AMC 10 · 2013 · #11

학년 7 counting
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
combinations-basicquadratic-equations convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: combinations-basic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
학생회에 회원이 몇 명 있습니다. 2명으로 이루어진 환영 위원회를 뽑는 방법은 정확히 10가지입니다. 학생은 두 위원회에 모두 속할 수 있으므로 같은 회원들이 기획 위원회에도 그대로 후보가 됩니다. 같은 학생회에서 3명으로 이루어진 기획 위원회를 뽑는 방법이 몇 가지인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
10
(B)
12
(C)
15
(D)
18
(E)
25

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

학생회 인원이 숨겨져 있다. 그 수를 변수로 이름 붙이고, 2명을 뽑는 방법이 10가지라는 단서로 회원 수를 알아낸 뒤, 그 인원에서 3명 위원회의 수를 센다.

1STEP 1

회원 수에 이름 붙이기

학생회 회원 수를 n이라 하자. 환영 위원회는 그중 서로 다른 2명이며 순서는 상관없다.

n = 학생회 회원 수
2STEP 2

2명 모임의 수 세기

순서를 붙여 고르면 n(n-1)가지인데 각 짝이 두 번씩 세어지므로 2명 위원회는 n(n-1)/2가지이다.

C(n, 2)=(n(n-1))/2
3STEP 3

n 구하기

n(n-1)/2 = 10이므로 n(n-1) = 20이고, 곱이 20인 연속한 두 수는 5와 4뿐이니 n = 5이다.

(n(n-1))/2=10 → n(n-1)=20 → 5 · 4=20 → n=5
4STEP 4

3명 모임의 수 세기

5명 중 3명을 순서대로 고르면 5 · 4 · 3 = 60가지, 각 모임이 6번씩 세어지니 60/6 = 10가지, 답은 (A)이다.

C(5, 3)=(5 · 4 · 3)/(3 · 2 · 1)=60/6=10
정답
10
n = 5를 첫 단서에 대입하면 5명 중 2명을 고르는 방법은 (5 · 4)/2 = 10가지로 맞는다. 그리고 5명 중 3명을 고르는 것도 10가지이다. 대칭으로 빠르게 확인할 수 있다. 넣을 3명을 고르는 것은 빼놓을 2명을 고르는 것과 같고, 짝을 빼놓는 방법이 10가지이기 때문이다. 따라서 답은 10, 즉 (A)이다.
💡핵심 정리

세는 결과가 주어지면 거꾸로 개수를 알아낸 뒤, 새로운 방식으로 다시 세면 된다.

  • 회원 수에 이름 붙이기
  • 2명 모임의 수 세기
  • n 구하기
  • 3명 모임의 수 세기

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