AMC 10 · 2012 · #20

학년 7 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Rule-Governed Process Simulation

interval-arithmeticdigit-sum work-backwards ↑ 선수 지식: interval-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

베르나르도와 실비아가 다음과 같은 게임을 한다. $0$ 이상 $999$ 이하의 정수 하나를 골라 베르나르도에게 준다. 베르나르도는 수를 받을 때마다 그 수를 두 배로 만들어 실비아에게 넘긴다. 실비아는 수를 받을 때마다 그 수에 $50$ 을 더해 베르나르도에게 넘긴다. $1000$ 보다 작은 수를 마지막으로 만들어 내는 사람이 승자가 된다. 베르나르도가 이기게 되는 가장 작은 처음 수를 $N$ 이라 하자. $N$ 의 각 자리 숫자의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $0$부터 $999$까지의 정수 $N$에서 시작한다. 베르나르도가 먼저 자기가 가진 수를 두 배로 만들고, 실비아는 받은 수에 $50$을 더한다. 두 사람은 이렇게 번갈아 진행한다. 만든 수가 $1000$보다 작을 때만 그 수가 유효하다. 마지막으로 $1000$보다 작은 수를 만든 사람이 이긴다. 베르나르도가 이기게 되는 가장 작은 시작값 $N$을 찾고, 그 $N$의 각 자리 숫자의 합을 구하여라.

주어진 것: 시작값 $N$은 $0 \le N \le 999$인 정수; 베르나르도의 동작: 받은 수를 두 배로 만든다; 실비아의 동작: 받은 수에 $50$을 더한다; 베르나르도가 먼저 시작하고 번갈아 진행한다; $1000$보다 작은 수를 마지막으로 만든 사람이 승자; 보기: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$

구하는 것: 베르나르도가 이기게 되는 가장 작은 시작값 $N$; 그 $N$의 각 자리 숫자의 합

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #14 극단의 원리, #6 추측하고 확인하기

승리 조건은 게임의 *끝*에서 주어지고("$1000$ 미만을 마지막으로 만든 사람"), 문제는 *시작값* $N$을 묻는다 — 전형적인 도구 #11(거꾸로 풀기) 상황이다. 끝에서 거슬러 보면, 베르나르도는 실비아에게 넘긴 수가 너무 커서 실비아의 $+50$이 $1000$ 이상이 될 때 이긴다. 따라서 그의 승리 수는 $950$–$999$ 구간에 갇힌다. 도구 #4(변수 도입하기)로 번갈아 두 배·더하기 하는 과정을 $N$에 대한 식으로 정리하면 베르나르도의 출력은 $2N,\;4N+100,\;8N+300,\;16N+700$이 된다. 도구 #14(극단의 원리)로 그 구간에 처음 도달하는 *가장 작은* $N$을 찾으면 마지막 출력에서 걸린다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $N=16$과 $N=15$을 실제로 굴려 승자를 확인한다.

실행 — 정답: A

#11 거꾸로 풀기 5.OA.A.2 단계 1

승리를 수의 구간으로 바꾸기

끝에서 거꾸로 읽는다.
베르나르도는 $1000$ 미만을 마지막으로 만들면 이긴다.
베르나르도가 유효한 수 $B < 1000$을 말한 직후는 실비아 차례이고 그녀는 $50$을 더해야 한다.
만약 $B + 50 \ge 1000$이면 실비아는 유효한 동작을 할 수 없으므로 베르나르도의 수가 마지막이 되어 베르나르도가 이긴다.
이는 $B \ge 950$일 때 일어난다.
$B < 1000$과 합치면 베르나르도의 승리 수는 $950 \le B \le 999$ 구간에 놓인다.

$$B < 1000 \;\text{이고}\; B + 50 \ge 1000 \;\Longrightarrow\; 950 \le B \le 999$$

💡 베르나르도는 실비아의 $+50$이 버틸 수 없을 만큼 큰 수를 넘겨서 이기므로, 그의 마지막 수는 $1000$ 바로 아래 $50$칸 안에 있어야 한다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

