AMC 10 · 2012 · #8

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

absolute-valueperfect-squaresinterval-arithmetic bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

복합부등식 1 ＜ (x-2)² ＜ 25을 참으로 만드는 모든 정수 x를 찾고, 그 정수 값을 모두 더하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

(x-2)라는 덩어리가 반복되므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 u=x-2로 이름 붙이면 문제가 깔끔한 부등식 1 ＜ u² ＜ 25로 바뀐다. 도구 #3(가능성 지우기)은 엄격한 ＜ 부호가 요구하는 바로 그것이다: u²이 1 또는 25가 되는 경계 경우를 버린다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 살아남은 모든 해를 늘어놓아, 더하기 전에 하나도 빠뜨리지 않는다.

1STEP 1

반복되는 덩어리에 이름 붙이기

(x-2)가 반복되니 u=x-2로 두자. 그러면 부등식은 1 ＜ u² ＜ 25가 되어 다루기 훨씬 쉽다.

u=x-2 → 1 ＜ u² ＜ 25

2STEP 2

살아남는 정수 찾기

1과 25 사이의 제곱수는 4, 9, 16뿐이고 끝값은 제외. 부호 둘 다 세면 u∈{-4,-3,-2,2,3,4}.

1 ＜ u² ＜ 25 → u∈{±2,±3,±4}

3STEP 3

다시 x로 되돌리기

x=u+2로 되돌린다. 각 u에 2를 더하면 x∈{-2,-1,0,4,5,6}, 여섯 개의 해가 한눈에 보인다.

x=u+2 → x∈{-2,-1,0,4,5,6}

4STEP 4

모든 해 더하기

모두 더한다: -2+(-1)+0+4+5+6. 음수가 양수 일부를 상쇄해 12가 남고, 곧 (B)다.

-2+(-1)+0+4+5+6=12 → (B)

정답

대칭성을 이용해 확인하자: 여섯 개의 u 값 ±2,±3,±4는 0을 중심으로 균형을 이루므로 합이 0이다. x=u+2이므로 여섯 개의 x 값의 합은 0+6×2=12가 되어, 직접 더한 값과 일치한다. 결과 12는 선택지 (B)다. 흔한 함정은 엄격한 부등호를 잊고 u=±1이나 u=±5를 끼워 넣는 것인데, 그러면 개수와 합이 모두 달라진다.

💡핵심 정리

반복되는 덩어리에 글자로 이름을 붙이고, 엄격한 ＜ 부호로 경계값을 버린 다음, 모든 해를 나열해 더하라.

반복되는 덩어리에 이름 붙이기
살아남는 정수 찾기
다시 x로 되돌리기
모든 해 더하기

반복되는 덩어리에 이름 붙이기

살아남는 정수 찾기

다시 x로 되돌리기

모든 해 더하기

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