AMC 10 · 2012 · #23

학년 8 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

spatial-visualizationpythagorean-theoremequilateral-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: spatial-visualization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

나무로 된 단위 정육면체의 한 꼭짓점 부분을, 세 꼭짓점을 지나는 하나의 평평한 절단면으로 잘라낸다: 한 면에서 대각선으로 마주 보는 두 꼭짓점과, 그 둘 어느 쪽과도 이웃하지 않는 맞은편 면의 꼭짓점이다. 잘려 나간 사면체는 버리고, 남은 입체를 절단면이 바닥에 닿도록 탁자 위에 놓는다. 남은 입체의 높이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

(B)

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

(C)

(D)

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

(E)

$\sqrt{2}$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

어려운 부분은 어느 꼭짓점이 깎이는지, 그리고 뒤집힌 입체가 어떻게 놓이는지를 머릿속에 그리는 일이다. 절단이 정육면체의 한 꼭짓점만 깎아내며 정육면체의 긴 대각선이 그 꼭짓점을 지나 절단면에 수직으로 뚫고 지난다는 것을 보는 순간, 높이는 곧 그 대각선에서 절단이 잘라낸 조각만큼을 뺀 값이 된다. 좌표를 잡고, 두 가지로 부피를 구해 조각의 높이를 뽑아내면 공간의 그림이 짧은 계산으로 바뀐다.

1STEP 1

잘려 나가는 꼭짓점 찾기

$[0,1]^3$ 에서 $P=(1,0,0)$ , $Q=(0,1,0)$ , $R=(1,1,1)$ 은 $O=(1,1,0)$ 의 이웃이므로 버릴 조각은 사면체 $OPQR$ 이다.

O=(1,1,0), P=(1,0,0), Q=(0,1,0), R=(1,1,1)

2STEP 2

절단 삼각형 재기

$OP$ , $OQ$ , $OR$ 는 서로 수직인 단위 변이라 $PQR$ 의 각 변은 $\sqrt{2}$ , 즉 정삼각형이다.

PQ=QR=RP=√(1²+1²)=√(2)

3STEP 3

꼭짓점을 지나는 긴 대각선 찾기

$O$ 맞은편은 $S=(0,0,1)$ 이고, 공간 대각선 $OS$ 는 길이 $\sqrt{3}$ 에 절단면과 수직으로 만난다.

OS=√(1²+1²+1²)=√(3)

4STEP 4

정삼각형 절단면의 넓이

한 변이 $s$ 인 정삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ 이고, $s^2=2$ 이므로 절단면 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이다.

[PQR]=√(3)/4 (√(2))²=√(3)/2

5STEP 5

버려지는 사면체의 높이

$OPQR$ 의 부피를 두 가지로 계산하면 $\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot h$ , 즉 $O$ 에서 절단면까지가 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 이다.

1/6=1/3·√(3)/2 · h → h=1/√(3)=√(3)/3

6STEP 6

대각선을 따라 빼기

대각선에서 빼면 $\sqrt{3}$ 빼기 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 은 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ , 즉 보기 (D)이다.

√(3)-√(3)/3=(3√(3)-√(3))/3=2√(3)/3

정답

(2 √(3))/3

높이 2√3/3은 약 1.155로, 정육면체 자신의 모서리 1보다 조금 크지만 전체 공간 대각선 √3 ≈ 1.732보다는 충분히 작다. 이는 자연스럽다: 작은 모서리 조각만 잘라냈으므로 뒤집은 물체는 대각선 전체와 거의 같은 높이로 서되 완전히 같지는 않아야 한다. 또한 이 값은 2/√3와 같으며, 남은 가장 먼 꼭짓점 S=(0,0,1)이 절단 평면 x+y-z=1로부터 수직 거리 (|0+0-1-1|)/√3 = 2/√3만큼 떨어져 있다는 직접 확인과도 일치한다.

💡핵심 정리

정육면체의 한 모서리를 잘라내면, 남은 덩어리는 정육면체의 긴 대각선에서 잘린 만큼을 뺀 높이로 선다.

잘려 나가는 꼭짓점 찾기
절단 삼각형 재기
꼭짓점을 지나는 긴 대각선 찾기
정삼각형 절단면의 넓이
버려지는 사면체의 높이
대각선을 따라 빼기