시작값에 이름 붙이고 동작 따라가기

시작 정수를 $N$이라 하자.
한 순환을 따라간다.
베르나르도가 두 배로 $2N$; 실비아가 $50$을 더해 $2N+50$; 베르나르도가 두 배로 $4N+100$; 실비아가 $4N+150$; 베르나르도가 두 배로 $8N+300$; 실비아가 $8N+350$; 베르나르도가 두 배로 $16N+700$.
각 동작을 $N$에 대한 식으로 쓰면 번갈아 진행되는 게임 전체를 한눈에 볼 수 있다.

$$N \to 2N \to 2N+50 \to 4N+100 \to 4N+150 \to 8N+300 \to 8N+350 \to 16N+700$$

💡 모르는 시작값을 문자로 두면 한 줄의 대수가 게임의 왔다 갔다 전부를 대신한다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 3

베르나르도의 네 수 나열하기

베르나르도가 만드는 수만 순서대로 뽑는다: $2N$, $4N+100$, $8N+300$, $16N+700$.
매번 $N$의 계수가 두 배가 되므로 *마지막* 출력 $16N+700$이 가장 크고, 가장 작은 $N$에서 $950$ 구간에 먼저 도달한다.
$N$을 최대한 작게 하려면 이 마지막 출력 $16N+700$이 베르나르도의 승리 수가 되기를 원한다.

$$\text{베르나르도의 출력: } 2N,\; 4N+100,\; 8N+300,\; 16N+700$$

💡 $N$의 곱하는 수가 가장 큰 출력이 승리 구간에 먼저 올라가므로 가장 작은 시작값을 준다.

#14 극단의 원리 7.EE.B.4 단계 4

가장 작은 승리 시작값 구하기

베르나르도의 마지막 출력을 승리 구간에 놓는다: $950 \le 16N + 700 \le 999$.
양변에서 $700$을 빼면 $250 \le 16N \le 299$.
$16$으로 나누면 $15.625 \le N \le 18.6875$.
이 범위의 정수는 $16, 17, 18$이고, 극단의 원리에 따라 가장 작은 것은 $N = 16$이다.

$$950 \le 16N+700 \le 999 \;\Rightarrow\; 250 \le 16N \le 299 \;\Rightarrow\; 15.625 \le N \le 18.6875 \;\Rightarrow\; N_{\min}=16$$

💡 복합 부등식을 풀면 승리 시작값이 정수 몇 개의 짧은 묶음임이 드러나고, 그 묶음의 가장 작은 끝이 답이다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 5

게임을 다시 굴려 확인하기

$N=16$을 실제로 굴린다: $16 \to 32 \to 82 \to 164 \to 214 \to 428 \to 478 \to 956$.
여덟 수 모두 $1000$ 미만이고, 베르나르도의 $956$은 실비아를 $956+50 = 1006 \ge 1000$으로 몰아 베르나르도가 이긴다.
$N=15$은 안 됨을 확인한다: $16(15)+700 = 940 < 950$이 되고, 이어서 실비아가 $990$을 만들며 베르나르도의 두 배 $1980 \ge 1000$ — 실비아의 $990$이 마지막이라 실비아가 이긴다.
따라서 $16$이 정말로 가장 작은 승리 시작값이다.

$$N=16:\; 32,82,164,214,428,478,956;\;\; 956+50=1006 \ge 1000\; (\text{B 승}) \quad|\quad N=15:\; 990\;(\text{S 승})$$

💡 $16$과 $15$로 게임을 실제로 걸어 보면 $16$은 이기고 그보다 작은 값은 안 됨이 확인된다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.4 단계 6

각 자리 숫자 더하기

가장 작은 승리 시작값은 $N = 16$이다.
문제는 그 각 자리 숫자의 합을 묻는다: $1 + 6 = 7$.
따라서 답은 $(\text{A})\ 7$이다.

$$N = 16 \;\Rightarrow\; 1 + 6 = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 문제의 마지막 요구는 우리가 찾은 수 자체가 아니라 그 수의 각 자리 숫자의 합이다.

