spatial-visualizationpythagorean-theoremequilateral-triangleidentify-subproblems↑ 선수 지식:spatial-visualization
📏 긴 풀이💡 4 개 인사이트
문제
속이 꽉 찬 나무 단위 정육면체에서, 한 면 위의 인접하지 않은 두 꼭짓점과, 그 반대편 면 위의 (앞의 두 꼭짓점 어느 것과도 인접하지 않은) 한 꼭짓점을 지나는 평면으로 정사면체를 잘라낸다. 잘라낸 정사면체는 버리고, 정육면체의 남은 부분을 잘린 면이 아래로 가도록 탁자 위에 놓는다. 이 물체의 높이는 얼마인가?
문제 재정리: 나무로 된 단위 정육면체의 한 모서리 부분을, 세 꼭짓점을 지나는 하나의 평평한 절단면으로 잘라낸다: 한 면에서 대각선으로 마주 보는 두 꼭짓점과, 그 둘 어느 쪽과도 이웃하지 않는 맞은편 면의 꼭짓점이다. 잘려 나간 사면체는 버리고, 남은 입체를 절단면이 바닥에 닿도록 탁자 위에 놓는다. 남은 입체의 높이는 얼마인가?
주어진 것: 정육면체의 한 모서리 길이는 1이다.; 절단면은 한 면의 이웃하지 않는(대각선) 두 꼭짓점과, 그 둘 어느 쪽과도 이웃하지 않는 맞은편 면의 한 꼭짓점을 지난다.; 잘려 나간 사면체는 버리고, 나머지는 삼각형 절단면이 바닥을 향하도록 탁자 위에 놓는다.
구하는 것: 탁자 위에 놓인 남은 입체의 높이(바닥 위로의 수직 높이).
이해
문제 재정리: 나무로 된 단위 정육면체의 한 모서리 부분을, 세 꼭짓점을 지나는 하나의 평평한 절단면으로 잘라낸다: 한 면에서 대각선으로 마주 보는 두 꼭짓점과, 그 둘 어느 쪽과도 이웃하지 않는 맞은편 면의 꼭짓점이다. 잘려 나간 사면체는 버리고, 남은 입체를 절단면이 바닥에 닿도록 탁자 위에 놓는다. 남은 입체의 높이는 얼마인가?
주어진 것: 정육면체의 한 모서리 길이는 1이다.; 절단면은 한 면의 이웃하지 않는(대각선) 두 꼭짓점과, 그 둘 어느 쪽과도 이웃하지 않는 맞은편 면의 한 꼭짓점을 지난다.; 잘려 나간 사면체는 버리고, 나머지는 삼각형 절단면이 바닥을 향하도록 탁자 위에 놓는다.
계획
주요 도구: #17 공간 상상하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기
어려운 부분은 어느 꼭짓점이 깎이는지, 그리고 뒤집힌 입체가 어떻게 놓이는지를 머릿속에 그리는 일이다. 절단이 정육면체의 한 꼭짓점만 깎아내며 정육면체의 긴 대각선이 그 꼭짓점을 지나 절단면에 수직으로 뚫고 지난다는 것을 보는 순간, 높이는 곧 그 대각선에서 절단이 잘라낸 조각만큼을 뺀 값이 된다. 좌표를 잡고, 두 가지로 부피를 구해 조각의 높이를 뽑아내면 공간의 그림이 짧은 계산으로 바뀐다.
실행 — 정답: D
#1 그림 그리기 7.G.B.6단계 1
잘려 나가는 꼭짓점 찾기
단위 정육면체를 각 방향으로 [0,1]에 놓자.
절단면은 밑면에서 대각선으로 마주 보는 두 꼭짓점 P=(1,0,0), Q=(0,1,0)와, P와도 Q와도 닿지 않는 윗면 꼭짓점 R=(1,1,1)을 지난다.
이 세 점은 정확히 한 꼭짓점 O=(1,1,0)의 세 이웃이다.
따라서 버려지는 조각은 그 꼭짓점 자리에 있는 작은 사면체 OPQR이고, 평평한 삼각형 면 PQR이 남은 입체가 딛고 설 바닥이 된다.
