AMC 10 · 2013 · #11

학년 7 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

combinations-basicquadratic-equations convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어느 학생회가 회원들 중에서 2인으로 구성된 환영 위원회와 3인으로 구성된 기획 위원회를 선정해야 한다. 환영 위원회를 위한 2인 팀을 선정하는 방법은 정확히 $10$ 가지이다. 학생은 두 위원회에 모두 참여할 수 있다. 3인 기획 위원회를 선정하는 서로 다른 방법은 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 학생회에 회원이 몇 명 있습니다. 2명으로 이루어진 환영 위원회를 뽑는 방법은 정확히 10가지입니다. 학생은 두 위원회에 모두 속할 수 있으므로 같은 회원들이 기획 위원회에도 그대로 후보가 됩니다. 같은 학생회에서 3명으로 이루어진 기획 위원회를 뽑는 방법이 몇 가지인지 구하세요.

주어진 것: 2명짜리 환영 위원회를 뽑는 방법은 정확히 10가지이다.; 기획 위원회는 3명으로 이루어진다.; 학생은 두 위원회에 모두 속할 수 있어 모든 회원이 두 위원회 모두의 후보이다.

구하는 것: 3명짜리 기획 위원회를 뽑는 서로 다른 방법의 수.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #6 추측하고 확인하기

학생회 인원이 숨겨져 있다. 그 수를 변수로 이름 붙이고, 2명을 뽑는 방법이 10가지라는 단서로 회원 수를 알아낸 뒤, 그 인원에서 3명 위원회의 수를 센다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

회원 수에 이름 붙이기

학생회 회원 수를 n이라 하자.
환영 위원회는 서로 다른 2명으로 이루어진 어떤 모임이며, 뽑는 순서는 상관없다.

n = \text{학생회 회원 수}

💡 모르는 수에 이름을 붙이면 단서를 식으로 바꿀 수 있다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

2명 모임의 수 세기

첫 번째 사람을 n가지, 두 번째 사람을 n-1가지로 고르면 순서가 있는 방법이 n(n-1)가지이다.
각 짝은 순서를 바꾼 두 번씩 세어지므로 2로 나눈다.
2명짜리 위원회의 수는 n(n-1)/2이다.

$$\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$$

💡 순서를 붙여 세면 순서 없는 짝이 두 번씩 세어지므로 반으로 줄인다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 3

n 구하기

단서에서 이런 짝이 10가지라고 했으므로 n(n-1)/2 = 10, 즉 n(n-1) = 20이다.
곱이 20인 연속한 두 자연수를 찾으면 5와 4가 맞으므로 n = 5이다.

$$\dfrac{n(n-1)}{2}=10 \;\Rightarrow\; n(n-1)=20 \;\Rightarrow\; 5\cdot 4=20 \;\Rightarrow\; n=5$$

💡 곱이 20인 연속한 두 수는 5와 4뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

3명 모임의 수 세기

이제 학생회 5명 중에서 3명을 고른다.
순서를 붙여 3명을 고르면 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60가지이지만, 각 3명 모임은 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6번씩 세어지므로 나눈다.
60/6 = 10가지의 기획 위원회가 있으므로 답은 (A)이다.

$$\binom{5}{3}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=\dfrac{60}{6}=10$$

💡 순서를 붙여 센 방법을, 같은 모임을 다시 배열하는 가짓수로 나눈다.

[1] #4 6.EE.B.6 학생회 회원 수를 n이라 하자. 환영 위원회는 서로 다른 2명으로 이루어진 어떤 모임이며, 뽑는 순서는 상관없다.

[2] #2 7.SP.C.8 첫 번째 사람을 n가지, 두 번째 사람을 n-1가지로 고르면 순서가 있는 방법이 n(n-1)가지이다. 각 짝은 순서를 바꾼 두 번씩 세어지므로

[3] #6 4.OA.B.4 단서에서 이런 짝이 10가지라고 했으므로 n(n-1)/2 = 10, 즉 n(n-1) = 20이다. 곱이 20인 연속한 두 자연수를 찾으면 5와

[4] #2 7.SP.C.8 이제 학생회 5명 중에서 3명을 고른다. 순서를 붙여 3명을 고르면 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60가지이지만, 각 3명 모임은 3 \c

검토

합리성 확인: n = 5를 첫 단서에 대입하면 5명 중 2명을 고르는 방법은 5 \cdot 4 / 2 = 10가지로 맞는다. 그리고 5명 중 3명을 고르는 것도 10가지이다. 대칭으로 빠르게 확인할 수 있다. 넣을 3명을 고르는 것은 빼놓을 2명을 고르는 것과 같고, 짝을 빼놓는 방법이 10가지이기 때문이다. 따라서 답은 10, 즉 (A)이다.

대안 접근: 곱셈 공식을 쓰지 않고 회원을 1번부터 5번까지 이름 붙인 뒤 3명 모임을 하나씩 손으로 나열한다. 빠짐없이 세면 정확히 10개의 모임이 나와 대수 없이도 답이 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (2명 및 3명 위원회를 정리된 모임(조합)으로 세는 데 사용)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (학생회 인원 n에 이름을 붙이고 짝의 수를 n으로 나타내는 데 사용)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (n을 구하기 위해 곱이 20인 연속한 인수쌍 5와 4를 찾는 데 사용)

⭐ 세는 결과가 주어지면 거꾸로 개수를 알아낸 뒤, 새로운 방식으로 다시 세면 된다.