AMC 10 · 2012 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

equilateral-trianglecoordinate-geometrythirty-sixty-ninety-triangle casework ↑ 선수 지식: equilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

평면 위에 서로 다른 네 점을 놓는다. 이 점들을 잇는 선분은 모두 여섯 개이고, 그 길이는 어떤 순서로 a, a, a, a, 2a, b이다. 네 점이 어떻게 배치되어야 하는지 알아낸 뒤, 비 b:a의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{3}$

(B)

(C)

$\sqrt{5}$

(D)

(E)

$\pi$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 온전히 위치와 거리에 관한 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 자연스러운 주도 도구다. 네 점을 종이 위에 확정하는 순간 답이 나온다. 유독 긴 선분 2a가 핵심 압박점이다. 도구 #3(가능성 지우기)은 삼각형 부등식을 써서 세 변이 a,a,2a인 실제 삼각형을 배제하고, 그 결과 세 점이 한 직선 위에 놓이도록 강제한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 여섯 선분을 두 덩어리로 나눈다 — 일직선 위의 세 선분 a,a,2a와 네 번째 점에서 뻗어 나오는 세 선분이다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 모든 길이를 a의 배수로 적어 두면, a가 나눠져 사라지고 최종 답이 순수한 비로 남는다.

1STEP 1

긴 선분에 주목하기

가장 긴 선분을 PQ = 2a라 하자. 세 번째 점 R이 P, Q에서 모두 거리 a라면 삼각형 PQR의 세 변은 a, a, 2a다.

PQ = 2a, PR = a, QR = a

2STEP 2

납작한 삼각형 지우기

그런데 a + a = 2a는 2a보다 크지 않다. 따라서 P, R, Q는 한 직선 위에 놓이고 R이 PQ의 중점이다.

a + a = 2a ≯ 2a ⟹ P, R, Q 일직선, R 은 중점

3STEP 3

일직선 위의 세 점을 수직선에 놓기

그 직선을 x축으로 두어 P=(0,0), R=(a,0), Q=(2a,0). 남은 세 선분은 네 번째 점 D로 뻗는다.

P=(0,0), R=(a,0), Q=(2a,0); 쓴 길이 {a,a,2a}

4STEP 4

네 번째 점 찾기

D의 세 거리 a, a, b 중 두 a는 P, Q로 갈 수 없으니 DP=DR=a, 즉 D=(a/2, √(3)a/2).

DP=DR=a → D=(a/2,√(3)/2a)

5STEP 5

마지막 선분 재기

남은 선분 DQ = b. 가로 3a/2, 세로 √(3)a/2이므로 b² = 3a², 즉 b = √(3) a.

b²=(3a/2)²+(√(3)/2a)²=9a²/4+3a²/4=3a² → b=√(3) a

6STEP 6

비 만들기

네 a-선분은 PR, RQ, DP, DR, 긴 선분은 PQ=2a, 마지막은 DQ=b. 따라서 b:a = √(3), 답 (A).

b/a=√(3) a/a=√(3) → (A)

정답

√(3)

완성된 그림에서 선분을 세어 본다: PR, RQ, DP, DR은 각각 a(네 개), PQ=2a는 긴 선분, DQ=√(3) a=b이다. 이는 요구된 목록 a,a,a,a,2a,b와 정확히 같고, 네 점이 모두 서로 다르므로 배치가 유효하다. √(3)≈ 1.73은 a와 2a 사이에 알맞게 들어가는데, 이는 정삼각형 꼭대기에서 밑변 직선의 먼 끝까지 뻗는 선분에 잘 맞는다. 보기 중 오직 √(3)만 부합하므로 (A)가 확인된다.

💡핵심 정리

2a는 너무 길어 두 개의 a-변과 삼각형을 이룰 수 없으므로 세 점은 한 직선 위에 납작하게 놓여야 하고, 네 번째 점이 정삼각형을 만들면 마지막 선분이 √(3) a가 되어 b/a=√(3)이다.

긴 선분에 주목하기
납작한 삼각형 지우기
일직선 위의 세 점을 수직선에 놓기
네 번째 점 찾기
마지막 선분 재기
비 만들기