💡 절단은 긴 대각선의 맨 위 루트 3 나누기 3 조각만 잘라내므로 나머지가 그대로 높이가 된다.
[1]
#1 7.G.B.6단위 정육면체를 각 방향으로 [0,1]에 놓자. 절단면은 밑면에서 대각선으로 마주 보는 두 꼭짓점 P=(1,0,0), Q=(0,1,0)와, P와
[2]
#7 8.G.B.7세 모서리 OP, OQ, OR은 각각 길이가 1이고 서로 수직이다. 정육면체의 세 방향을 따라 뻗기 때문이다. 절단면 PQR의 각 변은 이 이웃
[3]
#17 8.G.B.7잘린 꼭짓점 O=(1,1,0)에서 정육면체를 가로질러 곧장 마주 보는 꼭짓점은 S=(0,0,1)이다. 선분 OS는 정육면체의 공간 대각선으로,
[4]
#7 6.G.A.1한 변이 s인 정삼각형의 넓이는 루트 3을 4로 나눈 값에 s 제곱을 곱한 것이다. s가 루트 2이면 변의 제곱은 2이므로, 넓이는 루트 3을
[5]
#4 8.G.C.9모서리 사면체 OPQR의 부피를 두 가지로 구하자. 서로 수직인 세 단위 변을 쓰면 부피는 밑넓이(1 곱하기 1의 절반) 곱하기 높이 1의 3분
[6]
#17 7.G.B.6공간 대각선 OS 전체의 길이는 루트 3이다. 절단면은 잘린 꼭짓점 O에서 h, 즉 루트 3 나누기 3만큼 떨어진 지점에서 OS를 가로지른다.
검토
합리성 확인: 높이 2√3/3은 약 1.155로, 정육면체 자신의 모서리 1보다 조금 크지만 전체 공간 대각선 √3 ≈ 1.732보다는 충분히 작다. 이는 자연스럽다: 작은 모서리 조각만 잘라냈으므로 뒤집은 물체는 대각선 전체와 거의 같은 높이로 서되 완전히 같지는 않아야 한다. 또한 이 값은 2/√3와 같으며, 남은 가장 먼 꼭짓점 S=(0,0,1)이 절단 평면 x+y-z=1로부터 수직 거리 |0+0-1-1|/√3 = 2/√3만큼 떨어져 있다는 직접 확인과도 일치한다.
대안 접근: 부피 단계를 건너뛰고 좌표에 머물러도 된다. P, Q, R을 지나는 절단 평면은 x+y-z=1이고 법선 벡터는 (1,1,-1)이다. 서 있는 높이는 이 평면에서 남은 정육면체 꼭짓점까지의 가장 큰 수직 거리이다. 모든 꼭짓점을 확인하면 가장 먼 것은 S=(0,0,1)로, 거리 |0+0-1-1|/√(1²+1²+1²) = 2/√3 = 2√3/3을 준다. 같은 답 (D)이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.G.B.6 넓이, 겉넓이, 부피에 관한 실생활 문제 해결하기 (잘려 나간 모서리 사면체를 알아보고 대각선을 따라 빼서 서 있는 높이를 구하는 데 사용)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용하여 직각삼각형의 미지 변 길이 구하기 (정삼각형 절단면의 √2 변과 정육면체의 √3 공간 대각선을 구하는 데 사용)
6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이 구하기 (정삼각형 절단면의 넓이 √3/2를 계산하는 데 사용)
8.G.C.9 원뿔, 원기둥, 구의 부피 공식 알기 (모서리 사면체의 부피를 두 가지로 구해 그 높이 √3/3을 구하는 데 사용)
⭐ 정육면체의 한 모서리를 잘라내면, 남은 덩어리는 정육면체의 긴 대각선에서 잘린 만큼을 뺀 높이로 선다.
⭐ 정육면체의 한 모서리를 잘라내면, 남은 덩어리는 정육면체의 긴 대각선에서 잘린 만큼을 뺀 높이로 선다.
