AMC 10 · 2012 · #6

학년 7 arithmetic

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estimationinterval-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: interval-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$x > y > 0$ 인 실수 $x$ 와 $y$ 에 대하여 $x-y$ 의 값을 추정하기 위해, 샤오리는 $x$ 를 작은 양만큼 크게 만들고 $y$ 를 같은 양만큼 작게 만든 다음, 그 두 값을 뺐다. 다음 서술 중 반드시 옳은 것은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\text{Her estimate is larger than } x-y$

(B)

$\text{Her estimate is smaller than } x-y$

(C)

$\text{Her estimate equals } x-y$

(D)

$\text{Her estimate equals } y-x$

(E)

$\text{Her estimate is } 0$

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $x>y>0$일 때 $x-y$를 어림하기 위해, 샤오리는 $x$를 올림하여 조금 크게 만들고 $y$를 같은 작은 양만큼 내림하여 조금 작게 만든 뒤, 어림한 두 수를 뺀다. 그녀의 어림값에 대한 다섯 진술 중 항상 참이어야 하는 것을 고르시오.

주어진 것: $x$와 $y$는 $x>y>0$인 실수이다; $x$는 작은 양수만큼 올림된다; $y$는 그와 같은 양만큼 내림된다; 그녀의 어림값은 올림한 $x$에서 내림한 $y$를 뺀 값이다; 선택지: (A) 어림값이 $x-y$보다 크다, (B) $x-y$보다 작다, (C) $x-y$와 같다, (D) $y-x$와 같다, (E) $0$이다

구하는 것: 그녀의 어림값이 참값 $x-y$와 어떻게 비교되는가

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

문제에 수가 전혀 없으므로 안전한 선택은 도구 #4(변수 도입하기)이다: 작은 반올림 양을 $k$라 하고 어림한 두 수를 $x+k$와 $y-k$로 쓴다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 “올림한 $x$ 빼기 내림한 $y$”를 하나의 식으로 바꾸어 정리하고 $x-y$와 비교할 수 있게 한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그 비교를 다섯 진술에 대조하여 모든 허용된 $x$와 $y$에 대해 성립해야 하는 것을 남긴다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

반올림 양에 이름 붙이기

반올림의 크기는 주어지지 않았으니 이름을 붙이자.
작은 양을 $k$라 하고, 실제 반올림은 수를 실제로 바꾸므로 $k>0$이다.
$x$를 올림하면 $k$가 더해져 $x+k$가 되고, $y$를 내림하면 같은 $k$가 빠져 $y-k$가 된다.
이제 한 문자가 두 수에 공통으로 쓰이는 반올림 양을 나타낸다.

$$k>0,\quad \text{올림한 }x=x+k,\quad \text{내림한 }y=y-k$$

💡 양이 설명되었지만 수로 주어지지 않았다면 문자를 붙여 계산할 수 있게 한다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 2

어림값을 쓰고 정리하기

그녀의 어림값은 올림한 $x$에서 내림한 $y$를 뺀 $(x+k)-(y-k)$이다.
괄호를 풀면 두 번째 묶음 안의 부호가 모두 바뀌어 $-(y-k)=-y+k$가 된다.
식은 $x+k-y+k$가 되고, 두 $k$ 항이 합쳐져 $2k$가 되어 $x-y+2k$가 된다.
즉 그녀의 어림값은 참값 $x-y$에 $2k$가 더해진 값이다.

$$(x+k)-(y-k)=x+k-y+k=(x-y)+2k$$

💡 작아진 묶음을 빼면 그 줄어든 만큼이 다시 더해지므로, 두 반올림이 모두 차에 얹힌다.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 3

참값과 비교하여 고르기

어림값 $(x-y)+2k$를 참값 $x-y$와 비교하자.
둘은 오직 $2k$만큼 차이가 나고, $k>0$이므로 $2k$는 양수이다.
양수를 더하면 값은 항상 커지므로, $x$와 $y$가 무엇이든 $(x-y)+2k>x-y$이다.
따라서 그녀의 어림값은 언제나 $x-y$보다 크며, 이는 (B), (C), (D), (E)를 배제하고 선택지 (A)를 남긴다.

$$2k>0\;\Rightarrow\;(x-y)+2k>x-y\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 어떤 수에 양수를 더하면 수직선에서 오른쪽에 놓이므로 더 크다.

[1] #4 6.EE.B.6 반올림의 크기는 주어지지 않았으니 이름을 붙이자. 작은 양을 $k$라 하고, 실제 반올림은 수를 실제로 바꾸므로 $k>0$이다. $x$를 올림하

[2] #13 7.EE.A.1 그녀의 어림값은 올림한 $x$에서 내림한 $y$를 뺀 $(x+k)-(y-k)$이다. 괄호를 풀면 두 번째 묶음 안의 부호가 모두 바뀌어 $-(y

[3] #3 6.NS.C.7 어림값 $(x-y)+2k$를 참값 $x-y$와 비교하자. 둘은 오직 $2k$만큼 차이가 나고, $k>0$이므로 $2k$는 양수이다. 양수를 더하

검토

합리성 확인: 구체적인 수로 확인하자: $x=10$, $y=3$으로 두고 $k=1$만큼 반올림한다. 참값 차는 $10-3=7$이다. 샤오리는 $(10+1)-(3-1)=11-2=9$를 얻는데, 이는 $7$보다 $2$, 즉 정확히 $2k$만큼 크다. $k>0$을 다르게 잡아도 같은 양상이 나온다: 어림값이 참값보다 $2k$만큼 크다. 이는 대수 결과와 일치하며 어림값이 항상 과대함을 확인하므로 (A)가 일관적이다.

대안 접근: 변수를 쓰지 않고 차가 어떻게 움직이는지로 생각하자. $x$를 올림하면 출발하는 수가 커져 차가 커진다. $y$를 내림하면 더 작은 수를 빼게 되어 차가 또 커진다. 두 변화가 모두 결과를 같은 방향 — 위쪽 — 으로 밀어 올리므로, 어림값은 $x-y$보다 위에 놓일 수밖에 없어 방정식 없이도 (A)가 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 문제를 풀 때 수를 나타내는 변수를 사용하고 식을 세우기 (주어지지 않은 반올림 양을 $k$로 이름 붙이고 어림한 값을 $x+k$, $y-k$로 쓰기.)
7.EE.A.1 연산의 성질을 적용하여 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개하기 ($(x+k)-(y-k)$를 전개하고 동류항을 모아 $(x-y)+2k$로 정리하기.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해하기 (양수 $2k$를 더하면 $(x-y)+2k$가 $x-y$보다 커진다고 결론짓기.)

⭐ 앞의 수를 더 크게 만들고 빼는 수를 더 작게 만들면 차는 둘 다 위로 올라가므로, 이 어림값은 항상 너무 크다.