AMC 10 · 2012 · #6

학년 7 logicalgebra

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estimationinterval-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: interval-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

x ＞ y ＞ 0일 때 x-y를 어림하기 위해, 샤오리는 x를 올림하여 조금 크게 만들고 y를 같은 작은 양만큼 내림하여 조금 작게 만든 뒤, 어림한 두 수를 뺀다. 그녀의 어림값에 대한 다섯 진술 중 항상 참이어야 하는 것을 고르시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\text{Her estimate is larger than } x-y$

(B)

$\text{Her estimate is smaller than } x-y$

(C)

$\text{Her estimate equals } x-y$

(D)

$\text{Her estimate equals } y-x$

(E)

$\text{Her estimate is } 0$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

문제에 수가 전혀 없으므로 안전한 선택은 도구 #4(변수 도입하기)이다: 작은 반올림 양을 k라 하고 어림한 두 수를 x+k와 y-k로 쓴다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 “올림한 x 빼기 내림한 y”를 하나의 식으로 바꾸어 정리하고 x-y와 비교할 수 있게 한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그 비교를 다섯 진술에 대조하여 모든 허용된 x와 y에 대해 성립해야 하는 것을 남긴다.

1STEP 1

반올림 양에 이름 붙이기

주어지지 않은 반올림 양을 k(k ＞ 0)라 하면, 어림한 두 수는 x+k와 y-k이다.

k ＞ 0, 올림한 x=x+k, 내림한 y=y-k

2STEP 2

어림값을 쓰고 정리하기

어림값은 (x+k)-(y-k)=x+k-y+k이고, 정리하면 (x-y)+2k 즉 참값에 2k를 더한 값이다.

(x+k)-(y-k)=x+k-y+k=(x-y)+2k

3STEP 3

참값과 비교하여 고르기

k ＞ 0이므로 2k는 양수이고, 어떤 x, y에서도 (x-y)+2k ＞ x-y이다. 어림값이 늘 크므로 (A)가 남는다.

2k ＞ 0 → (x-y)+2k ＞ x-y → (A)

정답

그녀의 어림값은 x-y보다 크다

구체적인 수로 확인하자: x=10, y=3으로 두고 k=1만큼 반올림한다. 참값 차는 10-3=7이다. 샤오리는 (10+1)-(3-1)=11-2=9를 얻는데, 이는 7보다 2, 즉 정확히 2k만큼 크다. k ＞ 0을 다르게 잡아도 같은 양상이 나온다: 어림값이 참값보다 2k만큼 크다. 이는 대수 결과와 일치하며 어림값이 항상 과대함을 확인하므로 (A)가 일관적이다.

💡핵심 정리

앞의 수를 더 크게 만들고 빼는 수를 더 작게 만들면 차는 둘 다 위로 올라가므로, 이 어림값은 항상 너무 크다.

반올림 양에 이름 붙이기
어림값을 쓰고 정리하기
참값과 비교하여 고르기

반올림 양에 이름 붙이기

어림값을 쓰고 정리하기

참값과 비교하여 고르기

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