[1] #11 5.OA.A.2 끝에서 거꾸로 읽는다. 베르나르도는 $1000$ 미만을 마지막으로 만들면 이긴다. 베르나르도가 유효한 수 $B < 1000$을 말한 직후는 실비

[2] #4 6.EE.B.6 시작 정수를 $N$이라 하자. 한 순환을 따라간다. 베르나르도가 두 배로 $2N$; 실비아가 $50$을 더해 $2N+50$; 베르나르도가 두 배

[3] #4 6.EE.A.2 베르나르도가 만드는 수만 순서대로 뽑는다: $2N$, $4N+100$, $8N+300$, $16N+700$. 매번 $N$의 계수가 두 배가 되므

[4] #14 7.EE.B.4 베르나르도의 마지막 출력을 승리 구간에 놓는다: $950 \le 16N + 700 \le 999$. 양변에서 $700$을 빼면 $250 \le

[5] #6 4.OA.A.3 $N=16$을 실제로 굴린다: $16 \to 32 \to 82 \to 164 \to 214 \to 428 \to 478 \to 956$. 여덟

[6] #6 4.NBT.B.4 가장 작은 승리 시작값은 $N = 16$이다. 문제는 그 각 자리 숫자의 합을 묻는다: $1 + 6 = 7$. 따라서 답은 $(\text{A})

검토

합리성 확인: 구간 논리와 대수가 일치한다: $N=16$이면 베르나르도의 마지막 수가 $956$으로 $950\le B\le 999$에 들어가 실비아의 $+50$이 $1006$에서 죽고, 직접 굴려 보면 앞의 모든 수가 유효하게 유지된다. 이웃한 $N=15$은 $940$을 만들어 구간에서 하나 모자라고 실비아가 이기므로, $16$이 우연히 되는 값이 아니라 진짜 최솟값임이 증명된다. 각 자리 숫자 합 $1+6=7$은 정확히 보기 (A)이고, $7$은 제시된 자리 합 중 가장 작아 *작은* 최소 $N$이 *작은* 자리 합을 가진다는 사실과 맞는다.

대안 접근: 대수 없이 순수하게 도구 #11(거꾸로 풀기)만 쓰기: 베르나르도의 승리 수 $[950,999]$에서 시작해 동작을 하나씩 벗긴다. 베르나르도의 두 배를 되돌리면(반으로) 실비아가 넘긴 수는 $[475,499.5]$. 실비아의 $+50$을 되돌리면 베르나르도의 직전 출력은 $[425,449.5]$. 다시 반으로 $[212.5,224.75]$; $+50$ 되돌리기 $[162.5,174.75]$; 반으로 $[81.25,87.375]$; $+50$ 되돌리기 $[31.25,37.375]$; 마지막으로 반으로 나눠 시작값에 도달하면 $N \in [15.625,18.6875]$. 가장 작은 정수 시작값은 $N=16$ — 게임을 끝에서 되감아 얻는 같은 답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.OA.A.2 수를 이용한 계산을 기록하는 간단한 식 쓰기 (승리 조건을 수의 구간으로 기록하기: 베르나르도의 마지막 수는 실비아의 $+50$이 $1000$에 닿도록 $950 \le B \le 999$를 만족해야 한다.)
6.EE.B.6 수를 나타내는 변수를 사용하여 문제 해결을 위한 식 쓰기 (모르는 시작값을 $N$으로 두고 번갈아 진행되는 각 동작을 $N$에 대한 식으로 쓰기.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (베르나르도의 네 출력 $2N,\,4N+100,\,8N+300,\,16N+700$을 나열하고 크기를 비교하기.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식 세우기 (복합 부등식 $950 \le 16N+700 \le 999$를 풀어 정수 시작값 $16,17,18$과 그중 가장 작은 $N=16$을 찾기.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 사용하여 여러 단계의 문장제 풀기 ($N=16$(승)과 $N=15$(패)에 대해 게임을 한 단계씩 다시 굴려 최솟값 확인하기.)
4.NBT.B.4 여러 자리 정수를 능숙하게 더하고 빼기 ($16$의 각 자리 숫자를 더해 최종 답 $1+6=7$ 얻기.)

⭐ 끝에서 거꾸로 생각하자: 베르나르도는 자기 수가 $950$–$999$에 들어올 때 이기고, 두 배·더하기를 하나의 식 $16N+700$으로 바꾸면 가장 작은 시작값은 $16$, 그 자리 숫자 합은 $7$이다.