AMC 10 · 2012 · #8

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

absolute-valueperfect-squaresinterval-arithmetic bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$1<(x-2)^2<25$ 를 만족하는 모든 정수해의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 복합부등식 $1<(x-2)^2<25$을 참으로 만드는 모든 정수 $x$를 찾고, 그 정수 값을 모두 더하라.

주어진 것: 복합부등식 $1<(x-2)^2<25$이 성립해야 한다; $x$는 정수여야 한다; 두 부등호가 모두 엄격한 부등호이므로 끝값 $1$과 $25$는 허용되지 않는다; 선택지: (A) $10$, (B) $12$, (C) $15$, (D) $19$, (E) $25$

구하는 것: $1<(x-2)^2<25$을 만족하는 모든 정수 $x$의 합

이해

문제 재정리: 복합부등식 $1<(x-2)^2<25$을 참으로 만드는 모든 정수 $x$를 찾고, 그 정수 값을 모두 더하라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #2 빠짐없이 나열하기

$(x-2)$라는 덩어리가 반복되므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 $u=x-2$로 이름 붙이면 문제가 깔끔한 부등식 $1<u^2<25$로 바뀐다. 도구 #3(가능성 지우기)은 엄격한 $<$ 부호가 요구하는 바로 그것이다: $u^2$이 $1$ 또는 $25$가 되는 경계 경우를 버린다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 살아남은 모든 해를 늘어놓아, 더하기 전에 하나도 빠뜨리지 않는다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

반복되는 덩어리에 이름 붙이기

부등식 전체가 $(x-2)$를 중심으로 짜여 있으므로, $u=x-2$로 두자.
그러면 $1<u^2<25$가 되어, 제곱 하나만 다루면 되니 훨씬 생각하기 쉽다.

$$u=x-2 \;\Rightarrow\; 1<u^2<25$$

💡 반복되는 부분을 한 글자로 이름 붙이면, 복잡한 식이 $u$에 대한 단순한 식으로 바뀐다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 2

살아남는 정수 찾기

제곱이 $1$과 $25$ 사이에 엄격히 들어가는 정수 $u$가 필요하다.
제곱을 확인하면: $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$은 모두 $1$과 $25$ 사이에 있지만, $1^2=1$과 $5^2=25$는 금지된 끝값에 걸려 제외된다.
음수도 제곱하면 같은 값이 되므로 두 부호 모두 센다.
따라서 $u\in\{-4,-3,-2,2,3,4\}$이다.

$$1<u^2<25 \;\Rightarrow\; u\in\{\pm2,\pm3,\pm4\}$$

💡 엄격한 부호가 경계 경우인 $u=\pm1$과 $u=\pm5$를 조용히 지워 버린다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.C.5 단계 3

다시 $x$로 되돌리기

$x=u+2$로 이름 붙이기를 되돌린다.
각 $u$에 $2$를 더하면 $x\in\{-2,-1,0,4,5,6\}$이 된다.
모든 값을 나열해 두면 여섯 개의 해가 한눈에 들어와, 빠뜨리거나 중복해 세는 일이 없다.

$$x=u+2 \;\Rightarrow\; x\in\{-2,-1,0,4,5,6\}$$

💡 각 $u$는 정확히 하나의 $x$로 대응되므로, 여섯 개의 $u$ 값이 여섯 개의 $x$ 값을 주고, 그중 일부는 음수가 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.NS.A.1 단계 4

모든 해 더하기

여섯 개의 정수 해를 더한다: $-2+(-1)+0+4+5+6$.
음수 $-2$와 $-1$이 양수 합의 일부를 상쇄해 $12$가 남는다.
따라서 정답은 (B)다.

$$-2+(-1)+0+4+5+6=12 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 부호 있는 값을 더한다는 것은, 총합을 내기 전에 음수와 양수가 일부 상쇄된다는 뜻일 뿐이다.

[1] #4 6.EE.B.6 부등식 전체가 $(x-2)$를 중심으로 짜여 있으므로, $u=x-2$로 두자. 그러면 $1<u^2<25$가 되어, 제곱 하나만 다루면 되니 훨씬

[2] #3 6.EE.B.5 제곱이 $1$과 $25$ 사이에 엄격히 들어가는 정수 $u$가 필요하다. 제곱을 확인하면: $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$은 모

[3] #2 6.NS.C.5 $x=u+2$로 이름 붙이기를 되돌린다. 각 $u$에 $2$를 더하면 $x\in\{-2,-1,0,4,5,6\}$이 된다. 모든 값을 나열해 두면

[4] #2 7.NS.A.1 여섯 개의 정수 해를 더한다: $-2+(-1)+0+4+5+6$. 음수 $-2$와 $-1$이 양수 합의 일부를 상쇄해 $12$가 남는다. 따라서

검토

합리성 확인: 대칭성을 이용해 확인하자: 여섯 개의 $u$ 값 $\pm2,\pm3,\pm4$는 $0$을 중심으로 균형을 이루므로 합이 $0$이다. $x=u+2$이므로 여섯 개의 $x$ 값의 합은 $0+6\times2=12$가 되어, 직접 더한 값과 일치한다. 결과 $12$는 선택지 (B)다. 흔한 함정은 엄격한 부등호를 잊고 $u=\pm1$이나 $u=\pm5$를 끼워 넣는 것인데, 그러면 개수와 합이 모두 달라진다.

대안 접근: 치환을 건너뛰고 경계를 거리로 읽자: $1<(x-2)^2<25$은 $|x-2|$가 $1$과 $5$ 사이에 엄격히 있다는 뜻이므로 $|x-2|\in\{2,3,4\}$이다. 그러면 $x-2=\pm2,\pm3,\pm4$가 되어 같은 여섯 값 $x\in\{-2,-1,0,4,5,6\}$을 얻고, 그 합은 $12$다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems ($u=x-2$를 도입해 부등식을 $1<u^2<25$로 다시 쓰기.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (부등식을 확인하기 위해 제곱 $2^2,3^2,4^2$(및 경계값 $1^2,5^2$)을 계산하기.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (엄격한 경계를 제외하고, 어떤 정수 $u$가 실제로 $1<u^2<25$를 참으로 만드는지 판단하기.)
6.NS.C.5 Understand that positive and negative numbers describe quantities ($u$의 두 부호가 모두 성립하며 그 결과인 $x$ 값 일부가 음수임을 인식하기.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers (부호 있는 해 $-2+(-1)+0+4+5+6=12$를 더하기.)

⭐ 반복되는 덩어리에 글자로 이름을 붙이고, 엄격한 $<$ 부호로 경계값을 버린 다음, 모든 해를 나열해 더하라.