AMC 10 · 2012 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

equilateral-trianglecoordinate-geometrythirty-sixty-ninety-triangle casework ↑ 선수 지식: equilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

평면 위에 서로 다른 네 점이 놓여 있어서, 그 점들을 잇는 선분들의 길이가 $a$ , $a$ , $a$ , $a$ , $2a$ , $b$ 이다. $b$ 와 $a$ 의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{3}$

(B)

(C)

$\sqrt{5}$

(D)

(E)

$\pi$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 평면 위에 서로 다른 네 점을 놓는다. 이 점들을 잇는 선분은 모두 여섯 개이고, 그 길이는 어떤 순서로 $a$, $a$, $a$, $a$, $2a$, $b$이다. 네 점이 어떻게 배치되어야 하는지 알아낸 뒤, 비 $b:a$의 값을 구하여라.

주어진 것: 서로 다른 점이 $4$개이므로 점들을 잇는 선분은 $\binom{4}{2}=6$개; 여섯 길이 중 네 개가 $a$; 여섯 길이 중 하나가 $2a$; 나머지 한 길이가 $b$; 보기: (A) $\sqrt{3}$, (B) $2$, (C) $\sqrt{5}$, (D) $3$, (E) $\pi$

구하는 것: 이 여섯 길이를 만들 수 있는 네 점의 배치; $b$ 대 $a$의 비

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기

이 문제는 온전히 위치와 거리에 관한 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 자연스러운 주도 도구다. 네 점을 종이 위에 확정하는 순간 답이 나온다. 유독 긴 선분 $2a$가 핵심 압박점이다. 도구 #3(가능성 지우기)은 삼각형 부등식을 써서 세 변이 $a,a,2a$인 실제 삼각형을 배제하고, 그 결과 세 점이 한 직선 위에 놓이도록 강제한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 여섯 선분을 두 덩어리로 나눈다 — 일직선 위의 세 선분 $a,a,2a$와 네 번째 점에서 뻗어 나오는 세 선분이다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 모든 길이를 $a$의 배수로 적어 두면, $a$가 나눠져 사라지고 최종 답이 순수한 비로 남는다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 7.G.A.2 단계 1

긴 선분에 주목하기

네 점을 잇는 선분은 여섯 개다.
그중 가장 긴 $2a$에 먼저 주목한다.
그 두 끝점을 $P$, $Q$라 하면 $PQ = 2a$이다.
어떤 세 번째 점 $R$이 $P$와 $Q$ 양쪽에 짧은 $a$-선분으로 이어진다면 어떻게 될지 물어본다.
그러면 세 변이 $a$, $a$, $2a$인 삼각형 $PQR$이 만들어진다.

$$PQ = 2a,\quad PR = a,\quad QR = a$$

💡 다른 모든 길이의 두 배인 유일한 길이가 도형 전체를 좌우하므로 거기서 시작한다.

#3 가능성 지우기 7.G.A.2 단계 2

납작한 삼각형 지우기

실제 삼각형은 각 변이 나머지 두 변의 합보다 짧아야 한다.
변이 $a$, $a$, $2a$이면 $a + a = 2a$가 되어 $2a$보다 크지 않다.
따라서 $P$, $R$, $Q$는 실제 삼각형을 이룰 수 없고, 한 직선 위로 납작하게 눌려 $R$이 선분 $PQ$의 정중앙에 놓여야 한다.
길이 $2a$인 선분의 양 끝에서 동시에 거리 $a$인 점은 오직 그 중점뿐이기 때문이다.

$$a + a = 2a \;\not>\; 2a \;\Longrightarrow\; P,\,R,\,Q \text{ 일직선, } R \text{ 은 중점}$$

💡 두 변의 합이 세 번째 변과 정확히 같으면 삼각형은 직선 위로 납작하게 무너진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.A.2 단계 3

일직선 위의 세 점을 수직선에 놓기

그 직선을 $x$축으로 두자.
$P=(0,0)$, 중점 $R=(a,0)$, $Q=(2a,0)$으로 놓는다.
이렇게 하면 여섯 선분 중 세 개를 쓴 셈이다: $PR=a$, $RQ=a$, $PQ=2a$.
남은 세 선분은 모두 네 번째 점으로 뻗는데, 그 점을 $D$라 하면 이 세 선분은 남은 길이 $a$, $a$, $b$여야 한다.

$$P=(0,0),\; R=(a,0),\; Q=(2a,0);\quad \text{쓴 길이 } \{a,a,2a\}$$

💡 좌표를 쓰면 거리 문제가 곧바로 계산할 수 있는 산수로 바뀐다.

#3 가능성 지우기 7.G.A.2 단계 4

네 번째 점 찾기

점 $D$는 $P$, $R$, $Q$로 길이 $a$, $a$, $b$를 공급해야 한다.
그 세 거리 중 둘이 $a$다.
이 둘이 $DP=a$와 $DQ=a$일 수는 없다.
$2a$-선분의 양 끝에서 동시에 거리 $a$인 점은 중점 $R$뿐인데 $D$는 새로운 점이어야 하기 때문이다.
따라서 두 $a$-거리는 $a$만큼만 떨어진 두 이웃으로 간다: $DP=a$, $DR=a$로 둔다.
그러면 $D$는 $PR$ 위에 정삼각형을 얹으며 $D=\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)$에 놓인다.

$$DP=DR=a \;\Rightarrow\; D=\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)$$

💡 길이 $a$인 밑변 위에 $a$짜리 두 변이 얹히면 익숙한 정삼각형이 만들어진다.

