?
참인 비교의 모든 부분에 같은 연산을 해도 참으로 남는다.
▸ 왜?
두 경계가 양쪽에서 조이므로, 그 사이의 것만 살아남고 다른 것은 남지 않는다.
게임을 다시 굴려 확인하기
N=16이면 32, 82, 164, 214, 428, 478, 956이고 실비아는 1006에서 막힌다. N=15은 940뿐이라 실패한다.
16과 15로 게임을 실제로 걸어 보면 16은 이기고 그보다 작은 값은 안 됨이 확인된다.
4.OA.A.3Guess And Check각 자리 숫자 더하기
가장 작은 승리 시작값은 N = 16이고, 묻는 것은 자리 숫자 합이므로 1 + 6 = 7, 보기 (A)이다.
문제의 마지막 요구는 우리가 찾은 수 자체가 아니라 그 수의 각 자리 숫자의 합이다.
4.NBT.B.4Guess And Check끝에서 거꾸로 생각하자: 베르나르도는 자기 수가 950–999에 들어올 때 이기고, 두 배·더하기를 하나의 식 16N+700으로 바꾸면 가장 작은 시작값은 16, 그 자리 숫자 합은 7이다.
- 승리를 수의 구간으로 바꾸기
- 시작값에 이름 붙이고 동작 따라가기
- 베르나르도의 네 수 나열하기
- 가장 작은 승리 시작값 구하기
- 게임을 다시 굴려 확인하기
- 각 자리 숫자 더하기