경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2021B · #6

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

weighted-averageratio-proportionmean-median-mode-rangefraction-arithmetic easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangeratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Blackwell 선생님이 두 반에 같은 시험을 봤습니다. 오전반 평균은 84점, 오후반 평균은 70점. 오전반 학생 수와 오후반 학생 수의 비는 3 : 4 (오전반이 더 적음). 전체 학생의 평균 점수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제로): 인원이 안 주어졌으니 비 3:4의 가장 작은 정수 쌍 — 오전반 3 명, 오후반 4 명 — 으로 잡아 구체화. 평균은 인원의 절대값에 좌우되지 않으므로 답은 그대로. 도구 #8(단위 살펴보기): 평균 = 총점 ÷ 총인원 — 점 ÷ 명 = 점/명. 도구 #3(가능성 지우기): 인원이 많은 쪽이 평균을 끌어당기므로 답은 중점 77 미만 — (D), (E) 즉시 탈락.

1STEP 1

간단한 인원수 정하기

비를 줄여서: 오전반 3명, 오후반 4명 — 3 : 4의 가장 작은 정수. 비가 같으면 평균은 그대로.

오전반 인원 = 3, 오후반 인원 = 4

2STEP 2

반별 총점 구하기

각 반 총점 = 평균 × 인원: 오전반 252 = 84 · 3, 오후반 280 = 70 · 4.

252 = 84 · 3, 280 = 70 · 4

3STEP 3

두 총점 더하기

합치면: 전체 총점 532 = 252 + 280 점, 전체 인원 7 = 3 + 4 명.

전체 총점 = 252 + 280 = 532, 전체 인원 = 3 + 4 = 7

4STEP 4

전체 평균 구하기

합쳐진 평균 = 전체 총점 ÷ 전체 인원 = 532 ÷ 7 = 76.

x = 532/7 = 76

5STEP 5

범위로 검산하기

지우기: 평균은 70과 84 사이, 큰 반이 중점 77 아래로 끌어당김 — 76만 가능, 답 (C).

76 → (C)

정답

합리성: 76은 70과 84 사이(양호), 그리고 70 쪽에 더 가까움 (76-70=6 vs 84-76=8) — 오후반이 더 큰 집단인 사실과 일치. 또 인원을 10 배(30, 40 명) 해서 다시 계산하면 84 · 30 + 70 · 40 = 2520 + 2800 = 5320, 70 명으로 나누면 76 — 같은 답으로 비 불변성 확인.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비 개념만 알면 풀 수 있어요 — 오전반 3 명, 오후반 4 명이라 치고(3:4 그대로), 3 · 84 + 4 · 70 = 532 점을 7 명으로 나누면 76, 답은 (C).

간단한 인원수 정하기
반별 총점 구하기
두 총점 더하기
전체 평균 구하기
범위로 검산하기

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반별 총점 구하기

두 총점 더하기

전체 평균 구하기

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