#1 그림 그리기 8.G.B.8 단계 5

마지막 선분 재기

아직 이름 붙지 않은 선분은 $DQ$ 하나이고 그 길이가 $b$다.
$D=\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)$와 $Q=(2a,0)$ 사이의 거리를 쓴다.
가로 차이는 $2a-\tfrac{a}{2}=\tfrac{3a}{2}$, 세로 차이는 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}a$다.
피타고라스 정리로 $b^2 = \left(\tfrac{3a}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 = \tfrac{9a^2}{4}+\tfrac{3a^2}{4}=3a^2$이므로 $b=\sqrt{3}\,a$이다.

$$b^2=\left(\tfrac{3a}{2}\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2=\tfrac{9a^2}{4}+\tfrac{3a^2}{4}=3a^2 \;\Rightarrow\; b=\sqrt{3}\,a$$

💡 찍어 놓은 두 점 사이의 거리는 가로 차이와 세로 차이에 피타고라스 정리를 쓴 것일 뿐이다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.1 단계 6

비 만들기

이제 모든 길이가 맞아떨어진다: 네 개의 $a$-선분은 $PR$, $RQ$, $DP$, $DR$이고, 긴 선분은 $PQ=2a$, 마지막은 $DQ=b=\sqrt{3}\,a$이다.
$b$ 대 $a$의 비는 $\dfrac{\sqrt{3}\,a}{a}=\sqrt{3}$이다.
따라서 답은 $(\text{A})\ \sqrt{3}$이다.

$$\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{3}\,a}{a}=\sqrt{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 두 길이를 모두 $a$의 배수로 적으면 $a$가 약분되어 비는 순수한 수만 남는다.

[1] #1 7.G.A.2 네 점을 잇는 선분은 여섯 개다. 그중 가장 긴 $2a$에 먼저 주목한다. 그 두 끝점을 $P$, $Q$라 하면 $PQ = 2a$이다. 어떤 세

[2] #3 7.G.A.2 실제 삼각형은 각 변이 나머지 두 변의 합보다 짧아야 한다. 변이 $a$, $a$, $2a$이면 $a + a = 2a$가 되어 $2a$보다 크지

[3] #7 5.G.A.2 그 직선을 $x$축으로 두자. $P=(0,0)$, 중점 $R=(a,0)$, $Q=(2a,0)$으로 놓는다. 이렇게 하면 여섯 선분 중 세 개를

[4] #3 7.G.A.2 점 $D$는 $P$, $R$, $Q$로 길이 $a$, $a$, $b$를 공급해야 한다. 그 세 거리 중 둘이 $a$다. 이 둘이 $DP=a$와

[5] #1 8.G.B.8 아직 이름 붙지 않은 선분은 $DQ$ 하나이고 그 길이가 $b$다. $D=\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}a

[6] #8 6.RP.A.1 이제 모든 길이가 맞아떨어진다: 네 개의 $a$-선분은 $PR$, $RQ$, $DP$, $DR$이고, 긴 선분은 $PQ=2a$, 마지막은 $DQ

검토

합리성 확인: 완성된 그림에서 선분을 세어 본다: $PR,\,RQ,\,DP,\,DR$은 각각 $a$(네 개), $PQ=2a$는 긴 선분, $DQ=\sqrt{3}\,a=b$이다. 이는 요구된 목록 $a,a,a,a,2a,b$와 정확히 같고, 네 점이 모두 서로 다르므로 배치가 유효하다. $\sqrt{3}\approx 1.73$은 $a$와 $2a$ 사이에 알맞게 들어가는데, 이는 정삼각형 꼭대기에서 밑변 직선의 먼 끝까지 뻗는 선분에 잘 맞는다. 보기 중 오직 $\sqrt{3}$만 부합하므로 (A)가 확인된다.

대안 접근: 좌표 없이 이등변삼각형 관계를 바로 쓴다. $D$는 중점 $R$에서 거리 $a$이고, $\triangle DPR$이 정삼각형이므로 $R$에서의 각은 $60^\circ$다. 그러면 그 옆에 남는 $\triangle DRQ$는 두 변 $DR=a$, $RQ=a$가 $120^\circ$를 끼고 만난다. 코사인 법칙으로 $DQ^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos 120^\circ = 2a^2 + a^2 = 3a^2$이므로 $DQ=\sqrt{3}\,a$, 즉 $b/a=\sqrt{3}$로 같은 답을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.2 Draw geometric shapes with given conditions including triangles (삼각형 부등식으로 세 변이 $a,a,2a$인 실제 삼각형을 배제하고, 네 번째 점을 확정하는 정삼각형을 세우는 데 사용.)
5.G.A.2 Represent real-world and mathematical problems by graphing points (일직선 위의 세 점을 $(0,0)$, $(a,0)$, $(2a,0)$에 놓아 거리를 계산 가능하게 만드는 데 사용.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system ($D$와 $Q$ 사이의 가로·세로 차이로 마지막 선분 $b=DQ=\sqrt{3}\,a$를 계산하는 데 사용.)
6.RP.A.1 Understand the concept of a ratio and use ratio language (비 $b:a$를 만들고 $\tfrac{\sqrt{3}\,a}{a}=\sqrt{3}$로 정리하는 데 사용.)

⭐ $2a$는 너무 길어 두 개의 $a$-변과 삼각형을 이룰 수 없으므로 세 점은 한 직선 위에 납작하게 놓여야 하고, 네 번째 점이 정삼각형을 만들면 마지막 선분이 $\sqrt{3}\,a$가 되어 $b/a=\sqrt{3}$이다.